Theorem filss 23756

Description: A filter is closed under taking supersets. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem filss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23750	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
4		elfvdm 6934	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Fil)
5		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
6		elpw2g 5346	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom Fil → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
7	6	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ dom Fil ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
8	4, 5, 7	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
9		simpr1 1192	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
10		simpr3 1194	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
11	9, 10	elpwd 4609	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
12		inelcm 4465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅)
13	9, 11, 12	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅)
14		pweq 4617	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐵)
15	14	ineq2d 4212	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵))
16	15	neeq1d 2997	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅))
17		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐹))
18	16, 17	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ 𝐹)))
19	18	rspccv 3606	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ 𝐹)))
20	3, 8, 13, 19	syl3c 66	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  dom cdm 5678  ‘cfv 6548  fBascfbas 21266  Filcfil 23748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-fil 23749

This theorem is referenced by:  filin  23757  filtop  23758  isfil2  23759  infil  23766  fgfil  23778  fgabs  23782  filconn  23786  filuni  23788  trfil2  23790  trfg  23794  isufil2  23811  ufprim  23812  ufileu  23822  filufint  23823  elfm3  23853  rnelfm  23856  fmfnfmlem2  23858  fmfnfmlem4  23860  flimopn  23878  flimrest  23886  flimfnfcls  23931  fclscmpi  23932  alexsublem  23947  metust  24466  cfil3i  25196  cfilfcls  25201  iscmet3lem2  25219  equivcfil  25226  relcmpcmet  25245  minveclem4  25359  fgmin  35854