MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basqtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basqtop 22608
Description: An injection maps bases to bases. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
basqtop ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ TopBases)

Proof of Theorem basqtop
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 6668 . . . . 5 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
2 qtopcmp.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
32elqtop2 22598 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
42elqtop2 22598 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
53, 4anbi12d 634 . . . . 5 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))))
61, 5sylan2 596 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))))
7 simpl1l 1226 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝐽 ∈ TopBases)
8 simpl2r 1229 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
9 simpl3r 1231 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
10 simpl1r 1227 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
11 f1ocnv 6673 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
12 f1ofn 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹 Fn 𝑌)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝐹 Fn 𝑌)
14 simpl2l 1228 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑥𝑌)
15 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑥𝑦))
1615elin1d 4112 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧𝑥)
17 fnfvima 7049 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn 𝑌𝑥𝑌𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥))
1813, 14, 16, 17syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥))
19 simpl3l 1230 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑦𝑌)
2015elin2d 4113 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧𝑦)
21 fnfvima 7049 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn 𝑌𝑦𝑌𝑧𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦))
2213, 19, 20, 21syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦))
2318, 22elind 4108 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))
24 basis2 21848 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))) → ∃𝑤𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))
257, 8, 9, 23, 24syl22anc 839 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → ∃𝑤𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))
2610adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
27 inss1 4143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑥
28 simp2l 1201 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑥𝑌)
2927, 28sstrid 3912 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ 𝑌)
3029sselda 3901 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧𝑌)
3130adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑧𝑌)
32 f1ocnvfv2 7088 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑧𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
3326, 31, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
34 f1ofn 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 Fn 𝑋)
3526, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐹 Fn 𝑋)
36 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))
37 inss1 4143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)) ⊆ (𝐹𝑥)
3836, 37sstrdi 3913 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤 ⊆ (𝐹𝑥))
39 cnvimass 5949 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝑥) ⊆ dom 𝐹
40 f1odm 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
4126, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → dom 𝐹 = 𝑋)
4239, 41sseqtrid 3953 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑋)
4338, 42sstrd 3911 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤𝑋)
44 simprrl 781 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑤)
45 fnfvima 7049 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn 𝑋𝑤𝑋 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑤) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑤))
4635, 43, 44, 45syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑤))
4733, 46eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑤))
48 imassrn 5940 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑤) ⊆ ran 𝐹
4926, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
50 forn 6636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → ran 𝐹 = 𝑌)
5248, 51sseqtrid 3953 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑌)
53 f1of1 6660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
5426, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
55 f1imacnv 6677 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋1-1𝑌𝑤𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) = 𝑤)
5654, 43, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) = 𝑤)
57 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤𝐽)
5856, 57eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)
597adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐽 ∈ TopBases)
602elqtop2 22598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((𝐹𝑤) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)))
6159, 49, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((𝐹𝑤) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)))
6252, 58, 61mpbir2and 713 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
63 fnfun 6479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn 𝑋 → Fun 𝐹)
64 inpreima 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑥𝑦)) = ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))
6535, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹 “ (𝑥𝑦)) = ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))
6636, 65sseqtrrd 3942 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤 ⊆ (𝐹 “ (𝑥𝑦)))
6735, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → Fun 𝐹)
6838, 39sstrdi 3913 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤 ⊆ dom 𝐹)
69 funimass3 6874 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑤 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑤) ⊆ (𝑥𝑦) ↔ 𝑤 ⊆ (𝐹 “ (𝑥𝑦))))
7067, 68, 69syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → ((𝐹𝑤) ⊆ (𝑥𝑦) ↔ 𝑤 ⊆ (𝐹 “ (𝑥𝑦))))
7166, 70mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ⊆ (𝑥𝑦))
72 vex 3412 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
7372inex1 5210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑦) ∈ V
7473elpw2 5238 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑤) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦) ↔ (𝐹𝑤) ⊆ (𝑥𝑦))
7571, 74sylibr 237 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦))
7662, 75elind 4108 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
77 elunii 4824 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑤) ∧ (𝐹𝑤) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))) → 𝑧 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
7847, 76, 77syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑧 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
7925, 78rexlimddv 3210 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
8079ex 416 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) → 𝑧 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))))
8180ssrdv 3907 . . . . 5 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
82813expib 1124 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))))
836, 82sylbid 243 . . 3 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)) → (𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))))
8483ralrimivv 3111 . 2 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)∀𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)(𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
85 ovex 7246 . . 3 (𝐽 qTop 𝐹) ∈ V
86 isbasisg 21844 . . 3 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ V → ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)∀𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)(𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))))
8785, 86ax-mp 5 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)∀𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)(𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
8884, 87sylibr 237 1 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ TopBases)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3408  cin 3865  wss 3866  𝒫 cpw 4513   cuni 4819  ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552  cima 5554  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  1-1wf1 6377  ontowfo 6378  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380  (class class class)co 7213   qTop cqtop 17008  TopBasesctb 21842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-qtop 17012  df-bases 21843
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator