Theorem mbfimaopn2 25588

Description: The preimage of any set open in the subspace topology of the range of the function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfimaopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
mbfimaopn2.2	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mbfimaopn2	⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfimaopn2

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfimaopn2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐵)
2	1	eleq2i 2825	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐾 ↔ 𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵))
3		mbfimaopn.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	cnfldtop 24701	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
6		cnex 11096	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
7		ssexg 5265	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
9		elrest 17335	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵)))
10	4, 8, 9	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵)))
11	2, 10	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶 ∈ 𝐾 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵)))
12		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
13		ffun 6661	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
14		inpreima 7005	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝑢) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)) = ((◡𝐹 “ 𝑢) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)))
16	3	mbfimaopn 25587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝑢) ∈ dom vol)
17	16	3ad2antl1 1186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝑢) ∈ dom vol)
18		fimacnv 6680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)
19		fdm 6667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
20	18, 19	eqtr4d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
21	12, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝐵) = dom 𝐹)
22		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ MblFn)
23		mbfdm 25557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
25	21, 24	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝐵) ∈ dom vol)
26		inmbl 25473	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝐹 “ 𝑢) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ 𝐵) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)) ∈ dom vol)
27	17, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((◡𝐹 “ 𝑢) ∩ (◡𝐹 “ 𝐵)) ∈ dom vol)
28	15, 27	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)) ∈ dom vol)
29		imaeq2 6011	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝐶) = (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)))
30	29	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵) → ((◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ (𝑢 ∩ 𝐵)) ∈ dom vol))
31	28, 30	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol))
32	31	rexlimdva 3134	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑢 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑢 ∩ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol))
33	11, 32	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐶 ∈ 𝐾 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol))
34	33	imp 406	1 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621   “ cima 5624  Fun wfun 6482  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℂcc 11013   ↾_t crest 17328  TopOpenctopn 17329  ℂ_fldccnfld 21295  Topctop 22811  volcvol 25394  MblFncmbf 25545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cc 10335  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-oadd 8397  df-omul 8398  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-fi 9304  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-dju 9803  df-card 9841  df-acn 9844  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-ioo 13253  df-ico 13255  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-clim 15399  df-rlim 15400  df-sum 15598  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-unif 17188  df-hom 17189  df-cco 17190  df-rest 17330  df-topn 17331  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-topgen 17351  df-pt 17352  df-prds 17355  df-xrs 17410  df-qtop 17415  df-imas 17416  df-xps 17418  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-mulg 18985  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-cnfld 21296  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22864  df-cn 23145  df-cnp 23146  df-tx 23480  df-hmeo 23673  df-xms 24238  df-ms 24239  df-tms 24240  df-cncf 24801  df-ovol 25395  df-vol 25396  df-mbf 25550

This theorem is referenced by:  cncombf  25589