MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfd 25155
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 25170. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
ismbfd.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbfd.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbfd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13423 . . . . 5 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 ffn 6717 . . . . 5 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
3 ovelrn 7582 . . . . 5 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘₯(,)𝑦)))
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘₯(,)𝑦))
5 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
6 pnfxr 11267 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
8 mnfxr 11270 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
10 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
11 iooin 13357 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘₯(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯)(,)if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦)))
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘₯(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯)(,)if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦)))
13 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ∈ ℝ*)
148, 5, 13sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ∈ ℝ*)
15 mnfle 13113 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ π‘₯)
16 xrleid 13129 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
17 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞ = if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) β†’ (-∞ ≀ π‘₯ ↔ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ≀ π‘₯))
18 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) β†’ (π‘₯ ≀ π‘₯ ↔ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ≀ π‘₯))
1917, 18ifboth 4567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯) β†’ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ≀ π‘₯)
2015, 16, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ≀ π‘₯)
2120ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ≀ π‘₯)
22 xrmax1 13153 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) β†’ π‘₯ ≀ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯))
235, 8, 22sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ π‘₯ ≀ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯))
2414, 5, 21, 23xrletrid 13133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) = π‘₯)
25 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) ∈ ℝ*)
266, 10, 25sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) ∈ ℝ*)
27 xrmin2 13156 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) ≀ 𝑦)
286, 10, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) ≀ 𝑦)
29 pnfge 13109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ 𝑦 ≀ +∞)
30 xrleid 13129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ 𝑦 ≀ 𝑦)
31 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+∞ = if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) β†’ (𝑦 ≀ +∞ ↔ 𝑦 ≀ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦)))
32 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) β†’ (𝑦 ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦)))
3331, 32ifboth 4567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ≀ +∞ ∧ 𝑦 ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ≀ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦))
3429, 30, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ 𝑦 ≀ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦))
3534ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ 𝑦 ≀ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦))
3626, 10, 28, 35xrletrid 13133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) = 𝑦)
3724, 36oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯)(,)if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
3812, 37eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘₯(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
3938imaeq2d 6059 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ ((π‘₯(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)𝑦)))
40 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
4140adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
4241ffund 6721 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ Fun 𝐹)
43 inpreima 7065 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ ((π‘₯(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = ((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ ((π‘₯(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = ((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦))))
4539, 44eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)𝑦)) = ((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦))))
46 ismbfd.2 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
4746adantrr 715 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
48 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4948ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
50 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (-∞(,)π‘₯) = (-∞(,)𝑦))
5150imaeq2d 6059 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)))
5251eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol))
5352rspccva 3611 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
5449, 53sylan 580 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
5554adantrl 714 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
56 inmbl 25058 . . . . . . . 8 (((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
5747, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
5845, 57eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)𝑦)) ∈ dom vol)
59 imaeq2 6055 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘₯(,)𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) = (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)𝑦)))
6059eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘₯(,)𝑦) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)𝑦)) ∈ dom vol))
6158, 60syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (𝑧 = (π‘₯(,)𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol))
6261rexlimdvva 3211 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘₯(,)𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol))
634, 62biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ran (,) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol))
6463ralrimiv 3145 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol)
65 ismbf 25144 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol))
6640, 65syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol))
6764, 66mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947  ifcif 4528  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  (class class class)co 7408  β„cr 11108  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248  (,)cioo 13323  volcvol 24979  MblFncmbf 25130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-xmet 20936  df-met 20937  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135
This theorem is referenced by:  ismbf2d  25156  mbfmax  25165
  Copyright terms: Public domain W3C validator