Theorem iscplgredg 29998

Description: A graph 𝐺 is complete iff all vertices are connected with each other by (at least) one edge. (Contributed by AV, 10-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplgruvtxb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscplgredg.v	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iscplgredg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑛,𝐺,𝑣   𝑛,𝑉   𝑣,𝑊   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem iscplgredg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplgruvtxb.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	iscplgrnb 29997	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
3		df-3an 1105	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
5		iscplgredg.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 5	nbgrel 29921	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
8		eldifsn 4747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) ↔ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
9		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
10		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) → 𝑛 ∈ 𝑉)
11	9, 10	anim12ci 626	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
12		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → 𝑛 ≠ 𝑣)
13	11, 12	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
14	8, 13	sylan2b 606	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
15	14	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
16	4, 7, 15	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
17	16	ralbidva 3183	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
18	17	ralbidva 3183	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
19	2, 18	bitrd 282	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Vtxcvtx 29574  Edgcedg 29625   NeighbVtx cnbgr 29913  ComplGraphccplgr 29990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-nbgr 29914  df-uvtx 29967  df-cplgr 29992

This theorem is used by:  cplgrop  30018  cusconngr  30792  cplgredgex  35905