MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscgrgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscgrgd 27761
Description: The property for two sequences 𝐴 and 𝐡 of points to be congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iscgrg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
iscgrg.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
iscgrg.e ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
iscgrgd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
iscgrgd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
iscgrgd.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ)
iscgrgd.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
iscgrgd (πœ‘ β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐺   𝐴,𝑖,𝑗   𝐡,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑃(𝑖,𝑗)   ∼ (𝑖,𝑗)   βˆ’ (𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem iscgrgd
StepHypRef Expression
1 iscgrgd.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ)
2 iscgrgd.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
3 iscgrg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
43fvexi 6905 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
5 reex 11200 . . . . . 6 ℝ ∈ V
6 elpm2r 8838 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝐷 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
74, 5, 6mpanl12 700 . . . . 5 ((𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝐷 βŠ† ℝ) β†’ 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
81, 2, 7syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
9 iscgrgd.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ)
10 elpm2r 8838 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝐷 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
114, 5, 10mpanl12 700 . . . . 5 ((𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝐷 βŠ† ℝ) β†’ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
129, 2, 11syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
138, 12jca 512 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
1413biantrurd 533 . 2 (πœ‘ β†’ ((dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))))
151fdmd 6728 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐴 = 𝐷)
169fdmd 6728 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐡 = 𝐷)
1715, 16eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐴 = dom 𝐡)
1817biantrurd 533 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)) ↔ (dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))))
19 iscgrgd.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
20 iscgrg.m . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
21 iscgrg.e . . . 4 ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
223, 20, 21iscgrg 27760 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))))
2319, 22syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))))
2414, 18, 233bitr4rd 311 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑pm cpm 8820  β„cr 11108  Basecbs 17143  distcds 17205  cgrGccgrg 27758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-pm 8822  df-cgrg 27759
This theorem is referenced by:  iscgrglt  27762  trgcgrg  27763  motcgrg  27792
  Copyright terms: Public domain W3C validator