MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motcgrg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem motcgrg 27784
Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismot.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
motgrp.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
motcgrg.r ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
motcgrg.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Word 𝑃)
motcgrg.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motcgrg (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   ∼ (𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   βˆ’ (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)
Proof of Theorem motcgrg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
21adantr 481 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
3 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))
4 ismot.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
5 ismot.m . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
6 motgrp.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
7 motcgrg.f . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
84, 5, 6, 7motf1o 27778 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
9 f1of 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 β†’ 𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ 𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
12 fco 6738 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ (𝐹 ∘ 𝑇):(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
1311, 1, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ (𝐹 ∘ 𝑇):(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
1413adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑇):(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
1514fdmd 6725 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ dom (𝐹 ∘ 𝑇) = (0..^𝑛))
163, 15eleqtrd 2835 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ π‘Ž ∈ (0..^𝑛))
17 fvco3 6987 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑛)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘Ž)))
182, 16, 17syl2anc 584 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘Ž)))
19 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))
2019, 15eleqtrd 2835 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝑏 ∈ (0..^𝑛))
21 fvco3 6987 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑛)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘) = (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘)))
222, 20, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘) = (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘)))
2318, 22oveq12d 7423 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘)) = ((πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘Ž)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘))))
246ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
2524adantr 481 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
262, 16ffvelcdmd 7084 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (π‘‡β€˜π‘Ž) ∈ 𝑃)
272, 20ffvelcdmd 7084 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (π‘‡β€˜π‘) ∈ 𝑃)
287ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
294, 5, 25, 26, 27, 28motcgr 27776 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘Ž)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘))) = ((π‘‡β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘)))
3023, 29eqtrd 2772 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘)) = ((π‘‡β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘)))
3130ralrimivva 3200 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)βˆ€π‘ ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)(((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘)) = ((π‘‡β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘)))
32 motcgrg.r . . . 4 ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
33 fzo0ssnn0 13709 . . . . . 6 (0..^𝑛) βŠ† β„•0
34 nn0ssre 12472 . . . . . 6 β„•0 βŠ† ℝ
3533, 34sstri 3990 . . . . 5 (0..^𝑛) βŠ† ℝ
3635a1i 11 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ (0..^𝑛) βŠ† ℝ)
374, 5, 32, 24, 36, 13, 1iscgrgd 27753 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)βˆ€π‘ ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)(((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘)) = ((π‘‡β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘))))
3831, 37mpbird 256 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ (𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇)
39 motcgrg.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Word 𝑃)
40 iswrd 14462 . . 3 (𝑇 ∈ Word 𝑃 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
4139, 40sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
4238, 41r19.29a 3162 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  {cpr 4629  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147  dom cdm 5675   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  β„cr 11105  0cc0 11106  β„•0cn0 12468  ..^cfzo 13623  Word cword 14460  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  distcds 17202  cgrGccgrg 27750  Ismtcismt 27772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-word 14461  df-cgrg 27751  df-ismt 27773
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator