Theorem iscplgredg 29863

Description: A graph 𝐺 is complete iff all vertices are connected with each other by (at least) one edge. (Contributed by AV, 10-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplgruvtxb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscplgredg.v	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iscplgredg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑛,𝐺,𝑣   𝑛,𝑉   𝑣,𝑊   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem iscplgredg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplgruvtxb.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	iscplgrnb 29862	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
3		df-3an 1105	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
5		iscplgredg.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 5	nbgrel 29786	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
8		eldifsn 4751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) ↔ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
9		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
10		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) → 𝑛 ∈ 𝑉)
11	9, 10	anim12ci 626	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
12		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → 𝑛 ≠ 𝑣)
13	11, 12	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ≠ 𝑣)) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
14	8, 13	sylan2b 606	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣))
15	14	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
16	4, 7, 15	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
17	16	ralbidva 3185	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
18	17	ralbidva 3185	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
19	2, 18	bitrd 282	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587  {cpr 4589  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Vtxcvtx 29439  Edgcedg 29490   NeighbVtx cnbgr 29778  ComplGraphccplgr 29855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-nbgr 29779  df-uvtx 29832  df-cplgr 29857

This theorem is used by:  cplgrop  29883  cusconngr  30657  cplgredgex  35706