MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscplgredg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscplgredg 27505
Description: A graph 𝐺 is complete iff all vertices are connected with each other by (at least) one edge. (Contributed by AV, 10-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cplgruvtxb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscplgredg.v 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
iscplgredg (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑛,𝐺,𝑣   𝑛,𝑉   𝑣,𝑊   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem iscplgredg
StepHypRef Expression
1 cplgruvtxb.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21iscplgrnb 27504 . 2 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
3 df-3an 1091 . . . . . 6 (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
43a1i 11 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
5 iscplgredg.v . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
61, 5nbgrel 27428 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
76a1i 11 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
8 eldifsn 4700 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) ↔ (𝑛𝑉𝑛𝑣))
9 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑊𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
10 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑉𝑛𝑣) → 𝑛𝑉)
119, 10anim12ci 617 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ (𝑛𝑉𝑛𝑣)) → (𝑛𝑉𝑣𝑉))
12 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ (𝑛𝑉𝑛𝑣)) → 𝑛𝑣)
1311, 12jca 515 . . . . . . 7 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ (𝑛𝑉𝑛𝑣)) → ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣))
148, 13sylan2b 597 . . . . . 6 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣))
1514biantrurd 536 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
164, 7, 153bitr4d 314 . . . 4 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
1716ralbidva 3117 . . 3 ((𝐺𝑊𝑣𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
1817ralbidva 3117 . 2 (𝐺𝑊 → (∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
192, 18bitrd 282 1 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  cdif 3863  wss 3866  {csn 4541  {cpr 4543  cfv 6380  (class class class)co 7213  Vtxcvtx 27087  Edgcedg 27138   NeighbVtx cnbgr 27420  ComplGraphccplgr 27497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-nbgr 27421  df-uvtx 27474  df-cplgr 27499
This theorem is referenced by:  cplgrop  27525  cusconngr  28274  cplgredgex  32795
  Copyright terms: Public domain W3C validator