MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motcgrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motcgrg 25895
Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
motcgrg.r = (cgrG‘𝐺)
motcgrg.t (𝜑𝑇 ∈ Word 𝑃)
motcgrg.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motcgrg (𝜑 → (𝐹𝑇) 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motcgrg
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
21adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
3 simprl 761 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇))
4 ismot.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 ismot.m . . . . . . . . . . . . . 14 = (dist‘𝐺)
6 motgrp.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝑉)
7 motcgrg.f . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
84, 5, 6, 7motf1o 25889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑃1-1-onto𝑃)
9 f1of 6391 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃𝐹:𝑃𝑃)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑃𝑃)
1110ad2antrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝐹:𝑃𝑃)
12 fco 6308 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑃𝑃𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
1311, 1, 12syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
1413adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
1514fdmd 6300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → dom (𝐹𝑇) = (0..^𝑛))
163, 15eleqtrd 2861 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑎 ∈ (0..^𝑛))
17 fvco3 6535 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃𝑎 ∈ (0..^𝑛)) → ((𝐹𝑇)‘𝑎) = (𝐹‘(𝑇𝑎)))
182, 16, 17syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → ((𝐹𝑇)‘𝑎) = (𝐹‘(𝑇𝑎)))
19 simprr 763 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))
2019, 15eleqtrd 2861 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑏 ∈ (0..^𝑛))
21 fvco3 6535 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃𝑏 ∈ (0..^𝑛)) → ((𝐹𝑇)‘𝑏) = (𝐹‘(𝑇𝑏)))
222, 20, 21syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → ((𝐹𝑇)‘𝑏) = (𝐹‘(𝑇𝑏)))
2318, 22oveq12d 6940 . . . . 5 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑇𝑎)) (𝐹‘(𝑇𝑏))))
246ad2antrr 716 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝐺𝑉)
2524adantr 474 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝐺𝑉)
262, 16ffvelrnd 6624 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (𝑇𝑎) ∈ 𝑃)
272, 20ffvelrnd 6624 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (𝑇𝑏) ∈ 𝑃)
287ad3antrrr 720 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
294, 5, 25, 26, 27, 28motcgr 25887 . . . . 5 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → ((𝐹‘(𝑇𝑎)) (𝐹‘(𝑇𝑏))) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏)))
3023, 29eqtrd 2814 . . . 4 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏)))
3130ralrimivva 3153 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → ∀𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇)∀𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇)(((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏)))
32 motcgrg.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
33 fzo0ssnn0 12868 . . . . . 6 (0..^𝑛) ⊆ ℕ0
34 nn0ssre 11646 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
3533, 34sstri 3830 . . . . 5 (0..^𝑛) ⊆ ℝ
3635a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (0..^𝑛) ⊆ ℝ)
374, 5, 32, 24, 36, 13, 1iscgrgd 25864 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → ((𝐹𝑇) 𝑇 ↔ ∀𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇)∀𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇)(((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏))))
3831, 37mpbird 249 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹𝑇) 𝑇)
39 motcgrg.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Word 𝑃)
40 iswrd 13601 . . 3 (𝑇 ∈ Word 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
4139, 40sylib 210 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
4238, 41r19.29a 3264 1 (𝜑 → (𝐹𝑇) 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wrex 3091  wss 3792  {cpr 4400  cop 4404   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  ccom 5359  wf 6131  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  cr 10271  0cc0 10272  0cn0 11642  ..^cfzo 12784  Word cword 13599  ndxcnx 16252  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  distcds 16347  cgrGccgrg 25861  Ismtcismt 25883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-word 13600  df-cgrg 25862  df-ismt 25884
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator