Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zartopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zartopn 33153
Description: The Zariski topology is a topology, and its closed sets are images by 𝑉 of the ideals of 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zartop.1 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
zartop.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
zarcls.1 𝑃 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
zarcls.2 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
Assertion
Ref Expression
zartopn (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ) ∧ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜π½)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗)   𝐽(𝑖,𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem zartopn
Dummy variables 𝑠 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4076 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} βŠ† 𝑃
2 zarcls.1 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
32fvexi 6904 . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ V
43elpw2 5344 . . . . . . . 8 ({𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 ↔ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} βŠ† 𝑃)
51, 4mpbir 230 . . . . . . 7 {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
65rgenw 3063 . . . . . 6 βˆ€π‘– ∈ (LIdealβ€˜π‘…){𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ∈ 𝒫 𝑃
7 zarcls.2 . . . . . . 7 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
87rnmptss 7123 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ (LIdealβ€˜π‘…){𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ∈ 𝒫 𝑃 β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝒫 𝑃)
96, 8ax-mp 5 . . . . 5 ran 𝑉 βŠ† 𝒫 𝑃
109a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝒫 𝑃)
11 crngring 20139 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
122rabeqi 3443 . . . . . . . . 9 {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}
1312mpteq2i 5252 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
147, 13eqtri 2758 . . . . . . 7 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
15 eqid 2730 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
1614, 2, 15zarcls0 33146 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = 𝑃)
177funmpt2 6586 . . . . . . 7 Fun 𝑉
18 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
1918, 15lidl0 20993 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
203rabex 5331 . . . . . . . . 9 {𝑗 ∈ 𝑃 ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ∈ V
2120, 7dmmpti 6693 . . . . . . . 8 dom 𝑉 = (LIdealβ€˜π‘…)
2219, 21eleqtrrdi 2842 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ dom 𝑉)
23 fvelrn 7077 . . . . . . 7 ((Fun 𝑉 ∧ {(0gβ€˜π‘…)} ∈ dom 𝑉) β†’ (π‘‰β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) ∈ ran 𝑉)
2417, 22, 23sylancr 585 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) ∈ ran 𝑉)
2516, 24eqeltrrd 2832 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ ran 𝑉)
2611, 25syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ ran 𝑉)
2714zarclsint 33150 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑧 βŠ† ran 𝑉 ∧ 𝑧 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑧 ∈ ran 𝑉)
2810, 26, 27ismred 17550 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ ran 𝑉 ∈ (Mooreβ€˜π‘ƒ))
29 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3021, 29lidl1 20994 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ dom 𝑉)
3111, 30syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ dom 𝑉)
3231, 21eleqtrdi 2841 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3314, 29zarcls1 33147 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = βˆ… ↔ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)))
3429, 33mpbiri 257 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = βˆ…)
3532, 34mpdan 683 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = βˆ…)
3617a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ Fun 𝑉)
37 fvelrn 7077 . . . . 5 ((Fun 𝑉 ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ dom 𝑉) β†’ (π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) ∈ ran 𝑉)
3836, 31, 37syl2anc 582 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) ∈ ran 𝑉)
3935, 38eqeltrrd 2832 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ βˆ… ∈ ran 𝑉)
4014zarclsun 33148 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘₯ ∈ ran 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑉) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ ran 𝑉)
41 eqid 2730 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉}
4228, 39, 40, 41mretopd 22816 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉} ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ) ∧ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉})))
43 zartop.1 . . . . . 6 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
44 zartop.2 . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
4543, 44, 2, 7zarcls 33152 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉})
4611, 45syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐽 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉})
4746eleq1d 2816 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ) ↔ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉} ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ)))
4846fveq2d 6894 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Clsdβ€˜π½) = (Clsdβ€˜{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉}))
4948eqeq2d 2741 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ (ran 𝑉 = (Clsdβ€˜π½) ↔ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉})))
5047, 49anbi12d 629 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ) ∧ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜π½)) ↔ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉} ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ) ∧ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜{𝑠 ∈ 𝒫 𝑃 ∣ (𝑃 βˆ– 𝑠) ∈ ran 𝑉}))))
5142, 50mpbird 256 1 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘ƒ) ∧ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  TopOpenctopn 17371  0gc0g 17389  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128  LIdealclidl 20928  TopOnctopon 22632  Clsdccld 22740  PrmIdealcprmidl 32827  Speccrspec 33140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-rpss 7715  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rsp 20933  df-lpidl 21081  df-top 22616  df-topon 22633  df-cld 22743  df-prmidl 32828  df-mxidl 32850  df-idlsrg 32889  df-rspec 33141
This theorem is referenced by:  zartop  33154  zartopon  33155  zart0  33157  zarmxt1  33158  zarcmplem  33159  rhmpreimacn  33163
  Copyright terms: Public domain W3C validator