MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfd 25581
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 25596. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbfd.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbfd.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbfd (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13457 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 ffn 6722 . . . . 5 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3 ovelrn 7597 . . . . 5 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑥(,)𝑦)))
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑥(,)𝑦))
5 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6 pnfxr 11299 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → +∞ ∈ ℝ*)
8 mnfxr 11302 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → -∞ ∈ ℝ*)
10 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
11 iooin 13391 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥)(,)if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥)(,)if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
13 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ∈ ℝ*)
148, 5, 13sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ∈ ℝ*)
15 mnfle 13147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
16 xrleid 13163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥)
17 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞ = if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) → (-∞ ≤ 𝑥 ↔ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥))
18 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) → (𝑥𝑥 ↔ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥))
1917, 18ifboth 4568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ ≤ 𝑥𝑥𝑥) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥)
2015, 16, 19syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ* → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥)
2120ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥)
22 xrmax1 13187 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → 𝑥 ≤ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥))
235, 8, 22sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑥 ≤ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥))
2414, 5, 21, 23xrletrid 13167 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) = 𝑥)
25 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ∈ ℝ*)
266, 10, 25sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ∈ ℝ*)
27 xrmin2 13190 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ≤ 𝑦)
286, 10, 27sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ≤ 𝑦)
29 pnfge 13143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
30 xrleid 13163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦𝑦)
31 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+∞ = if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) → (𝑦 ≤ +∞ ↔ 𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
32 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) → (𝑦𝑦𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
3331, 32ifboth 4568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ≤ +∞ ∧ 𝑦𝑦) → 𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦))
3429, 30, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦))
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦))
3626, 10, 28, 35xrletrid 13167 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) = 𝑦)
3724, 36oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥)(,)if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
3812, 37eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
3938imaeq2d 6063 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)))
40 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4241ffund 6726 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → Fun 𝐹)
43 inpreima 7073 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))))
4539, 44eqtr3d 2770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)) = ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))))
46 ismbfd.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4746adantrr 716 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
48 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4948ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
50 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)𝑦))
5150imaeq2d 6063 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)))
5251eleq1d 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol))
5352rspccva 3608 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
5449, 53sylan 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
5554adantrl 715 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
56 inmbl 25484 . . . . . . . 8 (((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
5747, 55, 56syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
5845, 57eqeltrd 2829 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)) ∈ dom vol)
59 imaeq2 6059 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → (𝐹𝑧) = (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)))
6059eleq1d 2814 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → ((𝐹𝑧) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)) ∈ dom vol))
6158, 60syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6261rexlimdvva 3208 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ dom vol))
634, 62biimtrid 241 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ran (,) → (𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6463ralrimiv 3142 . 2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran (,)(𝐹𝑧) ∈ dom vol)
65 ismbf 25570 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑧 ∈ ran (,)(𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6640, 65syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑧 ∈ ran (,)(𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6764, 66mpbird 257 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  wrex 3067  cin 3946  ifcif 4529  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5148   × cxp 5676  ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679  cima 5681  Fun wfun 6542   Fn wfn 6543  wf 6544  (class class class)co 7420  cr 11138  +∞cpnf 11276  -∞cmnf 11277  *cxr 11278  cle 11280  (,)cioo 13357  volcvol 25405  MblFncmbf 25556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13126  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-xmet 21272  df-met 21273  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561
This theorem is referenced by:  ismbf2d  25582  mbfmax  25591
  Copyright terms: Public domain W3C validator