MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtoptop2 23066
Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptop2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)

Proof of Theorem qtoptop2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21qtopres 23065 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐽 qTop 𝐹) = (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
323ad2ant2 1135 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) = (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
4 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
5 funres 6548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝐹 β†’ Fun (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
653ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ Fun (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
7 funforn 6768 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ↔ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽):dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
86, 7sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽):dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
9 dmres 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) = (βˆͺ 𝐽 ∩ dom 𝐹)
10 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ 𝐽 ∩ dom 𝐹) βŠ† βˆͺ 𝐽
119, 10eqsstri 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽)
131elqtop 23064 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽):dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ (𝑦 βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
144, 8, 12, 13syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ (𝑦 βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
1514simprbda 500 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ 𝑦 βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
16 velpw 4570 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ↔ 𝑦 βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
1715, 16sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
1817ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
1918ssrdv 3955 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) βŠ† 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
20 sstr2 3956 . . . . . . . 8 (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ ((𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) βŠ† 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
2119, 20syl5com 31 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
22 sspwuni 5065 . . . . . . 7 (π‘₯ βŠ† 𝒫 ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ↔ βˆͺ π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
2321, 22syl6ib 251 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ βˆͺ π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
24 imauni 7198 . . . . . . . 8 (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ βˆͺ π‘₯) = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦)
2514simplbda 501 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
2625ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))(β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
27 ssralv 4015 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))(β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽))
2826, 27mpan9 508 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
29 iunopn 22263 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
304, 28, 29syl2an2r 684 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
3124, 30eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ βˆͺ π‘₯) ∈ 𝐽)
3231ex 414 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ βˆͺ π‘₯) ∈ 𝐽))
3323, 32jcad 514 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆͺ π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ βˆͺ π‘₯) ∈ 𝐽)))
341elqtop 23064 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽):dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ (βˆͺ π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ βˆͺ π‘₯) ∈ 𝐽)))
354, 8, 12, 34syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ (βˆͺ π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ βˆͺ π‘₯) ∈ 𝐽)))
3633, 35sylibrd 259 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))))
3736alrimiv 1931 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))))
38 inss1 4193 . . . . . 6 (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† π‘₯
391elqtop 23064 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽):dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ (π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
404, 8, 12, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ (π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
4140biimpa 478 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) β†’ (π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽))
4241adantrr 716 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽))
4342simpld 496 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ π‘₯ βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
4438, 43sstrid 3960 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
456adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ Fun (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))
46 inpreima 7019 . . . . . . 7 (Fun (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ (π‘₯ ∩ 𝑦)) = ((β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦)))
4745, 46syl 17 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ (π‘₯ ∩ 𝑦)) = ((β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦)))
484adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4942simprd 497 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
5025adantrl 715 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)
51 inopn 22264 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽 ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦) ∈ 𝐽) β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦)) ∈ 𝐽)
5248, 49, 50, 51syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ 𝑦)) ∈ 𝐽)
5347, 52eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ (π‘₯ ∩ 𝑦)) ∈ 𝐽)
541elqtop 23064 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽):dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ dom (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ (π‘₯ ∩ 𝑦)) ∈ 𝐽)))
554, 8, 12, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ (π‘₯ ∩ 𝑦)) ∈ 𝐽)))
5655adantr 482 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† ran (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽) β€œ (π‘₯ ∩ 𝑦)) ∈ 𝐽)))
5744, 53, 56mpbir2and 712 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
5857ralrimivva 3198 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))
59 ovex 7395 . . . 4 (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∈ V
60 istopg 22260 . . . 4 ((𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∈ V β†’ ((𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)))))
6159, 60ax-mp 5 . . 3 ((𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘₯(π‘₯ βŠ† (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽))))
6237, 58, 61sylanbrc 584 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝐽 qTop (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝐽)) ∈ Top)
633, 62eqeltrd 2838 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐹) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495  β€“ontoβ†’wfo 6499  (class class class)co 7362   qTop cqtop 17392  Topctop 22258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-qtop 17396  df-top 22259
This theorem is referenced by:  qtoptop  23067
  Copyright terms: Public domain W3C validator