Theorem subrngmre 46741

Description: The subrings of a non-unital ring are a Moore system. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrngmre.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrngmre	⊢ (𝑅 ∈ Rng → (SubRng‘𝑅) ∈ (Moore‘𝐵))

Proof of Theorem subrngmre

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngmre.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	subrngss 46727	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
3		velpw 4608	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵))
6	5	ssrdv 3989	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (SubRng‘𝑅) ⊆ 𝒫 𝐵)
7	1	subrngid 46728	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅))
8		subrngint 46739	. . 3 ⊢ ((𝑎 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → ∩ 𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅))
9	8	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑎 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → ∩ 𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅))
10	6, 7, 9	ismred 17546	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (SubRng‘𝑅) ∈ (Moore‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  ∩ cint 4951  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  Moorecmre 17526  Rngcrng 46648  SubRngcsubrng 46724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-rng 46649  df-subrng 46725

This theorem is referenced by: (None)