MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptop2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem qtoptop2 23202
Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptop2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
Proof of Theorem qtoptop2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21qtopres 23201 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐽 qTop 𝐹) = (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
323ad2ant2 1134 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) = (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
4 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
5 funres 6590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝐹 β†’ Fun (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
653ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ Fun (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
7 funforn 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ↔ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽):dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
86, 7sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽):dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
9 dmres 6003 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) = (βˆͺ 𝐽 ∩ dom 𝐹)
10 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ 𝐽 ∩ dom 𝐹) βŠ† βˆͺ 𝐽
119, 10eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽)
131elqtop 23200 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽):dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ (𝑦 βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
144, 8, 12, 13syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ (𝑦 βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
1514simprbda 499 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ 𝑦 βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
16 velpw 4607 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ↔ 𝑦 βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
1715, 16sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
1817ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
1918ssrdv 3988 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) βŠ† 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
20 sstr2 3989 . . . . . . . 8 (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ ((𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) βŠ† 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
2119, 20syl5com 31 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
22 sspwuni 5103 . . . . . . 7 (π‘₯ βŠ† 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ↔ βˆͺ π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
2321, 22imbitrdi 250 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ βˆͺ π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
24 imauni 7244 . . . . . . . 8 (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ βˆͺ π‘₯) = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦)
2514simplbda 500 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
2625ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))(β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
27 ssralv 4050 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))(β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽))
2826, 27mpan9 507 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
29 iunopn 22399 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
304, 28, 29syl2an2r 683 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
3124, 30eqeltrid 2837 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ βˆͺ π‘₯) ∈ 𝐽)
3231ex 413 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ βˆͺ π‘₯) ∈ 𝐽))
3323, 32jcad 513 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆͺ π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ βˆͺ π‘₯) ∈ 𝐽)))
341elqtop 23200 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽):dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ (βˆͺ π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ βˆͺ π‘₯) ∈ 𝐽)))
354, 8, 12, 34syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ (βˆͺ π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ βˆͺ π‘₯) ∈ 𝐽)))
3633, 35sylibrd 258 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))))
3736alrimiv 1930 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))))
38 inss1 4228 . . . . . 6 (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† π‘₯
391elqtop 23200 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽):dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ (π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
404, 8, 12, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ (π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
4140biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ (π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽))
4241adantrr 715 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽))
4342simpld 495 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
4438, 43sstrid 3993 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
456adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ Fun (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
46 inpreima 7065 . . . . . . 7 (Fun (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ (π‘₯ ∩ 𝑦)) = ((β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦)))
4745, 46syl 17 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ (π‘₯ ∩ 𝑦)) = ((β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦)))
484adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4942simprd 496 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
5025adantrl 714 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
51 inopn 22400 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽 ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽) β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦)) ∈ 𝐽)
5248, 49, 50, 51syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦)) ∈ 𝐽)
5347, 52eqeltrd 2833 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ (π‘₯ ∩ 𝑦)) ∈ 𝐽)
541elqtop 23200 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽):dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ (π‘₯ ∩ 𝑦)) ∈ 𝐽)))
554, 8, 12, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ (π‘₯ ∩ 𝑦)) ∈ 𝐽)))
5655adantr 481 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ (π‘₯ ∩ 𝑦)) ∈ 𝐽)))
5744, 53, 56mpbir2and 711 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
5857ralrimivva 3200 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
59 ovex 7441 . . . 4 (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∈ V
60 istopg 22396 . . . 4 ((𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∈ V β†’ ((𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))))
6159, 60ax-mp 5 . . 3 ((𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))))
6237, 58, 61sylanbrc 583 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∈ Top)
633, 62eqeltrd 2833 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  β€“ontoβ†’wfo 6541  (class class class)co 7408   qTop cqtop 17448  Topctop 22394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-qtop 17452  df-top 22395
This theorem is referenced by:  qtoptop  23203
  Copyright terms: Public domain W3C validator