Theorem filss 23067

Description: A filter is closed under taking supersets. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem filss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 23061	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
3	2	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
4		elfvdm 6838	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Fil)
5		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
6		elpw2g 5276	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom Fil → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
7	6	biimpar 478	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ dom Fil ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
8	4, 5, 7	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
9		simpr1 1193	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
10		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
11	9, 10	elpwd 4544	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
12		inelcm 4403	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅)
13	9, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅)
14		pweq 4552	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐵)
15	14	ineq2d 4151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵))
16	15	neeq1d 2999	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅))
17		eleq1 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐹))
18	16, 17	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ 𝐹)))
19	18	rspccv 3562	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ 𝐹)))
20	3, 8, 13, 19	syl3c 66	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1538   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2939  ∀wral 3060   ∩ cin 3890   ⊆ wss 3891  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4538  dom cdm 5600  ‘cfv 6458  fBascfbas 20648  Filcfil 23059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1968  ax-7 2008  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2134  ax-11 2151  ax-12 2168  ax-ext 2706  ax-sep 5231  ax-nul 5238  ax-pr 5360

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2813  df-nfc 2885  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3357  df-v 3438  df-sbc 3721  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4844  df-br 5081  df-opab 5143  df-mpt 5164  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-fil 23060

This theorem is referenced by:  filin  23068  filtop  23069  isfil2  23070  infil  23077  fgfil  23089  fgabs  23093  filconn  23097  filuni  23099  trfil2  23101  trfg  23105  isufil2  23122  ufprim  23123  ufileu  23133  filufint  23134  elfm3  23164  rnelfm  23167  fmfnfmlem2  23169  fmfnfmlem4  23171  flimopn  23189  flimrest  23197  flimfnfcls  23242  fclscmpi  23243  alexsublem  23258  metust  23777  cfil3i  24496  cfilfcls  24501  iscmet3lem2  24519  equivcfil  24526  relcmpcmet  24545  minveclem4  24659  fgmin  34618