MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motcgrg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem motcgrg 28298
Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismot.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
motgrp.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
motcgrg.r ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
motcgrg.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Word 𝑃)
motcgrg.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motcgrg (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   ∼ (𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   βˆ’ (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)
Proof of Theorem motcgrg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
21adantr 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
3 simprl 768 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))
4 ismot.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
5 ismot.m . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
6 motgrp.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
7 motcgrg.f . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
84, 5, 6, 7motf1o 28292 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
9 f1of 6826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 β†’ 𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
1110ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ 𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
12 fco 6734 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ (𝐹 ∘ 𝑇):(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
1311, 1, 12syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ (𝐹 ∘ 𝑇):(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑇):(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
1514fdmd 6721 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ dom (𝐹 ∘ 𝑇) = (0..^𝑛))
163, 15eleqtrd 2829 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ π‘Ž ∈ (0..^𝑛))
17 fvco3 6983 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑛)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘Ž)))
182, 16, 17syl2anc 583 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘Ž)))
19 simprr 770 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))
2019, 15eleqtrd 2829 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝑏 ∈ (0..^𝑛))
21 fvco3 6983 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑛)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘) = (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘)))
222, 20, 21syl2anc 583 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘) = (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘)))
2318, 22oveq12d 7422 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘)) = ((πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘Ž)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘))))
246ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
2524adantr 480 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
262, 16ffvelcdmd 7080 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (π‘‡β€˜π‘Ž) ∈ 𝑃)
272, 20ffvelcdmd 7080 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (π‘‡β€˜π‘) ∈ 𝑃)
287ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
294, 5, 25, 26, 27, 28motcgr 28290 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘Ž)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘))) = ((π‘‡β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘)))
3023, 29eqtrd 2766 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘)) = ((π‘‡β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘)))
3130ralrimivva 3194 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)βˆ€π‘ ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)(((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘)) = ((π‘‡β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘)))
32 motcgrg.r . . . 4 ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
33 fzo0ssnn0 13716 . . . . . 6 (0..^𝑛) βŠ† β„•0
34 nn0ssre 12477 . . . . . 6 β„•0 βŠ† ℝ
3533, 34sstri 3986 . . . . 5 (0..^𝑛) βŠ† ℝ
3635a1i 11 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ (0..^𝑛) βŠ† ℝ)
374, 5, 32, 24, 36, 13, 1iscgrgd 28267 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)βˆ€π‘ ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)(((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘)) = ((π‘‡β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘))))
3831, 37mpbird 257 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ (𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇)
39 motcgrg.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Word 𝑃)
40 iswrd 14469 . . 3 (𝑇 ∈ Word 𝑃 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
4139, 40sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
4238, 41r19.29a 3156 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  dom cdm 5669   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  β„cr 11108  0cc0 11109  β„•0cn0 12473  ..^cfzo 13630  Word cword 14467  ndxcnx 17132  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  distcds 17212  cgrGccgrg 28264  Ismtcismt 28286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-word 14468  df-cgrg 28265  df-ismt 28287
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator