MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motcgrg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem motcgrg 28368
Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismot.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
motgrp.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
motcgrg.r ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
motcgrg.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Word 𝑃)
motcgrg.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motcgrg (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   ∼ (𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   βˆ’ (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)
Proof of Theorem motcgrg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
21adantr 479 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
3 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))
4 ismot.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
5 ismot.m . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
6 motgrp.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
7 motcgrg.f . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
84, 5, 6, 7motf1o 28362 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
9 f1of 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 β†’ 𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ 𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
12 fco 6752 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ (𝐹 ∘ 𝑇):(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
1311, 1, 12syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ (𝐹 ∘ 𝑇):(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
1413adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑇):(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
1514fdmd 6738 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ dom (𝐹 ∘ 𝑇) = (0..^𝑛))
163, 15eleqtrd 2831 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ π‘Ž ∈ (0..^𝑛))
17 fvco3 7002 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑛)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘Ž)))
182, 16, 17syl2anc 582 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘Ž)))
19 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))
2019, 15eleqtrd 2831 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝑏 ∈ (0..^𝑛))
21 fvco3 7002 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑛)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘) = (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘)))
222, 20, 21syl2anc 582 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘) = (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘)))
2318, 22oveq12d 7444 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘)) = ((πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘Ž)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘))))
246ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
2524adantr 479 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
262, 16ffvelcdmd 7100 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (π‘‡β€˜π‘Ž) ∈ 𝑃)
272, 20ffvelcdmd 7100 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (π‘‡β€˜π‘) ∈ 𝑃)
287ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
294, 5, 25, 26, 27, 28motcgr 28360 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘Ž)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘‡β€˜π‘))) = ((π‘‡β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘)))
3023, 29eqtrd 2768 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) ∧ (π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇))) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘)) = ((π‘‡β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘)))
3130ralrimivva 3198 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)βˆ€π‘ ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)(((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘)) = ((π‘‡β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘)))
32 motcgrg.r . . . 4 ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
33 fzo0ssnn0 13753 . . . . . 6 (0..^𝑛) βŠ† β„•0
34 nn0ssre 12514 . . . . . 6 β„•0 βŠ† ℝ
3533, 34sstri 3991 . . . . 5 (0..^𝑛) βŠ† ℝ
3635a1i 11 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ (0..^𝑛) βŠ† ℝ)
374, 5, 32, 24, 36, 13, 1iscgrgd 28337 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)βˆ€π‘ ∈ dom (𝐹 ∘ 𝑇)(((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝑇)β€˜π‘)) = ((π‘‡β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘))))
3831, 37mpbird 256 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ) β†’ (𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇)
39 motcgrg.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Word 𝑃)
40 iswrd 14506 . . 3 (𝑇 ∈ Word 𝑃 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
4139, 40sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑇:(0..^𝑛)βŸΆπ‘ƒ)
4238, 41r19.29a 3159 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑇) ∼ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949  {cpr 4634  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152  dom cdm 5682   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  β„cr 11145  0cc0 11146  β„•0cn0 12510  ..^cfzo 13667  Word cword 14504  ndxcnx 17169  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  distcds 17249  cgrGccgrg 28334  Ismtcismt 28356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-word 14505  df-cgrg 28335  df-ismt 28357
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator