Theorem mbfimaopn2 25586

Description: The preimage of any set open in the subspace topology of the range of the function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfimaopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
mbfimaopn2.2	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mbfimaopn2	⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfimaopn2

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfimaopn2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐵)
2	1	eleq2i 2823	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐾 ↔ 𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵))
3		mbfimaopn.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	cnfldtop 24699	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
6		cnex 11087	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
7		ssexg 5261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
9		elrest 17331	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵)))
10	4, 8, 9	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵)))
11	2, 10	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶 ∈ 𝐾 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵)))
12		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
13		ffun 6654	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
14		inpreima 6997	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝑢) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝑢) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))
16	3	mbfimaopn 25585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝑢) ∈ dom vol)
17	16	3ad2antl1 1186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝑢) ∈ dom vol)
18		fimacnv 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)
19		fdm 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
20	18, 19	eqtr4d 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
21	12, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
22		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ MblFn)
23		mbfdm 25555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
25	21, 24	eqeltrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝐵) ∈ dom vol)
26		inmbl 25471	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝐹 “ 𝑢) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ 𝐵) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)) ∈ dom vol)
27	17, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)) ∈ dom vol)
28	15, 27	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)) ∈ dom vol)
29		imaeq2 6005	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝐶) = (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)))
30	29	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵) → ((◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)) ∈ dom vol))
31	28, 30	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol))
32	31	rexlimdva 3133	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑢 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol))
33	11, 32	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶 ∈ 𝐾 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol))
34	33	imp 406	1 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616   “ cima 5619  Fun wfun 6475  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   ↾_t crest 17324  TopOpenctopn 17325  ℂ_fldccnfld 21292  Topctop 22809  volcvol 25392  MblFncmbf 25543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5059  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-psmet 21284  df-xmet 21285  df-met 21286  df-bl 21287  df-mopn 21288  df-cnfld 21293  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-ovol 25393  df-vol 25394  df-mbf 25548

This theorem is referenced by:  cncombf  25587