MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfd 25003
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 25018. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbfd.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbfd.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbfd (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13364 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 ffn 6668 . . . . 5 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3 ovelrn 7530 . . . . 5 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑥(,)𝑦)))
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑥(,)𝑦))
5 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → +∞ ∈ ℝ*)
8 mnfxr 11212 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → -∞ ∈ ℝ*)
10 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
11 iooin 13298 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥)(,)if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥)(,)if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
13 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ∈ ℝ*)
148, 5, 13sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ∈ ℝ*)
15 mnfle 13055 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
16 xrleid 13070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥)
17 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞ = if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) → (-∞ ≤ 𝑥 ↔ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥))
18 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) → (𝑥𝑥 ↔ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥))
1917, 18ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ ≤ 𝑥𝑥𝑥) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥)
2015, 16, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ* → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥)
2120ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥)
22 xrmax1 13094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → 𝑥 ≤ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥))
235, 8, 22sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑥 ≤ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥))
2414, 5, 21, 23xrletrid 13074 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) = 𝑥)
25 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ∈ ℝ*)
266, 10, 25sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ∈ ℝ*)
27 xrmin2 13097 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ≤ 𝑦)
286, 10, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ≤ 𝑦)
29 pnfge 13051 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
30 xrleid 13070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦𝑦)
31 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+∞ = if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) → (𝑦 ≤ +∞ ↔ 𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
32 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) → (𝑦𝑦𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
3331, 32ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ≤ +∞ ∧ 𝑦𝑦) → 𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦))
3429, 30, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦))
3534ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦))
3626, 10, 28, 35xrletrid 13074 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) = 𝑦)
3724, 36oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥)(,)if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
3812, 37eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
3938imaeq2d 6013 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)))
40 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
4140adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4241ffund 6672 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → Fun 𝐹)
43 inpreima 7014 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))))
4539, 44eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)) = ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))))
46 ismbfd.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4746adantrr 715 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
48 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4948ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
50 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)𝑦))
5150imaeq2d 6013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)))
5251eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol))
5352rspccva 3580 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
5449, 53sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
5554adantrl 714 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
56 inmbl 24906 . . . . . . . 8 (((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
5747, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
5845, 57eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)) ∈ dom vol)
59 imaeq2 6009 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → (𝐹𝑧) = (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)))
6059eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → ((𝐹𝑧) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)) ∈ dom vol))
6158, 60syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6261rexlimdvva 3205 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ dom vol))
634, 62biimtrid 241 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ran (,) → (𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6463ralrimiv 3142 . 2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran (,)(𝐹𝑧) ∈ dom vol)
65 ismbf 24992 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑧 ∈ ran (,)(𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6640, 65syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑧 ∈ ran (,)(𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6764, 66mpbird 256 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  (class class class)co 7357  cr 11050  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188  cle 11190  (,)cioo 13264  volcvol 24827  MblFncmbf 24978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983
This theorem is referenced by:  ismbf2d  25004  mbfmax  25013
  Copyright terms: Public domain W3C validator