MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motcgrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motcgrg 28552
Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
motcgrg.r = (cgrG‘𝐺)
motcgrg.t (𝜑𝑇 ∈ Word 𝑃)
motcgrg.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motcgrg (𝜑 → (𝐹𝑇) 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motcgrg
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
21adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
3 simprl 771 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇))
4 ismot.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 ismot.m . . . . . . . . . . . . . 14 = (dist‘𝐺)
6 motgrp.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝑉)
7 motcgrg.f . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
84, 5, 6, 7motf1o 28546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑃1-1-onto𝑃)
9 f1of 6848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃𝐹:𝑃𝑃)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑃𝑃)
1110ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝐹:𝑃𝑃)
12 fco 6760 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑃𝑃𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
1311, 1, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
1514fdmd 6746 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → dom (𝐹𝑇) = (0..^𝑛))
163, 15eleqtrd 2843 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑎 ∈ (0..^𝑛))
17 fvco3 7008 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃𝑎 ∈ (0..^𝑛)) → ((𝐹𝑇)‘𝑎) = (𝐹‘(𝑇𝑎)))
182, 16, 17syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → ((𝐹𝑇)‘𝑎) = (𝐹‘(𝑇𝑎)))
19 simprr 773 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))
2019, 15eleqtrd 2843 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑏 ∈ (0..^𝑛))
21 fvco3 7008 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃𝑏 ∈ (0..^𝑛)) → ((𝐹𝑇)‘𝑏) = (𝐹‘(𝑇𝑏)))
222, 20, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → ((𝐹𝑇)‘𝑏) = (𝐹‘(𝑇𝑏)))
2318, 22oveq12d 7449 . . . . 5 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑇𝑎)) (𝐹‘(𝑇𝑏))))
246ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝐺𝑉)
2524adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝐺𝑉)
262, 16ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (𝑇𝑎) ∈ 𝑃)
272, 20ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (𝑇𝑏) ∈ 𝑃)
287ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
294, 5, 25, 26, 27, 28motcgr 28544 . . . . 5 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → ((𝐹‘(𝑇𝑎)) (𝐹‘(𝑇𝑏))) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏)))
3023, 29eqtrd 2777 . . . 4 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏)))
3130ralrimivva 3202 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → ∀𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇)∀𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇)(((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏)))
32 motcgrg.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
33 fzo0ssnn0 13785 . . . . . 6 (0..^𝑛) ⊆ ℕ0
34 nn0ssre 12530 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
3533, 34sstri 3993 . . . . 5 (0..^𝑛) ⊆ ℝ
3635a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (0..^𝑛) ⊆ ℝ)
374, 5, 32, 24, 36, 13, 1iscgrgd 28521 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → ((𝐹𝑇) 𝑇 ↔ ∀𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇)∀𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇)(((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏))))
3831, 37mpbird 257 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹𝑇) 𝑇)
39 motcgrg.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Word 𝑃)
40 iswrd 14554 . . 3 (𝑇 ∈ Word 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
4139, 40sylib 218 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
4238, 41r19.29a 3162 1 (𝜑 → (𝐹𝑇) 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  {cpr 4628  cop 4632   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ccom 5689  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11154  0cc0 11155  0cn0 12526  ..^cfzo 13694  Word cword 14552  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  distcds 17306  cgrGccgrg 28518  Ismtcismt 28540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-word 14553  df-cgrg 28519  df-ismt 28541
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator