MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filss 23701
Description: A filter is closed under taking supersets. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filss ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → 𝐵𝐹)

Proof of Theorem filss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfil 23695 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹)))
21simprbi 496 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
32adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
4 elfvdm 6919 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Fil)
5 simp2 1134 . . 3 ((𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵) → 𝐵𝑋)
6 elpw2g 5335 . . . 4 (𝑋 ∈ dom Fil → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵𝑋))
76biimpar 477 . . 3 ((𝑋 ∈ dom Fil ∧ 𝐵𝑋) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
84, 5, 7syl2an 595 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
9 simpr1 1191 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → 𝐴𝐹)
10 simpr3 1193 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
119, 10elpwd 4601 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
12 inelcm 4457 . . 3 ((𝐴𝐹𝐴 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅)
139, 11, 12syl2anc 583 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅)
14 pweq 4609 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐵)
1514ineq2d 4205 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵))
1615neeq1d 2992 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅))
17 eleq1 2813 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐹𝐵𝐹))
1816, 17imbi12d 344 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵𝐹)))
1918rspccv 3601 . 2 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵𝐹)))
203, 8, 13, 19syl3c 66 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → 𝐵𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  cin 3940  wss 3941  c0 4315  𝒫 cpw 4595  dom cdm 5667  cfv 6534  fBascfbas 21222  Filcfil 23693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-fil 23694
This theorem is referenced by:  filin  23702  filtop  23703  isfil2  23704  infil  23711  fgfil  23723  fgabs  23727  filconn  23731  filuni  23733  trfil2  23735  trfg  23739  isufil2  23756  ufprim  23757  ufileu  23767  filufint  23768  elfm3  23798  rnelfm  23801  fmfnfmlem2  23803  fmfnfmlem4  23805  flimopn  23823  flimrest  23831  flimfnfcls  23876  fclscmpi  23877  alexsublem  23892  metust  24411  cfil3i  25141  cfilfcls  25146  iscmet3lem2  25164  equivcfil  25171  relcmpcmet  25190  minveclem4  25304  fgmin  35756
  Copyright terms: Public domain W3C validator