Theorem toponmre 23420

Description: The topologies over a given base set form a Moore collection: the intersection of any family of them is a topology, including the empty (relative) intersection which gives the discrete topology distop 23322. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmre	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (TopOn‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))

Proof of Theorem toponmre

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponsspwpw 23249	. . 3 ⊢ (TopOn‘𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 𝐵
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (TopOn‘𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 𝐵)
3		distopon 23324	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐵 ∈ (TopOn‘𝐵))
4		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵))
5	4	sselda 3909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
6	5	adantrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
7		topontop 23240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑥 ∈ Top)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑥 ∈ Top)
9		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑐 ⊆ ∩ 𝑏)
10		intss1 4922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑏 → ∩ 𝑏 ⊆ 𝑥)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → ∩ 𝑏 ⊆ 𝑥)
12	9, 11	sstrd 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑐 ⊆ 𝑥)
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑐 ⊆ 𝑥)
14		uniopn 23224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Top ∧ 𝑐 ⊆ 𝑥) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑥)
15	8, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑥)
16	15	expr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ⊆ ∩ 𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ 𝑥))
17	16	ralrimiv 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ⊆ ∩ 𝑏) → ∀𝑥 ∈ 𝑏 ∪ 𝑐 ∈ 𝑥)
18		vuniex 7760	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑐 ∈ V
19	18	elint2 4913	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑏 ∪ 𝑐 ∈ 𝑥)
20	17, 19	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ⊆ ∩ 𝑏) → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏)
21	20	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏))
22	21	alrimiv 1959	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐(𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏))
23		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵))
24	23	sselda 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ (TopOn‘𝐵))
25		topontop 23240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑦 ∈ Top)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ Top)
27		intss1 4922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑏 → ∩ 𝑏 ⊆ 𝑦)
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ∩ 𝑏 ⊆ 𝑦)
29		simplrl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ ∩ 𝑏)
30	28, 29	sseldd 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑦)
31		simplrr 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)
32	28, 31	sseldd 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑥 ∈ 𝑦)
33		inopn 23226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Top ∧ 𝑐 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ 𝑦)
34	26, 30, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ 𝑦)
35	34	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) → ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ 𝑦)
36		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑐 ∈ V
37	36	inex1 5277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ V
38	37	elint2 4913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ 𝑦)
39	35, 38	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) → (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏)
40	39	ralrimivva 3205	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏∀𝑥 ∈ ∩ 𝑏(𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏)
41		intex 5305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑏 ∈ V)
42	41	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ → ∩ 𝑏 ∈ V)
43	42	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∩ 𝑏 ∈ V)
44		istopg 23222	. . . . . 6 ⊢ (∩ 𝑏 ∈ V → (∩ 𝑏 ∈ Top ↔ (∀𝑐(𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏∀𝑥 ∈ ∩ 𝑏(𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏)))
45	43, 44	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (∩ 𝑏 ∈ Top ↔ (∀𝑐(𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏∀𝑥 ∈ ∩ 𝑏(𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏)))
46	22, 40, 45	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∩ 𝑏 ∈ Top)
47	46	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∩ 𝑏 ∈ Top)
48		n0 4299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑏)
49	48	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑏)
50	49	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑏)
51	10	sselda 3909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑥)
52	51	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑥)
53		elssuni 4898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑥 → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑥)
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑥)
55	54	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑥)
56	5	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
57		toponuni 23241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝑥)
58	56, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝐵 = ∪ 𝑥)
59	55, 58	sseqtrrd 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑐 ⊆ 𝐵)
60	59	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑏 → 𝑐 ⊆ 𝐵))
61	60	exlimdv 1965	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑏 → 𝑐 ⊆ 𝐵))
62	50, 61	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → 𝑐 ⊆ 𝐵)
63	62	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏𝑐 ⊆ 𝐵)
64		unissb 4900	. . . . . . 7 ⊢ (∪ ∩ 𝑏 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏𝑐 ⊆ 𝐵)
65	63, 64	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∪ ∩ 𝑏 ⊆ 𝐵)
66	65	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∪ ∩ 𝑏 ⊆ 𝐵)
67	4	sselda 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵))
68		toponuni 23241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝑐)
69	67, 68	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝐵 = ∪ 𝑐)
70		topontop 23240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑐 ∈ Top)
71		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑐 = ∪ 𝑐
72	71	topopn 23233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ Top → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
73	67, 70, 72	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
74	69, 73	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝐵 ∈ 𝑐)
75	74	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 ∈ 𝑏 𝐵 ∈ 𝑐)
76	75	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 ∈ 𝑏 𝐵 ∈ 𝑐)
77		elintg 4914	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ ∩ 𝑏 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑏 𝐵 ∈ 𝑐))
78	77	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ ∩ 𝑏 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑏 𝐵 ∈ 𝑐))
79	76, 78	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ ∩ 𝑏)
80		unissel 4899	. . . . 5 ⊢ ((∪ ∩ 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ∩ 𝑏) → ∪ ∩ 𝑏 = 𝐵)
81	66, 79, 80	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∪ ∩ 𝑏 = 𝐵)
82	81	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝐵 = ∪ ∩ 𝑏)
83		istopon 23239	. . 3 ⊢ (∩ 𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (∩ 𝑏 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ ∩ 𝑏))
84	47, 82, 83	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∩ 𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵))
85	2, 3, 84	ismred 17781	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (TopOn‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ∩ cint 4906  ‘cfv 6543  Moorecmre 17761  Topctop 23220  TopOnctopon 23237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-mre 17765  df-top 23221  df-topon 23238

This theorem is used by:  topmtcl  37275