Theorem motcgrg 26809

Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i	⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
motcgrg.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
motcgrg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Word 𝑃)
motcgrg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motcgrg	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   − (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motcgrg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
2	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
3		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → 𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))
4		ismot.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		ismot.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ − = (dist‘𝐺)
6		motgrp.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		motcgrg.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
8	4, 5, 6, 7	motf1o 26803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
9		f1of 6700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 → 𝐹:𝑃⟶𝑃)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑃⟶𝑃)
11	10	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝐹:𝑃⟶𝑃)
12		fco 6608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑃⟶𝑃 ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
13	11, 1, 12	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → (𝐹 ∘ 𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
15	14	fdmd 6595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → dom (𝐹 ∘ 𝑇) = (0..^𝑛))
16	3, 15	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → 𝑎 ∈ (0..^𝑛))
17		fvco3 6849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝑇)‘𝑎) = (𝐹‘(𝑇‘𝑎)))
18	2, 16, 17	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → ((𝐹 ∘ 𝑇)‘𝑎) = (𝐹‘(𝑇‘𝑎)))
19		simprr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))
20	19, 15	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → 𝑏 ∈ (0..^𝑛))
21		fvco3 6849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃 ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝑇)‘𝑏) = (𝐹‘(𝑇‘𝑏)))
22	2, 20, 21	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → ((𝐹 ∘ 𝑇)‘𝑏) = (𝐹‘(𝑇‘𝑏)))
23	18, 22	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → (((𝐹 ∘ 𝑇)‘𝑎) − ((𝐹 ∘ 𝑇)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑇‘𝑎)) − (𝐹‘(𝑇‘𝑏))))
24	6	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝐺 ∈ 𝑉)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → 𝐺 ∈ 𝑉)
26	2, 16	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → (𝑇‘𝑎) ∈ 𝑃)
27	2, 20	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → (𝑇‘𝑏) ∈ 𝑃)
28	7	ad3antrrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
29	4, 5, 25, 26, 27, 28	motcgr 26801	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → ((𝐹‘(𝑇‘𝑎)) − (𝐹‘(𝑇‘𝑏))) = ((𝑇‘𝑎) − (𝑇‘𝑏)))
30	23, 29	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) → (((𝐹 ∘ 𝑇)‘𝑎) − ((𝐹 ∘ 𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇‘𝑎) − (𝑇‘𝑏)))
31	30	ralrimivva 3114	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → ∀𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)∀𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)(((𝐹 ∘ 𝑇)‘𝑎) − ((𝐹 ∘ 𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇‘𝑎) − (𝑇‘𝑏)))
32		motcgrg.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
33		fzo0ssnn0 13396	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑛) ⊆ ℕ0
34		nn0ssre 12167	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
35	33, 34	sstri 3926	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑛) ⊆ ℝ
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (0..^𝑛) ⊆ ℝ)
37	4, 5, 32, 24, 36, 13, 1	iscgrgd 26778	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → ((𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇 ↔ ∀𝑎 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)∀𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)(((𝐹 ∘ 𝑇)‘𝑎) − ((𝐹 ∘ 𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇‘𝑎) − (𝑇‘𝑏))))
38	31, 37	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇)
39		motcgrg.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Word 𝑃)
40		iswrd 14147	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
41	39, 40	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
42	38, 41	r19.29a 3217	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  dom cdm 5580   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ℝcr 10801  0cc0 10802  ℕ₀cn0 12163  ..^cfzo 13311  Word cword 14145  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  distcds 16897  cgrGccgrg 26775  Ismtcismt 26797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-word 14146  df-cgrg 26776  df-ismt 26798

This theorem is referenced by: (None)