MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basqtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basqtop 23539
Description: An injection maps bases to bases. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
basqtop ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ TopBases)

Proof of Theorem basqtop
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 6831 . . . . 5 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
2 qtopcmp.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
32elqtop2 23529 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
42elqtop2 23529 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
53, 4anbi12d 630 . . . . 5 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))))
61, 5sylan2 592 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))))
7 simpl1l 1221 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝐽 ∈ TopBases)
8 simpl2r 1224 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
9 simpl3r 1226 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
10 simpl1r 1222 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
11 f1ocnv 6836 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
12 f1ofn 6825 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹 Fn 𝑌)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝐹 Fn 𝑌)
14 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑥𝑌)
15 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑥𝑦))
1615elin1d 4191 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧𝑥)
17 fnfvima 7227 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn 𝑌𝑥𝑌𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥))
1813, 14, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥))
19 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑦𝑌)
2015elin2d 4192 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧𝑦)
21 fnfvima 7227 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn 𝑌𝑦𝑌𝑧𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦))
2213, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑦))
2318, 22elind 4187 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))
24 basis2 22778 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))) → ∃𝑤𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))
257, 8, 9, 23, 24syl22anc 836 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → ∃𝑤𝐽 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))
2610adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
27 inss1 4221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑥
28 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → 𝑥𝑌)
2927, 28sstrid 3986 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ 𝑌)
3029sselda 3975 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧𝑌)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑧𝑌)
32 f1ocnvfv2 7268 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑧𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
3326, 31, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
34 f1ofn 6825 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 Fn 𝑋)
3526, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐹 Fn 𝑋)
36 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))
37 inss1 4221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)) ⊆ (𝐹𝑥)
3836, 37sstrdi 3987 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤 ⊆ (𝐹𝑥))
39 cnvimass 6071 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝑥) ⊆ dom 𝐹
40 f1odm 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
4126, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → dom 𝐹 = 𝑋)
4239, 41sseqtrid 4027 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑋)
4338, 42sstrd 3985 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤𝑋)
44 simprrl 778 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑤)
45 fnfvima 7227 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn 𝑋𝑤𝑋 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑤) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑤))
4635, 43, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑤))
4733, 46eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑤))
48 imassrn 6061 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑤) ⊆ ran 𝐹
4926, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
50 forn 6799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → ran 𝐹 = 𝑌)
5248, 51sseqtrid 4027 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑌)
53 f1of1 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
5426, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
55 f1imacnv 6840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋1-1𝑌𝑤𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) = 𝑤)
5654, 43, 55syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) = 𝑤)
57 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤𝐽)
5856, 57eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)
597adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝐽 ∈ TopBases)
602elqtop2 23529 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((𝐹𝑤) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)))
6159, 49, 60syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((𝐹𝑤) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)))
6252, 58, 61mpbir2and 710 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
63 fnfun 6640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn 𝑋 → Fun 𝐹)
64 inpreima 7056 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑥𝑦)) = ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))
6535, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹 “ (𝑥𝑦)) = ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦)))
6636, 65sseqtrrd 4016 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤 ⊆ (𝐹 “ (𝑥𝑦)))
6735, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → Fun 𝐹)
6838, 39sstrdi 3987 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑤 ⊆ dom 𝐹)
69 funimass3 7046 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑤 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑤) ⊆ (𝑥𝑦) ↔ 𝑤 ⊆ (𝐹 “ (𝑥𝑦))))
7067, 68, 69syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → ((𝐹𝑤) ⊆ (𝑥𝑦) ↔ 𝑤 ⊆ (𝐹 “ (𝑥𝑦))))
7166, 70mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ⊆ (𝑥𝑦))
72 vex 3470 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
7372inex1 5308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑦) ∈ V
7473elpw2 5336 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑤) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦) ↔ (𝐹𝑤) ⊆ (𝑥𝑦))
7571, 74sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦))
7662, 75elind 4187 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
77 elunii 4905 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑤) ∧ (𝐹𝑤) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))) → 𝑧 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
7847, 76, 77syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) ∧ (𝑤𝐽 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑤𝑤 ⊆ ((𝐹𝑥) ∩ (𝐹𝑦))))) → 𝑧 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
7925, 78rexlimddv 3153 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → 𝑧 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
8079ex 412 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) → 𝑧 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))))
8180ssrdv 3981 . . . . 5 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
82813expib 1119 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ∧ (𝑦𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))))
836, 82sylbid 239 . . 3 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)) → (𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))))
8483ralrimivv 3190 . 2 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)∀𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)(𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
85 ovex 7435 . . 3 (𝐽 qTop 𝐹) ∈ V
86 isbasisg 22774 . . 3 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ V → ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)∀𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)(𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦))))
8785, 86ax-mp 5 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)∀𝑦 ∈ (𝐽 qTop 𝐹)(𝑥𝑦) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
8884, 87sylibr 233 1 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ TopBases)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  Vcvv 3466  cin 3940  wss 3941  𝒫 cpw 4595   cuni 4900  ccnv 5666  dom cdm 5667  ran crn 5668  cima 5670  Fun wfun 6528   Fn wfn 6529  1-1wf1 6531  ontowfo 6532  1-1-ontowf1o 6533  cfv 6534  (class class class)co 7402   qTop cqtop 17450  TopBasesctb 22772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-qtop 17454  df-bases 22773
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator