Theorem nbgrel 27382

Description: Characterization of a neighbor 𝑁 of a vertex 𝑋 in a graph 𝐺. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 9-Oct-2017.) (Revised by AV, 26-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbgrel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbgrel.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbgrel	⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ≠ 𝑋 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑋   𝑒,𝑉

Proof of Theorem nbgrel

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbgrel.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	nbgrcl 27377	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	pm4.71ri 564	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
4		nbgrel.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	1, 4	nbgrval 27378	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑛} ⊆ 𝑒})
6	5	eleq2d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑛} ⊆ 𝑒}))
7		preq2 4636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑋, 𝑛} = {𝑋, 𝑁})
8	7	sseq1d 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝑋, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒))
9	8	rexbidv 3206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒))
10	9	elrab 3591	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑛} ⊆ 𝑒} ↔ (𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒))
11		eldifsn 4686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑋))
12	11	anbi1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒) ↔ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑋) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒))
13	10, 12	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑛} ⊆ 𝑒} ↔ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑋) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒))
14	6, 13	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑋) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒)))
15	14	pm5.32i 578	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑋) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒)))
16		df-3an 1091	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ≠ 𝑋 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ≠ 𝑋) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒))
17		anass 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ≠ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑋)))
18		ancom 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
19	18	anbi1i 627	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ≠ 𝑋))
20	17, 19	bitr3i 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑋)) ↔ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ≠ 𝑋))
21	20	anbi1i 627	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑋)) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ≠ 𝑋) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒))
22		anass 472	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑋)) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑋) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒)))
23	16, 21, 22	3bitr2ri 303	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑋) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒)) ↔ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ≠ 𝑋 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒))
24	15, 23	bitri 278	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ≠ 𝑋 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒))
25	3, 24	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ≠ 𝑋 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑁} ⊆ 𝑒))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∃wrex 3052  {crab 3055   ∖ cdif 3850   ⊆ wss 3853  {csn 4527  {cpr 4529  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Vtxcvtx 27041  Edgcedg 27092   NeighbVtx cnbgr 27374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-nbgr 27375

This theorem is referenced by:  nbgrisvtx  27383  nbgr2vtx1edg  27392  nbuhgr2vtx1edgblem  27393  nbuhgr2vtx1edgb  27394  nbgrsym  27405  isuvtx  27437  iscplgredg  27459  cusgrexi  27485  structtocusgr  27488