Theorem iscgrgd 28855

Description: The property for two sequences 𝐴 and 𝐵 of points to be congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgrg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgrg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
iscgrg.e	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
iscgrgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
iscgrgd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
iscgrgd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷⟶𝑃)
iscgrgd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐷⟶𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iscgrgd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐺   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑗)   𝐷(𝑖, 𝑗)   𝑃(𝑖, 𝑗)   ∼ (𝑖, 𝑗)   − (𝑖, 𝑗)   𝑉(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem iscgrgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscgrgd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷⟶𝑃)
2		iscgrgd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
3		iscgrg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6892	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
5		reex 11215	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
6		elpm2r 8844	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐴:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ)) → 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
7	4, 5, 6	mpanl12 715	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ) → 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
9		iscgrgd.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐷⟶𝑃)
10		elpm2r 8844	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐵:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ)) → 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
11	4, 5, 10	mpanl12 715	. . . . 5 ⊢ ((𝐵:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ) → 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
12	9, 2, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
13	8, 12	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
14	13	biantrurd 542	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))))
15	1	fdmd 6713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐷)
16	9	fdmd 6713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐵 = 𝐷)
17	15, 16	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
18	17	biantrurd 542	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗)) ↔ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗)))))
19		iscgrgd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
20		iscgrg.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
21		iscgrg.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
22	3, 20, 21	iscgrg 28854	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))))
23	19, 22	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))))
24	14, 18, 23	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_pm cpm 8827  ℝcr 11123  Basecbs 17301  distcds 17351  cgrGccgrg 28852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-pm 8829  df-cgrg 28853

This theorem is used by:  iscgrglt  28856  trgcgrg  28857  motcgrg  28886