Theorem iscplgredg 27505

Description: A graph 𝐺 is complete iff all vertices are connected with each other by (at least) one edge. (Contributed by AV, 10-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplgruvtxb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscplgredg.v	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iscplgredg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑛,𝐺,𝑣   𝑛,𝑉   𝑣,𝑊   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem iscplgredg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplgruvtxb.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	iscplgrnb 27504	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
3		df-3an 1091	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
5		iscplgredg.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 5	nbgrel 27428	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
8		eldifsn 4700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) ↔ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
9		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
10		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) → 𝑛 ∈ 𝑉)
11	9, 10	anim12ci 617	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
12		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → 𝑛 ≠ 𝑣)
13	11, 12	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
14	8, 13	sylan2b 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
15	14	biantrurd 536	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
16	4, 7, 15	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
17	16	ralbidva 3117	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
18	17	ralbidva 3117	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
19	2, 18	bitrd 282	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3863   ⊆ wss 3866  {csn 4541  {cpr 4543  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Vtxcvtx 27087  Edgcedg 27138   NeighbVtx cnbgr 27420  ComplGraphccplgr 27497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-nbgr 27421  df-uvtx 27474  df-cplgr 27499

This theorem is referenced by:  cplgrop  27525  cusconngr  28274  cplgredgex  32795