Theorem zartopn 34554

Description: The Zariski topology is a topology, and its closed sets are images by 𝑉 of the ideals of 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zartop.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
zarcls.1	⊢ 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
zarcls.2	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})

Assertion

Ref	Expression
zartopn	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑃) ∧ ran 𝑉 = (Clsd‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖, 𝑗)   𝐽(𝑖, 𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem zartopn

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4005	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} ⊆ 𝑃
2		zarcls.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
3	2	fvexi 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ V
4	3	elpw2 5295	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 ↔ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} ⊆ 𝑃)
5	1, 4	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
6	5	rgenw 3080	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅){𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
7		zarcls.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
8	7	rnmptss 7124	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅){𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 → ran 𝑉 ⊆ 𝒫 𝑃)
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran 𝑉 ⊆ 𝒫 𝑃
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ran 𝑉 ⊆ 𝒫 𝑃)
11		crngring 20478	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	2	rabeqi 3425	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}
13	12	mpteq2i 5200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
14	7, 13	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
15		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	14, 2, 15	zarcls0 34547	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘{(0g‘𝑅)}) = 𝑃)
17	7	funmpt2 6580	. . . . . . 7 ⊢ Fun 𝑉
18		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
19	18, 15	lidl0 21516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
20	3	rabex 5299	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} ∈ V
21	20, 7	dmmpti 6684	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝑉 = (LIdeal‘𝑅)
22	19, 21	eleqtrrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ dom 𝑉)
23		fvelrn 7077	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑉 ∧ {(0g‘𝑅)} ∈ dom 𝑉) → (𝑉‘{(0g‘𝑅)}) ∈ ran 𝑉)
24	17, 22, 23	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘{(0g‘𝑅)}) ∈ ran 𝑉)
25	16, 24	eqeltrrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ ran 𝑉)
26	11, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ ran 𝑉)
27	14	zarclsint 34551	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑧 ⊆ ran 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∩ 𝑧 ∈ ran 𝑉)
28	10, 26, 27	ismred 17778	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ran 𝑉 ∈ (Moore‘𝑃))
29		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30	21, 29	lidl1 21519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ dom 𝑉)
31	11, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ∈ dom 𝑉)
32	31, 21	eleqtrdi 2870	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ∈ (LIdeal‘𝑅))
33	14, 29	zarcls1 34548	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉‘(Base‘𝑅)) = ∅ ↔ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)))
34	29, 33	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑉‘(Base‘𝑅)) = ∅)
35	32, 34	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑉‘(Base‘𝑅)) = ∅)
36	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → Fun 𝑉)
37		fvelrn 7077	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑉 ∧ (Base‘𝑅) ∈ dom 𝑉) → (𝑉‘(Base‘𝑅)) ∈ ran 𝑉)
38	36, 31, 37	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑉‘(Base‘𝑅)) ∈ ran 𝑉)
39	35, 38	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∅ ∈ ran 𝑉)
40	14	zarclsun 34549	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑉) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ ran 𝑉)
41		eqid 2760	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 ∖ 𝑠) ∈ ran 𝑉} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 ∖ 𝑠) ∈ ran 𝑉}
42	28, 39, 40, 41	mretopd 23416	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 ∖ 𝑠) ∈ ran 𝑉} ∈ (TopOn‘𝑃) ∧ ran 𝑉 = (Clsd‘{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 ∖ 𝑠) ∈ ran 𝑉})))
43		zartop.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
44		zartop.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
45	43, 44, 2, 7	zarcls 34553	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 ∖ 𝑠) ∈ ran 𝑉})
46	11, 45	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 ∖ 𝑠) ∈ ran 𝑉})
47	46	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑃) ↔ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 ∖ 𝑠) ∈ ran 𝑉} ∈ (TopOn‘𝑃)))
48	46	fveq2d 6890	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 ∖ 𝑠) ∈ ran 𝑉}))
49	48	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (ran 𝑉 = (Clsd‘𝐽) ↔ ran 𝑉 = (Clsd‘{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 ∖ 𝑠) ∈ ran 𝑉})))
50	47, 49	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑃) ∧ ran 𝑉 = (Clsd‘𝐽)) ↔ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 ∖ 𝑠) ∈ ran 𝑉} ∈ (TopOn‘𝑃) ∧ ran 𝑉 = (Clsd‘{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 ∖ 𝑠) ∈ ran 𝑉}))))
51	42, 50	mpbird 260	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑃) ∧ ran 𝑉 = (Clsd‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ran crn 5651  Fun wfun 6533  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  TopOpenctopn 17598  0_gc0g 17616  Ringcrg 20465  CRingccrg 20466  LIdealclidl 21490  PrmIdealcprmidl 21622  TopOnctopon 23234  Clsdccld 23340  Speccrspec 34541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-ac2 10545  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-rpss 7740  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-ac 10199  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-mre 17762  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-cntz 19537  df-lsm 19856  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-cring 20468  df-subrg 20828  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-lidl 21492  df-rsp 21493  df-prmidl 21623  df-lpidl 21652  df-top 23218  df-topon 23235  df-cld 23343  df-mxidl 34032  df-idlsrg 34080  df-rspec 34542

This theorem is used by:  zartop  34555  zartopon  34556  zart0  34558  zarmxt1  34559  zarcmplem  34560  rhmpreimacn  34564