MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfd 24222
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 24237. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
ismbfd.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
ismbfd.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
Assertion
Ref Expression
ismbfd (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 12815 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 ffn 6487 . . . . 5 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3 ovelrn 7299 . . . . 5 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑥(,)𝑦)))
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑥(,)𝑦))
5 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6 pnfxr 10672 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → +∞ ∈ ℝ*)
8 mnfxr 10675 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → -∞ ∈ ℝ*)
10 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
11 iooin 12750 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥)(,)if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥)(,)if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
13 ifcl 4484 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ∈ ℝ*)
148, 5, 13sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ∈ ℝ*)
15 mnfle 12507 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
16 xrleid 12522 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥)
17 breq1 5042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞ = if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) → (-∞ ≤ 𝑥 ↔ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥))
18 breq1 5042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) → (𝑥𝑥 ↔ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥))
1917, 18ifboth 4478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ ≤ 𝑥𝑥𝑥) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥)
2015, 16, 19syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ* → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥)
2120ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) ≤ 𝑥)
22 xrmax1 12546 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → 𝑥 ≤ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥))
235, 8, 22sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑥 ≤ if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥))
2414, 5, 21, 23xrletrid 12526 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥) = 𝑥)
25 ifcl 4484 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ∈ ℝ*)
266, 10, 25sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ∈ ℝ*)
27 xrmin2 12549 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ≤ 𝑦)
286, 10, 27sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) ≤ 𝑦)
29 pnfge 12503 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
30 xrleid 12522 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦𝑦)
31 breq2 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+∞ = if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) → (𝑦 ≤ +∞ ↔ 𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
32 breq2 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) → (𝑦𝑦𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)))
3331, 32ifboth 4478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ≤ +∞ ∧ 𝑦𝑦) → 𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦))
3429, 30, 33syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦))
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝑦 ≤ if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦))
3626, 10, 28, 35xrletrid 12526 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦) = 𝑦)
3724, 36oveq12d 7148 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (if(𝑥 ≤ -∞, -∞, 𝑥)(,)if(+∞ ≤ 𝑦, +∞, 𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
3812, 37eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦)) = (𝑥(,)𝑦))
3938imaeq2d 5902 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)))
40 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
4140adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4241ffund 6491 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → Fun 𝐹)
43 inpreima 6807 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ ((𝑥(,)+∞) ∩ (-∞(,)𝑦))) = ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))))
4539, 44eqtr3d 2858 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)) = ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))))
46 ismbfd.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
4746adantrr 716 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
48 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4948ralrimiva 3170 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
50 oveq2 7138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)𝑦))
5150imaeq2d 5902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)))
5251eleq1d 2896 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol))
5352rspccva 3599 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐹 “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
5449, 53sylan 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
5554adantrl 715 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
56 inmbl 24125 . . . . . . . 8 (((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
5747, 55, 56syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
5845, 57eqeltrd 2912 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)) ∈ dom vol)
59 imaeq2 5898 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → (𝐹𝑧) = (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)))
6059eleq1d 2896 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → ((𝐹𝑧) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (𝑥(,)𝑦)) ∈ dom vol))
6158, 60syl5ibrcom 250 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6261rexlimdvva 3280 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑥(,)𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ dom vol))
634, 62syl5bi 245 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ran (,) → (𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6463ralrimiv 3169 . 2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran (,)(𝐹𝑧) ∈ dom vol)
65 ismbf 24211 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑧 ∈ ran (,)(𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6640, 65syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑧 ∈ ran (,)(𝐹𝑧) ∈ dom vol))
6764, 66mpbird 260 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  wrex 3127  cin 3909  ifcif 4440  𝒫 cpw 4512   class class class wbr 5039   × cxp 5526  ccnv 5527  dom cdm 5528  ran crn 5529  cima 5531  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  wf 6324  (class class class)co 7130  cr 10513  +∞cpnf 10649  -∞cmnf 10650  *cxr 10651  cle 10653  (,)cioo 12716  volcvol 24046  MblFncmbf 24197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xadd 12486  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-xmet 20514  df-met 20515  df-ovol 24047  df-vol 24048  df-mbf 24202
This theorem is referenced by:  ismbf2d  24223  mbfmax  24232
  Copyright terms: Public domain W3C validator