Theorem iscgrgd 26604

Description: The property for two sequences 𝐴 and 𝐵 of points to be congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgrg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgrg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
iscgrg.e	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
iscgrgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
iscgrgd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
iscgrgd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷⟶𝑃)
iscgrgd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐷⟶𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iscgrgd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐺   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑃(𝑖,𝑗)   ∼ (𝑖,𝑗)   − (𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem iscgrgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscgrgd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷⟶𝑃)
2		iscgrgd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
3		iscgrg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6731	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
5		reex 10820	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
6		elpm2r 8526	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐴:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ)) → 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
7	4, 5, 6	mpanl12 702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ) → 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
8	1, 2, 7	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
9		iscgrgd.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐷⟶𝑃)
10		elpm2r 8526	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐵:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ)) → 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
11	4, 5, 10	mpanl12 702	. . . . 5 ⊢ ((𝐵:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ) → 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
12	9, 2, 11	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
13	8, 12	jca 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
14	13	biantrurd 536	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))))
15	1	fdmd 6556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐷)
16	9	fdmd 6556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐵 = 𝐷)
17	15, 16	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
18	17	biantrurd 536	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗)) ↔ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗)))))
19		iscgrgd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
20		iscgrg.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
21		iscgrg.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
22	3, 20, 21	iscgrg 26603	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))))
23	19, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))))
24	14, 18, 23	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ↑_pm cpm 8509  ℝcr 10728  Basecbs 16760  distcds 16811  cgrGccgrg 26601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-pm 8511  df-cgrg 26602

This theorem is referenced by:  iscgrglt  26605  trgcgrg  26606  motcgrg  26635