MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfd 25688
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 25703. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbfd.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbfd.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbfd (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13484 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 ffn 6737 . . . . 5 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3 ovelrn 7609 . . . . 5 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑥(,)𝑦)))
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑥(,)𝑦))
5 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6 pnfxr 11313 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → +∞ ∈ ℝ*)
8 mnfxr 11316 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → -∞ ∈ ℝ*)
10 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
11 iooin 13418 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥)(,)if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥)(,)if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
13 ifcl 4576 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ∈ ℝ*)
148, 5, 13sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ∈ ℝ*)
15 mnfle 13174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
16 xrleid 13190 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥)
17 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞ = if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) → (-∞ ≤ 𝑥 ↔ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥))
18 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) → (𝑥𝑥 ↔ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥))
1917, 18ifboth 4570 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ ≤ 𝑥𝑥𝑥) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥)
2015, 16, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ* → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥)
2120ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥)
22 xrmax1 13214 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → 𝑥 ≤ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥))
235, 8, 22sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑥 ≤ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥))
2414, 5, 21, 23xrletrid 13194 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) = 𝑥)
25 ifcl 4576 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ∈ ℝ*)
266, 10, 25sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ∈ ℝ*)
27 xrmin2 13217 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ≤ 𝑦)
286, 10, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ≤ 𝑦)
29 pnfge 13170 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
30 xrleid 13190 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦𝑦)
31 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+∞ = if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) → (𝑦 ≤ +∞ ↔ 𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
32 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) → (𝑦𝑦𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
3331, 32ifboth 4570 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ≤ +∞ ∧ 𝑦𝑦) → 𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦))
3429, 30, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦))
3534ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦))
3626, 10, 28, 35xrletrid 13194 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) = 𝑦)
3724, 36oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥)(,)if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
3812, 37eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
3938imaeq2d 6080 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)))
40 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4241ffund 6741 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → Fun 𝐹)
43 inpreima 7084 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))))
4539, 44eqtr3d 2777 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)) = ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))))
46 ismbfd.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4746adantrr 717 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
48 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4948ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
50 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)𝑦))
5150imaeq2d 6080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)))
5251eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol))
5352rspccva 3621 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
5449, 53sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
5554adantrl 716 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
56 inmbl 25591 . . . . . . . 8 (((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
5747, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
5845, 57eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)) ∈ dom vol)
59 imaeq2 6076 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → (𝐹𝑧) = (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)))
6059eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → ((𝐹𝑧) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)) ∈ dom vol))
6158, 60syl5ibrcom 247 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6261rexlimdvva 3211 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ dom vol))
634, 62biimtrid 242 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ran (,) → (𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6463ralrimiv 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran (,)(𝐹𝑧) ∈ dom vol)
65 ismbf 25677 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑧 ∈ ran (,)(𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6640, 65syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑧 ∈ ran (,)(𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6764, 66mpbird 257 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  cin 3962  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  wf 6559  (class class class)co 7431  cr 11152  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292  cle 11294  (,)cioo 13384  volcvol 25512  MblFncmbf 25663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668
This theorem is referenced by:  ismbf2d  25689  mbfmax  25698
  Copyright terms: Public domain W3C validator