Theorem mbfimaopn2 24821

Description: The preimage of any set open in the subspace topology of the range of the function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfimaopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
mbfimaopn2.2	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mbfimaopn2	⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfimaopn2

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfimaopn2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐵)
2	1	eleq2i 2830	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐾 ↔ 𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵))
3		mbfimaopn.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	cnfldtop 23947	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
6		cnex 10952	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
7		ssexg 5247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
9		elrest 17138	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵)))
10	4, 8, 9	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵)))
11	2, 10	bitrid 282	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶 ∈ 𝐾 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵)))
12		simpl2 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
13		ffun 6603	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
14		inpreima 6941	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝑢) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝑢) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))
16	3	mbfimaopn 24820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝑢) ∈ dom vol)
17	16	3ad2antl1 1184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝑢) ∈ dom vol)
18		fimacnv 6622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)
19		fdm 6609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
20	18, 19	eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
21	12, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
22		simpl1 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ MblFn)
23		mbfdm 24790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
25	21, 24	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝐵) ∈ dom vol)
26		inmbl 24706	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝐹 “ 𝑢) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ 𝐵) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)) ∈ dom vol)
27	17, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)) ∈ dom vol)
28	15, 27	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)) ∈ dom vol)
29		imaeq2 5965	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝐶) = (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)))
30	29	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵) → ((◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)) ∈ dom vol))
31	28, 30	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol))
32	31	rexlimdva 3213	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑢 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol))
33	11, 32	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶 ∈ 𝐾 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol))
34	33	imp 407	1 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589   “ cima 5592  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  ℂ_fldccnfld 20597  Topctop 22042  volcvol 24627  MblFncmbf 24778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783

This theorem is referenced by:  cncombf  24822