MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscgrgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscgrgd 27504
Description: The property for two sequences 𝐴 and 𝐡 of points to be congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iscgrg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
iscgrg.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
iscgrg.e ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
iscgrgd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
iscgrgd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
iscgrgd.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ)
iscgrgd.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
iscgrgd (πœ‘ β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐺   𝐴,𝑖,𝑗   𝐡,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑃(𝑖,𝑗)   ∼ (𝑖,𝑗)   βˆ’ (𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem iscgrgd
StepHypRef Expression
1 iscgrgd.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ)
2 iscgrgd.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
3 iscgrg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
43fvexi 6860 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
5 reex 11150 . . . . . 6 ℝ ∈ V
6 elpm2r 8789 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝐷 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
74, 5, 6mpanl12 701 . . . . 5 ((𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝐷 βŠ† ℝ) β†’ 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
81, 2, 7syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
9 iscgrgd.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ)
10 elpm2r 8789 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝐷 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
114, 5, 10mpanl12 701 . . . . 5 ((𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝐷 βŠ† ℝ) β†’ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
129, 2, 11syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
138, 12jca 513 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
1413biantrurd 534 . 2 (πœ‘ β†’ ((dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))))
151fdmd 6683 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐴 = 𝐷)
169fdmd 6683 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐡 = 𝐷)
1715, 16eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐴 = dom 𝐡)
1817biantrurd 534 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)) ↔ (dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))))
19 iscgrgd.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
20 iscgrg.m . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
21 iscgrg.e . . . 4 ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
223, 20, 21iscgrg 27503 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))))
2319, 22syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))))
2414, 18, 233bitr4rd 312 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„cr 11058  Basecbs 17091  distcds 17150  cgrGccgrg 27501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-pm 8774  df-cgrg 27502
This theorem is referenced by:  iscgrglt  27505  trgcgrg  27506  motcgrg  27535
  Copyright terms: Public domain W3C validator