MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusconngr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cusconngr 29444
Description: A complete hypergraph is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
cusconngr ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
Proof of Theorem cusconngr
Dummy variables 𝑐 𝑒 𝑓 π‘˜ 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2733 . . . . 5 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
31, 2iscplgredg 28674 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒))
4 simp-4l 782 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒) β†’ 𝐺 ∈ UHGraph)
5 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 eldifi 4127 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜}) β†’ 𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
75, 6anim12i 614 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) β†’ (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
87adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
98adantr 482 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒) β†’ (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
10 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
11 sseq2 4009 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑒 β†’ ({π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑐 ↔ {π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒))
1211adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ 𝑐 = 𝑒) β†’ ({π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑐 ↔ {π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒))
1310, 12rspcedv 3606 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ({π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑐))
1413adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ({π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑐))
1514imp 408 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑐)
161, 21pthon2v 29406 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑐) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
174, 9, 15, 16syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
1817rexlimdva2 3158 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
1918ralimdva 3168 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2019ralimdva 3168 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){π‘˜, 𝑛} βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
213, 20sylbid 239 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (𝐺 ∈ ComplGraph β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2221imp 408 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝)
231isconngr1 29443 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2423adantr 482 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2522, 24mpbird 257 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307  UHGraphcuhgr 28316  ComplGraphccplgr 28666  PathsOncpthson 28971  ConnGraphcconngr 29439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-nbgr 28590  df-uvtx 28643  df-cplgr 28668  df-wlks 28856  df-wlkson 28857  df-trls 28949  df-trlson 28950  df-pths 28973  df-pthson 28975  df-conngr 29440
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator