MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscplgredg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscplgredg 28664
Description: A graph 𝐺 is complete iff all vertices are connected with each other by (at least) one edge. (Contributed by AV, 10-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cplgruvtxb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscplgredg.v 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
iscplgredg (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑛,𝐺,𝑣   𝑛,𝑉   𝑣,𝑊   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem iscplgredg
StepHypRef Expression
1 cplgruvtxb.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21iscplgrnb 28663 . 2 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
3 df-3an 1090 . . . . . 6 (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
43a1i 11 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
5 iscplgredg.v . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
61, 5nbgrel 28587 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
76a1i 11 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
8 eldifsn 4790 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) ↔ (𝑛𝑉𝑛𝑣))
9 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑊𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
10 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑉𝑛𝑣) → 𝑛𝑉)
119, 10anim12ci 615 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ (𝑛𝑉𝑛𝑣)) → (𝑛𝑉𝑣𝑉))
12 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ (𝑛𝑉𝑛𝑣)) → 𝑛𝑣)
1311, 12jca 513 . . . . . . 7 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ (𝑛𝑉𝑛𝑣)) → ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣))
148, 13sylan2b 595 . . . . . 6 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣))
1514biantrurd 534 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
164, 7, 153bitr4d 311 . . . 4 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
1716ralbidva 3176 . . 3 ((𝐺𝑊𝑣𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
1817ralbidva 3176 . 2 (𝐺𝑊 → (∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
192, 18bitrd 279 1 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  cdif 3945  wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  cfv 6541  (class class class)co 7406  Vtxcvtx 28246  Edgcedg 28297   NeighbVtx cnbgr 28579  ComplGraphccplgr 28656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-nbgr 28580  df-uvtx 28633  df-cplgr 28658
This theorem is referenced by:  cplgrop  28684  cusconngr  29434  cplgredgex  34100
  Copyright terms: Public domain W3C validator