Theorem iscplgredg 29449

Description: A graph 𝐺 is complete iff all vertices are connected with each other by (at least) one edge. (Contributed by AV, 10-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplgruvtxb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscplgredg.v	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iscplgredg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑛,𝐺,𝑣   𝑛,𝑉   𝑣,𝑊   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem iscplgredg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplgruvtxb.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	iscplgrnb 29448	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
3		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
5		iscplgredg.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 5	nbgrel 29372	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
8		eldifsn 4791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) ↔ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
10		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) → 𝑛 ∈ 𝑉)
11	9, 10	anim12ci 614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
12		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → 𝑛 ≠ 𝑣)
13	11, 12	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
14	8, 13	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
15	14	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
16	4, 7, 15	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
17	16	ralbidva 3174	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
18	17	ralbidva 3174	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
19	2, 18	bitrd 279	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Vtxcvtx 29028  Edgcedg 29079   NeighbVtx cnbgr 29364  ComplGraphccplgr 29441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-nbgr 29365  df-uvtx 29418  df-cplgr 29443

This theorem is referenced by:  cplgrop  29469  cusconngr  30220  cplgredgex  35105