Theorem cusconngr 30655

Description: A complete hypergraph is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cusconngr	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem cusconngr

Dummy variables 𝑐 𝑒 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	iscplgredg 29861	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒))
4		simp-4l 795	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒) → 𝐺 ∈ UHGraph)
5		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		eldifi 4081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘}) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
7	5, 6	anim12i 625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) → (𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)))
8	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)))
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒) → (𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)))
10		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) → 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
11		sseq2 3960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑒 → ({𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑐 ↔ {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒))
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑐 = 𝑒) → ({𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑐 ↔ {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒))
13	10, 12	rspcedv 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) → ({𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 → ∃𝑐 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑐))
14	13	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → ({𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 → ∃𝑐 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑐))
15	14	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒) → ∃𝑐 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑐)
16	1, 2	1pthon2v 30617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
17	4, 9, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
18	17	rexlimdva2 3167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
19	18	ralimdva 3176	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
20	19	ralimdva 3176	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑘, 𝑛} ⊆ 𝑒 → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
21	3, 20	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
22	21	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
23	1	isconngr1 30654	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
24	23	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
25	22, 24	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → 𝐺 ∈ ConnGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Vtxcvtx 29437  Edgcedg 29488  UHGraphcuhgr 29497  ComplGraphccplgr 29853  PathsOncpthson 30160  ConnGraphcconngr 30650

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-edg 29489  df-uhgr 29499  df-nbgr 29777  df-uvtx 29830  df-cplgr 29855  df-wlks 30043  df-wlkson 30044  df-trls 30138  df-trlson 30139  df-pths 30162  df-pthson 30164  df-conngr 30651

This theorem is used by: (None)