MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscplgredg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscplgredg 29143
Description: A graph 𝐺 is complete iff all vertices are connected with each other by (at least) one edge. (Contributed by AV, 10-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cplgruvtxb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscplgredg.v 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
iscplgredg (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑛,𝐺,𝑣   𝑛,𝑉   𝑣,𝑊   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem iscplgredg
StepHypRef Expression
1 cplgruvtxb.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21iscplgrnb 29142 . 2 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
3 df-3an 1086 . . . . . 6 (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
43a1i 11 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
5 iscplgredg.v . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
61, 5nbgrel 29066 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
76a1i 11 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
8 eldifsn 4782 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) ↔ (𝑛𝑉𝑛𝑣))
9 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑊𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
10 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑉𝑛𝑣) → 𝑛𝑉)
119, 10anim12ci 613 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ (𝑛𝑉𝑛𝑣)) → (𝑛𝑉𝑣𝑉))
12 simprr 770 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ (𝑛𝑉𝑛𝑣)) → 𝑛𝑣)
1311, 12jca 511 . . . . . . 7 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ (𝑛𝑉𝑛𝑣)) → ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣))
148, 13sylan2b 593 . . . . . 6 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣))
1514biantrurd 532 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
164, 7, 153bitr4d 311 . . . 4 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
1716ralbidva 3167 . . 3 ((𝐺𝑊𝑣𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
1817ralbidva 3167 . 2 (𝐺𝑊 → (∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
192, 18bitrd 279 1 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  wrex 3062  cdif 3937  wss 3940  {csn 4620  {cpr 4622  cfv 6533  (class class class)co 7401  Vtxcvtx 28725  Edgcedg 28776   NeighbVtx cnbgr 29058  ComplGraphccplgr 29135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-nbgr 29059  df-uvtx 29112  df-cplgr 29137
This theorem is referenced by:  cplgrop  29163  cusconngr  29913  cplgredgex  34600
  Copyright terms: Public domain W3C validator