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Theorem cnhaus 21438
Description: The preimage of a Hausdorff topology under an injective map is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnhaus ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Haus)

Proof of Theorem cnhaus
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 21324 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
213ad2ant3 1165 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3 simpl1 1242 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐾 ∈ Haus)
4 simpl3 1246 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 eqid 2765 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
6 eqid 2765 . . . . . . . . 9 𝐾 = 𝐾
75, 6cnf 21330 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
9 simprll 797 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 𝐽)
108, 9ffvelrnd 6550 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
11 simprlr 798 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦 𝐽)
128, 11ffvelrnd 6550 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐾)
13 simprr 789 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
14 simpl2 1244 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
158fdmd 6232 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → dom 𝐹 = 𝐽)
16 f1dm 6287 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → dom 𝐹 = 𝑋)
1815, 17eqtr3d 2801 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐽 = 𝑋)
199, 18eleqtrd 2846 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑋)
2011, 18eleqtrd 2846 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦𝑋)
21 f1fveq 6711 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2214, 19, 20, 21syl12anc 865 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2322necon3bid 2981 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ 𝑥𝑦))
2413, 23mpbird 248 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
256hausnei 21412 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))) → ∃𝑢𝐾𝑣𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
263, 10, 12, 24, 25syl13anc 1491 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ∃𝑢𝐾𝑣𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
27 simpll3 1273 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28 simprll 797 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑢𝐾)
29 cnima 21349 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑢𝐾) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐽)
3027, 28, 29syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐽)
31 simprlr 798 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑣𝐾)
32 cnima 21349 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑣𝐾) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐽)
3327, 31, 32syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐽)
349adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑥 𝐽)
35 simprr1 1287 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑢)
368adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
3736ffnd 6224 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝐹 Fn 𝐽)
38 elpreima 6527 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑢)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑢)))
4034, 35, 39mpbir2and 704 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑢))
4111adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑦 𝐽)
42 simprr2 1289 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑣)
43 elpreima 6527 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣)))
4437, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣)))
4541, 42, 44mpbir2and 704 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑣))
46 ffun 6226 . . . . . . . . . 10 (𝐹: 𝐽 𝐾 → Fun 𝐹)
47 inpreima 6532 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)))
4836, 46, 473syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)))
49 simprr3 1291 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝑢𝑣) = ∅)
5049imaeq2d 5648 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = (𝐹 “ ∅))
51 ima0 5663 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ ∅) = ∅
5250, 51syl6eq 2815 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = ∅)
5348, 52eqtr3d 2801 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅)
54 eleq2 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝐹𝑢) → (𝑥𝑚𝑥 ∈ (𝐹𝑢)))
55 ineq1 3969 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝐹𝑢) → (𝑚𝑛) = ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛))
5655eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝐹𝑢) → ((𝑚𝑛) = ∅ ↔ ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅))
5754, 563anbi13d 1562 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝐹𝑢) → ((𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦𝑛 ∧ ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅)))
58 eleq2 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐹𝑣) → (𝑦𝑛𝑦 ∈ (𝐹𝑣)))
59 ineq2 3970 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝐹𝑣) → ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)))
6059eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐹𝑣) → (((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅ ↔ ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅))
6158, 603anbi23d 1563 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹𝑣) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦𝑛 ∧ ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ∧ ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅)))
6257, 61rspc2ev 3476 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹𝑣) ∈ 𝐽 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ∧ ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅)) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
6330, 33, 40, 45, 53, 62syl113anc 1501 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
6463expr 448 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ (𝑢𝐾𝑣𝐾)) → (((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
6564rexlimdvva 3185 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (∃𝑢𝐾𝑣𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
6626, 65mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
6766expr 448 . . 3 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
6867ralrimivva 3118 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
695ishaus 21406 . 2 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
702, 68, 69sylanbrc 578 1 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  cin 3731  c0 4079   cuni 4594  ccnv 5276  dom cdm 5277  cima 5280  Fun wfun 6062   Fn wfn 6063  wf 6064  1-1wf1 6065  cfv 6068  (class class class)co 6842  Topctop 20977   Cn ccn 21308  Hauscha 21392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-map 8062  df-top 20978  df-topon 20995  df-cn 21311  df-haus 21399
This theorem is referenced by:  resthaus  21452  sshaus  21459  haushmph  21875
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