MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfd 25019
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 25034. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
ismbfd.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbfd.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbfd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13371 . . . . 5 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 ffn 6673 . . . . 5 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
3 ovelrn 7535 . . . . 5 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘₯(,)𝑦)))
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘₯(,)𝑦))
5 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
6 pnfxr 11216 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
8 mnfxr 11219 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
10 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
11 iooin 13305 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘₯(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯)(,)if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦)))
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘₯(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯)(,)if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦)))
13 ifcl 4536 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ∈ ℝ*)
148, 5, 13sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ∈ ℝ*)
15 mnfle 13062 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ π‘₯)
16 xrleid 13077 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
17 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞ = if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) β†’ (-∞ ≀ π‘₯ ↔ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ≀ π‘₯))
18 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) β†’ (π‘₯ ≀ π‘₯ ↔ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ≀ π‘₯))
1917, 18ifboth 4530 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯) β†’ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ≀ π‘₯)
2015, 16, 19syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ≀ π‘₯)
2120ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) ≀ π‘₯)
22 xrmax1 13101 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) β†’ π‘₯ ≀ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯))
235, 8, 22sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ π‘₯ ≀ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯))
2414, 5, 21, 23xrletrid 13081 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯) = π‘₯)
25 ifcl 4536 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) ∈ ℝ*)
266, 10, 25sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) ∈ ℝ*)
27 xrmin2 13104 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) ≀ 𝑦)
286, 10, 27sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) ≀ 𝑦)
29 pnfge 13058 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ 𝑦 ≀ +∞)
30 xrleid 13077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ 𝑦 ≀ 𝑦)
31 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+∞ = if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) β†’ (𝑦 ≀ +∞ ↔ 𝑦 ≀ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦)))
32 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) β†’ (𝑦 ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦)))
3331, 32ifboth 4530 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ≀ +∞ ∧ 𝑦 ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ≀ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦))
3429, 30, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ 𝑦 ≀ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦))
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ 𝑦 ≀ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦))
3626, 10, 28, 35xrletrid 13081 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦) = 𝑦)
3724, 36oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (if(π‘₯ ≀ -∞, -∞, π‘₯)(,)if(+∞ ≀ 𝑦, +∞, 𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
3812, 37eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘₯(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
3938imaeq2d 6018 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ ((π‘₯(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)𝑦)))
40 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
4140adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
4241ffund 6677 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ Fun 𝐹)
43 inpreima 7019 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ ((π‘₯(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = ((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ ((π‘₯(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = ((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦))))
4539, 44eqtr3d 2779 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)𝑦)) = ((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦))))
46 ismbfd.2 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
4746adantrr 716 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
48 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4948ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
50 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (-∞(,)π‘₯) = (-∞(,)𝑦))
5150imaeq2d 6018 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)))
5251eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol))
5352rspccva 3583 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
5449, 53sylan 581 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
5554adantrl 715 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
56 inmbl 24922 . . . . . . . 8 (((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
5747, 55, 56syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
5845, 57eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)𝑦)) ∈ dom vol)
59 imaeq2 6014 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘₯(,)𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) = (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)𝑦)))
6059eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘₯(,)𝑦) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)𝑦)) ∈ dom vol))
6158, 60syl5ibrcom 247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) β†’ (𝑧 = (π‘₯(,)𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol))
6261rexlimdvva 3206 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘₯(,)𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol))
634, 62biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ran (,) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol))
6463ralrimiv 3143 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol)
65 ismbf 25008 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol))
6640, 65syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ dom vol))
6764, 66mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3914  ifcif 4491  π’« cpw 4565   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  (class class class)co 7362  β„cr 11057  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197  (,)cioo 13271  volcvol 24843  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  ismbf2d  25020  mbfmax  25029
  Copyright terms: Public domain W3C validator