Theorem iscgrgd 28744

Description: The property for two sequences 𝐴 and 𝐵 of points to be congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgrg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgrg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
iscgrg.e	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
iscgrgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
iscgrgd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
iscgrgd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷⟶𝑃)
iscgrgd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐷⟶𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iscgrgd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐺   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑃(𝑖,𝑗)   ∼ (𝑖,𝑗)   − (𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem iscgrgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscgrgd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷⟶𝑃)
2		iscgrgd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
3		iscgrg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6893	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
5		reex 11187	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
6		elpm2r 8838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐴:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ)) → 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
7	4, 5, 6	mpanl12 714	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ) → 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
8	1, 2, 7	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
9		iscgrgd.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐷⟶𝑃)
10		elpm2r 8838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐵:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ)) → 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
11	4, 5, 10	mpanl12 714	. . . . 5 ⊢ ((𝐵:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ) → 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
12	9, 2, 11	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
13	8, 12	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
14	13	biantrurd 541	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))))
15	1	fdmd 6714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐷)
16	9	fdmd 6714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐵 = 𝐷)
17	15, 16	eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
18	17	biantrurd 541	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗)) ↔ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗)))))
19		iscgrgd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
20		iscgrg.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
21		iscgrg.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
22	3, 20, 21	iscgrg 28743	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))))
23	19, 22	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))))
24	14, 18, 23	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  dom cdm 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ↑_pm cpm 8821  ℝcr 11095  Basecbs 17265  distcds 17315  cgrGccgrg 28741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-pm 8823  df-cgrg 28742

This theorem is referenced by:  iscgrglt  28745  trgcgrg  28746  motcgrg  28775