MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motcgrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motcgrg 28566
Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
motcgrg.r = (cgrG‘𝐺)
motcgrg.t (𝜑𝑇 ∈ Word 𝑃)
motcgrg.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motcgrg (𝜑 → (𝐹𝑇) 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motcgrg
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
21adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
3 simprl 771 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇))
4 ismot.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 ismot.m . . . . . . . . . . . . . 14 = (dist‘𝐺)
6 motgrp.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝑉)
7 motcgrg.f . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
84, 5, 6, 7motf1o 28560 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑃1-1-onto𝑃)
9 f1of 6848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃𝐹:𝑃𝑃)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑃𝑃)
1110ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝐹:𝑃𝑃)
12 fco 6760 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑃𝑃𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
1311, 1, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
1514fdmd 6746 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → dom (𝐹𝑇) = (0..^𝑛))
163, 15eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑎 ∈ (0..^𝑛))
17 fvco3 7007 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃𝑎 ∈ (0..^𝑛)) → ((𝐹𝑇)‘𝑎) = (𝐹‘(𝑇𝑎)))
182, 16, 17syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → ((𝐹𝑇)‘𝑎) = (𝐹‘(𝑇𝑎)))
19 simprr 773 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))
2019, 15eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑏 ∈ (0..^𝑛))
21 fvco3 7007 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃𝑏 ∈ (0..^𝑛)) → ((𝐹𝑇)‘𝑏) = (𝐹‘(𝑇𝑏)))
222, 20, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → ((𝐹𝑇)‘𝑏) = (𝐹‘(𝑇𝑏)))
2318, 22oveq12d 7448 . . . . 5 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑇𝑎)) (𝐹‘(𝑇𝑏))))
246ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝐺𝑉)
2524adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝐺𝑉)
262, 16ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (𝑇𝑎) ∈ 𝑃)
272, 20ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (𝑇𝑏) ∈ 𝑃)
287ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
294, 5, 25, 26, 27, 28motcgr 28558 . . . . 5 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → ((𝐹‘(𝑇𝑎)) (𝐹‘(𝑇𝑏))) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏)))
3023, 29eqtrd 2774 . . . 4 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏)))
3130ralrimivva 3199 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → ∀𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇)∀𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇)(((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏)))
32 motcgrg.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
33 fzo0ssnn0 13781 . . . . . 6 (0..^𝑛) ⊆ ℕ0
34 nn0ssre 12527 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
3533, 34sstri 4004 . . . . 5 (0..^𝑛) ⊆ ℝ
3635a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (0..^𝑛) ⊆ ℝ)
374, 5, 32, 24, 36, 13, 1iscgrgd 28535 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → ((𝐹𝑇) 𝑇 ↔ ∀𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇)∀𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇)(((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏))))
3831, 37mpbird 257 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹𝑇) 𝑇)
39 motcgrg.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Word 𝑃)
40 iswrd 14550 . . 3 (𝑇 ∈ Word 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
4139, 40sylib 218 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
4238, 41r19.29a 3159 1 (𝜑 → (𝐹𝑇) 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  wss 3962  {cpr 4632  cop 4636   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  ccom 5692  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cr 11151  0cc0 11152  0cn0 12523  ..^cfzo 13690  Word cword 14548  ndxcnx 17226  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  distcds 17306  cgrGccgrg 28532  Ismtcismt 28554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-word 14549  df-cgrg 28533  df-ismt 28555
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator