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Theorem cnhaus 23362
Description: The preimage of a Hausdorff topology under an injective map is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnhaus ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Haus)

Proof of Theorem cnhaus
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 23248 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
213ad2ant3 1136 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐾 ∈ Haus)
4 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 eqid 2737 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
6 eqid 2737 . . . . . . . . 9 𝐾 = 𝐾
75, 6cnf 23254 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
9 simprll 779 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 𝐽)
108, 9ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
11 simprlr 780 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦 𝐽)
128, 11ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐾)
13 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
14 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
158fdmd 6746 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → dom 𝐹 = 𝐽)
16 f1dm 6808 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → dom 𝐹 = 𝑋)
1815, 17eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐽 = 𝑋)
199, 18eleqtrd 2843 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑋)
2011, 18eleqtrd 2843 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦𝑋)
21 f1fveq 7282 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2214, 19, 20, 21syl12anc 837 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2322necon3bid 2985 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ 𝑥𝑦))
2413, 23mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
256hausnei 23336 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))) → ∃𝑢𝐾𝑣𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
263, 10, 12, 24, 25syl13anc 1374 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ∃𝑢𝐾𝑣𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
27 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28 simprll 779 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑢𝐾)
29 cnima 23273 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑢𝐾) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐽)
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐽)
31 simprlr 780 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑣𝐾)
32 cnima 23273 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑣𝐾) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐽)
3327, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐽)
349adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑥 𝐽)
35 simprr1 1222 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑢)
368adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
3736ffnd 6737 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝐹 Fn 𝐽)
38 elpreima 7078 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑢)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑢)))
4034, 35, 39mpbir2and 713 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑢))
4111adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑦 𝐽)
42 simprr2 1223 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑣)
43 elpreima 7078 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣)))
4437, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣)))
4541, 42, 44mpbir2and 713 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑣))
46 ffun 6739 . . . . . . . . . 10 (𝐹: 𝐽 𝐾 → Fun 𝐹)
47 inpreima 7084 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)))
4836, 46, 473syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)))
49 simprr3 1224 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝑢𝑣) = ∅)
5049imaeq2d 6078 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = (𝐹 “ ∅))
51 ima0 6095 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ ∅) = ∅
5250, 51eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = ∅)
5348, 52eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅)
54 eleq2 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝐹𝑢) → (𝑥𝑚𝑥 ∈ (𝐹𝑢)))
55 ineq1 4213 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝐹𝑢) → (𝑚𝑛) = ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛))
5655eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝐹𝑢) → ((𝑚𝑛) = ∅ ↔ ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅))
5754, 563anbi13d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝐹𝑢) → ((𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦𝑛 ∧ ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅)))
58 eleq2 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐹𝑣) → (𝑦𝑛𝑦 ∈ (𝐹𝑣)))
59 ineq2 4214 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝐹𝑣) → ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)))
6059eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐹𝑣) → (((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅ ↔ ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅))
6158, 603anbi23d 1441 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹𝑣) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦𝑛 ∧ ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ∧ ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅)))
6257, 61rspc2ev 3635 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹𝑣) ∈ 𝐽 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ∧ ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅)) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
6330, 33, 40, 45, 53, 62syl113anc 1384 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
6463expr 456 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ (𝑢𝐾𝑣𝐾)) → (((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
6564rexlimdvva 3213 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (∃𝑢𝐾𝑣𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
6626, 65mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
6766expr 456 . . 3 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
6867ralrimivva 3202 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
695ishaus 23330 . 2 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
702, 68, 69sylanbrc 583 1 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  c0 4333   cuni 4907  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1wf1 6558  cfv 6561  (class class class)co 7431  Topctop 22899   Cn ccn 23232  Hauscha 23316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-top 22900  df-topon 22917  df-cn 23235  df-haus 23323
This theorem is referenced by:  resthaus  23376  sshaus  23383  haushmph  23800
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