Theorem cusconngr 30551

Description: A complete hypergraph is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cusconngr	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem cusconngr

Dummy variables 𝑐 𝑒 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	iscplgredg 29776	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒))
4		simp-4l 794	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒) → 𝐺 ∈ UHGraph)
5		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		eldifi 4085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘}) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
7	5, 6	anim12i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) → (𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)))
8	7	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)))
9	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒) → (𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)))
10		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) → 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
11		sseq2 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑒 → ({𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑐 ↔ {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒))
12	11	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑐 = 𝑒) → ({𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑐 ↔ {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒))
13	10, 12	rspcedv 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) → ({𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 → ∃𝑐 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑐))
14	13	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → ({𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 → ∃𝑐 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑐))
15	14	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒) → ∃𝑐 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑐)
16	1, 2	1pthon2v 30513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
17	4, 9, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
18	17	rexlimdva2 3168	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
19	18	ralimdva 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
20	19	ralimdva 3177	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
21	3, 20	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
22	21	imp 411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
23	1	isconngr1 30550	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
24	23	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
25	22, 24	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589  {cpr 4591   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Vtxcvtx 29355  Edgcedg 29406  UHGraphcuhgr 29415  ComplGraphccplgr 29768  PathsOncpthson 30070  ConnGraphcconngr 30546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-concat 14613  df-s1 14639  df-s2 14890  df-edg 29407  df-uhgr 29417  df-nbgr 29692  df-uvtx 29745  df-cplgr 29770  df-wlks 29958  df-wlkson 29959  df-trls 30049  df-trlson 30050  df-pths 30072  df-pthson 30074  df-conngr 30547

This theorem is used by: (None)