MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusconngr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusconngr 30045
Description: A complete hypergraph is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
cusconngr ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem cusconngr
Dummy variables 𝑐 𝑒 𝑓 π‘˜ 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2725 . . . . 5 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
31, 2iscplgredg 29274 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒))
4 simp-4l 781 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒) β†’ 𝐺 ∈ UHGraph)
5 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 eldifi 4119 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜}) β†’ 𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
75, 6anim12i 611 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) β†’ (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
87adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
98adantr 479 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒) β†’ (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
10 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
11 sseq2 3999 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑒 β†’ ({π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑐 ↔ {π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒))
1211adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ 𝑐 = 𝑒) β†’ ({π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑐 ↔ {π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒))
1310, 12rspcedv 3594 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ({π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑐))
1413adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ({π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑐))
1514imp 405 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑐)
161, 21pthon2v 30007 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑐) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
174, 9, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
1817rexlimdva2 3147 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
1918ralimdva 3157 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2019ralimdva 3157 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
213, 20sylbid 239 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (𝐺 ∈ ComplGraph β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2221imp 405 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
231isconngr1 30044 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2423adantr 479 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2522, 24mpbird 256 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Vtxcvtx 28853  Edgcedg 28904  UHGraphcuhgr 28913  ComplGraphccplgr 29266  PathsOncpthson 29572  ConnGraphcconngr 30040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831  df-edg 28905  df-uhgr 28915  df-nbgr 29190  df-uvtx 29243  df-cplgr 29268  df-wlks 29457  df-wlkson 29458  df-trls 29550  df-trlson 29551  df-pths 29574  df-pthson 29576  df-conngr 30041
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator