Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zartopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zartopn 32520
Description: The Zariski topology is a topology, and its closed sets are images by 𝑉 of the ideals of 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zartop.1 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
zartop.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
zarcls.1 𝑃 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
zarcls.2 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
Assertion
Ref Expression
zartopn (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ) ∧ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜π½)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗)   𝐽(𝑖,𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem zartopn
Dummy variables 𝑠 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4041 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} βŠ† 𝑃
2 zarcls.1 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
32fvexi 6860 . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ V
43elpw2 5306 . . . . . . . 8 ({𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 ↔ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} βŠ† 𝑃)
51, 4mpbir 230 . . . . . . 7 {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
65rgenw 3065 . . . . . 6 βˆ€π‘– ∈ (LIdealβ€˜π‘…){𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
7 zarcls.2 . . . . . . 7 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
87rnmptss 7074 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ (LIdealβ€˜π‘…){𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝒫 𝑃)
96, 8ax-mp 5 . . . . 5 ran 𝑉 βŠ† 𝒫 𝑃
109a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝒫 𝑃)
11 crngring 19984 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
122rabeqi 3419 . . . . . . . . 9 {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}
1312mpteq2i 5214 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
147, 13eqtri 2761 . . . . . . 7 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
1614, 2, 15zarcls0 32513 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = 𝑃)
177funmpt2 6544 . . . . . . 7 Fun 𝑉
18 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
1918, 15lidl0 20734 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
203rabex 5293 . . . . . . . . 9 {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ∈ V
2120, 7dmmpti 6649 . . . . . . . 8 dom 𝑉 = (LIdealβ€˜π‘…)
2219, 21eleqtrrdi 2845 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ dom 𝑉)
23 fvelrn 7031 . . . . . . 7 ((Fun 𝑉 ∧ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ dom 𝑉) β†’ (π‘‰β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) ∈ ran 𝑉)
2417, 22, 23sylancr 588 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) ∈ ran 𝑉)
2516, 24eqeltrrd 2835 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ ran 𝑉)
2611, 25syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ ran 𝑉)
2714zarclsint 32517 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑧 βŠ† ran 𝑉 ∧ 𝑧 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑧 ∈ ran 𝑉)
2810, 26, 27ismred 17490 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ ran 𝑉 ∈ (Mooreβ€˜π‘ƒ))
29 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3021, 29lidl1 20735 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ dom 𝑉)
3111, 30syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ dom 𝑉)
3231, 21eleqtrdi 2844 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3314, 29zarcls1 32514 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = βˆ… ↔ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)))
3429, 33mpbiri 258 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = βˆ…)
3532, 34mpdan 686 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = βˆ…)
3617a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ Fun 𝑉)
37 fvelrn 7031 . . . . 5 ((Fun 𝑉 ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ dom 𝑉) β†’ (π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) ∈ ran 𝑉)
3836, 31, 37syl2anc 585 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) ∈ ran 𝑉)
3935, 38eqeltrrd 2835 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ βˆ… ∈ ran 𝑉)
4014zarclsun 32515 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘₯ ∈ ran 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑉) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ ran 𝑉)
41 eqid 2733 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉}
4228, 39, 40, 41mretopd 22466 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉} ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ) ∧ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉})))
43 zartop.1 . . . . . 6 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
44 zartop.2 . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
4543, 44, 2, 7zarcls 32519 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉})
4611, 45syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉})
4746eleq1d 2819 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ) ↔ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉} ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ)))
4846fveq2d 6850 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Clsdβ€˜π½) = (Clsdβ€˜{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉}))
4948eqeq2d 2744 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ (ran 𝑉 = (Clsdβ€˜π½) ↔ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉})))
5047, 49anbi12d 632 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ) ∧ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜π½)) ↔ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉} ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ) ∧ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉}))))
5142, 50mpbird 257 1 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ) ∧ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638  Fun wfun 6494  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  TopOpenctopn 17311  0gc0g 17329  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973  LIdealclidl 20676  TopOnctopon 22282  Clsdccld 22390  PrmIdealcprmidl 32262  Speccrspec 32507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-ac2 10407  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-rpss 7664  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-ac 10060  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-lidl 20680  df-rsp 20681  df-lpidl 20758  df-top 22266  df-topon 22283  df-cld 22393  df-prmidl 32263  df-mxidl 32284  df-idlsrg 32298  df-rspec 32508
This theorem is referenced by:  zartop  32521  zartopon  32522  zart0  32524  zarmxt1  32525  zarcmplem  32526  rhmpreimacn  32530
  Copyright terms: Public domain W3C validator