Theorem iscgrgd 28547

Description: The property for two sequences 𝐴 and 𝐵 of points to be congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgrg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgrg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
iscgrg.e	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
iscgrgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
iscgrgd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
iscgrgd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷⟶𝑃)
iscgrgd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐷⟶𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iscgrgd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐺   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑃(𝑖,𝑗)   ∼ (𝑖,𝑗)   − (𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem iscgrgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscgrgd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐷⟶𝑃)
2		iscgrgd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
3		iscgrg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6928	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
5		reex 11253	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
6		elpm2r 8893	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐴:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ)) → 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
7	4, 5, 6	mpanl12 702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ) → 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
9		iscgrgd.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐷⟶𝑃)
10		elpm2r 8893	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐵:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ)) → 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
11	4, 5, 10	mpanl12 702	. . . . 5 ⊢ ((𝐵:𝐷⟶𝑃 ∧ 𝐷 ⊆ ℝ) → 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
12	9, 2, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ))
13	8, 12	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)))
14	13	biantrurd 532	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))))
15	1	fdmd 6754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐷)
16	9	fdmd 6754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐵 = 𝐷)
17	15, 16	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
18	17	biantrurd 532	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗)) ↔ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗)))))
19		iscgrgd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
20		iscgrg.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
21		iscgrg.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
22	3, 20, 21	iscgrg 28546	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))))
23	19, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ) ∧ 𝐵 ∈ (𝑃 ↑pm ℝ)) ∧ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))))
24	14, 18, 23	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐴∀𝑗 ∈ dom 𝐴((𝐴‘𝑖) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐵‘𝑗))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3481   ⊆ wss 3966   class class class wbr 5151  dom cdm 5693  ⟶wf 6565  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438   ↑_pm cpm 8875  ℝcr 11161  Basecbs 17254  distcds 17316  cgrGccgrg 28544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-fv 6577  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-pm 8877  df-cgrg 28545

This theorem is referenced by:  iscgrglt  28548  trgcgrg  28549  motcgrg  28578