MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscgrgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscgrgd 28236
Description: The property for two sequences 𝐴 and 𝐡 of points to be congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iscgrg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
iscgrg.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
iscgrg.e ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
iscgrgd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
iscgrgd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
iscgrgd.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ)
iscgrgd.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
iscgrgd (πœ‘ β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐺   𝐴,𝑖,𝑗   𝐡,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑃(𝑖,𝑗)   ∼ (𝑖,𝑗)   βˆ’ (𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem iscgrgd
StepHypRef Expression
1 iscgrgd.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ)
2 iscgrgd.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
3 iscgrg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
43fvexi 6896 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
5 reex 11198 . . . . . 6 ℝ ∈ V
6 elpm2r 8836 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝐷 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
74, 5, 6mpanl12 699 . . . . 5 ((𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝐷 βŠ† ℝ) β†’ 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
81, 2, 7syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
9 iscgrgd.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ)
10 elpm2r 8836 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝐷 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
114, 5, 10mpanl12 699 . . . . 5 ((𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝐷 βŠ† ℝ) β†’ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
129, 2, 11syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
138, 12jca 511 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
1413biantrurd 532 . 2 (πœ‘ β†’ ((dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))))
151fdmd 6719 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐴 = 𝐷)
169fdmd 6719 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐡 = 𝐷)
1715, 16eqtr4d 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐴 = dom 𝐡)
1817biantrurd 532 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)) ↔ (dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))))
19 iscgrgd.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
20 iscgrg.m . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
21 iscgrg.e . . . 4 ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
223, 20, 21iscgrg 28235 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))))
2319, 22syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐡 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))))
2414, 18, 233bitr4rd 312 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139  dom cdm 5667  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑pm cpm 8818  β„cr 11106  Basecbs 17145  distcds 17207  cgrGccgrg 28233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-pm 8820  df-cgrg 28234
This theorem is referenced by:  iscgrglt  28237  trgcgrg  28238  motcgrg  28267
  Copyright terms: Public domain W3C validator