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Theorem iscgrglt 27505
Description: The property for two sequences 𝐴 and 𝐡 of points to be congruent, where the congruence is only required for indices verifying a less-than relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcgrg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
trgcgrg.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
trgcgrg.r ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
trgcgrg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgrglt.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
iscgrglt.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ)
iscgrglt.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
iscgrglt (πœ‘ β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴(𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))))
Distinct variable groups:   βˆ’ ,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝐡,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   πœ‘,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑃(𝑖,𝑗)   ∼ (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem iscgrglt
Dummy variables π‘˜ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trgcgrg.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 trgcgrg.m . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 trgcgrg.r . . 3 ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
4 trgcgrg.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5 iscgrglt.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
6 iscgrglt.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ)
7 iscgrglt.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7iscgrgd 27504 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))
9 simp2 1138 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴)) ∧ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))
1093exp 1120 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴)) β†’ (((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))))
1110ralimdvva 3198 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴(𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))))
12 breq1 5112 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ < 𝑙 ↔ 𝑖 < 𝑙))
13 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘–))
1413oveq1d 7376 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)))
15 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘–))
1615oveq1d 7376 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))
1714, 16eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)) ↔ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘™))))
1812, 17imbi12d 345 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™))) ↔ (𝑖 < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))))
19 breq2 5113 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑗 β†’ (𝑖 < 𝑙 ↔ 𝑖 < 𝑗))
20 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘™) = (π΄β€˜π‘—))
2120oveq2d 7377 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)))
22 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 β†’ (π΅β€˜π‘™) = (π΅β€˜π‘—))
2322oveq2d 7377 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))
2421, 23eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑗 β†’ (((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)) ↔ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))
2519, 24imbi12d 345 . . . . 5 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((𝑖 < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘™))) ↔ (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))))
2618, 25cbvral2vw 3226 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™))) ↔ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴(𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))
27 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑖 ∈ dom 𝐴)
28 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝐴)
29 simp-4r 783 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™))))
3027, 28, 29jca31 516 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ ((𝑖 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))))
31 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑖 < 𝑗)
3218, 25rspc2va 3593 . . . . . . . . 9 (((𝑖 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))
3330, 31, 32sylc 65 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))
34 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Itvβ€˜πΊ) = (Itvβ€˜πΊ)
354ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 = 𝑗) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
366ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ 𝐴:π·βŸΆπ‘ƒ)
37 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ 𝑖 ∈ dom 𝐴)
3836fdmd 6683 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ dom 𝐴 = 𝐷)
3937, 38eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ 𝑖 ∈ 𝐷)
4036, 39ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ 𝑃)
4140adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 = 𝑗) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ 𝑃)
427ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ 𝐡:π·βŸΆπ‘ƒ)
4342, 39ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ (π΅β€˜π‘–) ∈ 𝑃)
4443adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 = 𝑗) β†’ (π΅β€˜π‘–) ∈ 𝑃)
451, 2, 34, 35, 41, 44tgcgrtriv 27475 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 = 𝑗) β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘–)))
46 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 = 𝑗) β†’ 𝑖 = 𝑗)
4746fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 = 𝑗) β†’ (π΄β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘—))
4847oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 = 𝑗) β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)) = ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)))
4946fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 = 𝑗) β†’ (π΅β€˜π‘–) = (π΅β€˜π‘—))
5049oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 = 𝑗) β†’ ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘–)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))
5145, 48, 503eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 = 𝑗) β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))
5251adantl3r 749 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑖 = 𝑗) β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))
534ad4antr 731 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝐴)
5554, 38eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
5636, 55ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ 𝑃)
5756adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ 𝑃)
5857adantl3r 749 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ 𝑃)
5940adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ 𝑃)
6059adantl3r 749 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ 𝑃)
6142, 55ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ 𝑃)
6261adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ 𝑃)
6362adantl3r 749 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ 𝑃)
6443adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π΅β€˜π‘–) ∈ 𝑃)
6564adantl3r 749 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π΅β€˜π‘–) ∈ 𝑃)
66 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝐴)
67 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ 𝑖 ∈ dom 𝐴)
68 simp-4r 783 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™))))
6966, 67, 68jca31 516 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ ((𝑗 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))))
70 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ 𝑗 < 𝑖)
71 breq1 5112 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ < 𝑙 ↔ 𝑗 < 𝑙))
72 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘—))
7372oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)))
74 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘—))
7574oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))
7673, 75eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)) ↔ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΅β€˜π‘™))))
7771, 76imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™))) ↔ (𝑗 < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))))
78 breq2 5113 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑖 β†’ (𝑗 < 𝑙 ↔ 𝑗 < 𝑖))
79 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = 𝑖 β†’ (π΄β€˜π‘™) = (π΄β€˜π‘–))
8079oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑖 β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)))
81 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = 𝑖 β†’ (π΅β€˜π‘™) = (π΅β€˜π‘–))
8281oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑖 β†’ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΅β€˜π‘–)))
8380, 82eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑖 β†’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)) ↔ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)) = ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΅β€˜π‘–))))
8478, 83imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑖 β†’ ((𝑗 < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΅β€˜π‘™))) ↔ (𝑗 < 𝑖 β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)) = ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΅β€˜π‘–)))))
8577, 84rspc2va 3593 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) β†’ (𝑗 < 𝑖 β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)) = ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΅β€˜π‘–))))
8669, 70, 85sylc 65 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘–)) = ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΅β€˜π‘–)))
871, 2, 34, 53, 58, 60, 63, 65, 86tgcgrcomlr 27471 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))
886fdmd 6683 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom 𝐴 = 𝐷)
8988, 5eqsstrd 3986 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐴 βŠ† ℝ)
9089ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ dom 𝐴 βŠ† ℝ)
91 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ 𝑖 ∈ dom 𝐴)
9290, 91sseldd 3949 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
93 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝐴)
9490, 93sseldd 3949 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
9592, 94lttri4d 11304 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ (𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
9633, 52, 87, 95mpjao3dan 1432 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴) β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))
9796anasss 468 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) ∧ (𝑖 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐴)) β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))
9897ralrimivva 3194 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))
9998ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ dom π΄βˆ€π‘™ ∈ dom 𝐴(π‘˜ < 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘™)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘™))) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))
10026, 99biimtrrid 242 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴(𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—))))
10111, 100impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)) ↔ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴(𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))))
1028, 101bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ βˆ€π‘– ∈ dom π΄βˆ€π‘— ∈ dom 𝐴(𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘–) βˆ’ (π΅β€˜π‘—)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058   < clt 11197  Basecbs 17091  distcds 17150  TarskiGcstrkg 27418  Itvcitv 27424  cgrGccgrg 27501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-trkgc 27439  df-trkgcb 27441  df-trkg 27444  df-cgrg 27502
This theorem is referenced by:  tgcgr4  27522
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