MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfimaopn2 24973
Description: The preimage of any set open in the subspace topology of the range of the function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
mbfimaopn2.2 𝐾 = (𝐽t 𝐵)
Assertion
Ref Expression
mbfimaopn2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐶𝐾) → (𝐹𝐶) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfimaopn2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn2.2 . . . . 5 𝐾 = (𝐽t 𝐵)
21eleq2i 2830 . . . 4 (𝐶𝐾𝐶 ∈ (𝐽t 𝐵))
3 mbfimaopn.1 . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
43cnfldtop 24099 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
5 simp3 1139 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
6 cnex 11091 . . . . . 6 ℂ ∈ V
7 ssexg 5279 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
85, 6, 7sylancl 587 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
9 elrest 17269 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐽 𝐶 = (𝑢𝐵)))
104, 8, 9sylancr 588 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐽 𝐶 = (𝑢𝐵)))
112, 10bitrid 283 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶𝐾 ↔ ∃𝑢𝐽 𝐶 = (𝑢𝐵)))
12 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → 𝐹:𝐴𝐵)
13 ffun 6669 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
14 inpreima 7012 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑢𝐵)) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝐵)))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → (𝐹 “ (𝑢𝐵)) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝐵)))
163mbfimaopn 24972 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑢𝐽) → (𝐹𝑢) ∈ dom vol)
17163ad2antl1 1186 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → (𝐹𝑢) ∈ dom vol)
18 fimacnv 6688 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
19 fdm 6675 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2018, 19eqtr4d 2781 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = dom 𝐹)
2112, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → (𝐹𝐵) = dom 𝐹)
22 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → 𝐹 ∈ MblFn)
23 mbfdm 24942 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2521, 24eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → (𝐹𝐵) ∈ dom vol)
26 inmbl 24858 . . . . . . 7 (((𝐹𝑢) ∈ dom vol ∧ (𝐹𝐵) ∈ dom vol) → ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝐵)) ∈ dom vol)
2717, 25, 26syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝐵)) ∈ dom vol)
2815, 27eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → (𝐹 “ (𝑢𝐵)) ∈ dom vol)
29 imaeq2 6008 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑢𝐵) → (𝐹𝐶) = (𝐹 “ (𝑢𝐵)))
3029eleq1d 2823 . . . . 5 (𝐶 = (𝑢𝐵) → ((𝐹𝐶) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (𝑢𝐵)) ∈ dom vol))
3128, 30syl5ibrcom 247 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢𝐽) → (𝐶 = (𝑢𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ dom vol))
3231rexlimdva 3151 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑢𝐽 𝐶 = (𝑢𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ dom vol))
3311, 32sylbid 239 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶𝐾 → (𝐹𝐶) ∈ dom vol))
3433imp 408 1 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐶𝐾) → (𝐹𝐶) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3072  Vcvv 3444  cin 3908  wss 3909  ccnv 5631  dom cdm 5632  cima 5635  Fun wfun 6488  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7352  cc 11008  t crest 17262  TopOpenctopn 17263  fldccnfld 20749  Topctop 22194  volcvol 24779  MblFncmbf 24930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cc 10330  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088  ax-addf 11089  ax-mulf 11090
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-supp 8086  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8607  df-map 8726  df-pm 8727  df-ixp 8795  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-fsupp 9265  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9405  df-dju 9796  df-card 9834  df-acn 9837  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-q 12829  df-rp 12871  df-xneg 12988  df-xadd 12989  df-xmul 12990  df-ioo 13223  df-ico 13225  df-icc 13226  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-fl 13652  df-seq 13862  df-exp 13923  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-mulg 18832  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-cncf 24193  df-ovol 24780  df-vol 24781  df-mbf 24935
This theorem is referenced by:  cncombf  24974
  Copyright terms: Public domain W3C validator