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Theorem toponmre 22818
Description: The topologies over a given base set form a Moore collection: the intersection of any family of them is a topology, including the empty (relative) intersection which gives the discrete topology distop 22719. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponmre (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (TopOnβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
Proof of Theorem toponmre
Dummy variables 𝑏 𝑐 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toponsspwpw 22645 . . 3 (TopOnβ€˜π΅) βŠ† 𝒫 𝒫 𝐡
21a1i 11 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (TopOnβ€˜π΅) βŠ† 𝒫 𝒫 𝐡)
3 distopon 22721 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐡 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
4 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ 𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅))
54sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ (TopOnβ€˜π΅))
65adantrl 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 βŠ† ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏)) β†’ π‘₯ ∈ (TopOnβ€˜π΅))
7 topontop 22636 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ π‘₯ ∈ Top)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 βŠ† ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏)) β†’ π‘₯ ∈ Top)
9 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 βŠ† ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ 𝑐 βŠ† ∩ 𝑏)
10 intss1 4967 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑏 β†’ ∩ 𝑏 βŠ† π‘₯)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 βŠ† ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ ∩ 𝑏 βŠ† π‘₯)
129, 11sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 βŠ† ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ 𝑐 βŠ† π‘₯)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 βŠ† ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏)) β†’ 𝑐 βŠ† π‘₯)
14 uniopn 22620 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ Top ∧ 𝑐 βŠ† π‘₯) β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ π‘₯)
158, 13, 14syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 βŠ† ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏)) β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ π‘₯)
1615expr 456 . . . . . . . . 9 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 βŠ† ∩ 𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑏 β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ π‘₯))
1716ralrimiv 3144 . . . . . . . 8 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 βŠ† ∩ 𝑏) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆͺ 𝑐 ∈ π‘₯)
18 vuniex 7733 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑐 ∈ V
1918elint2 4957 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑏 βˆͺ 𝑐 ∈ π‘₯)
2017, 19sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 βŠ† ∩ 𝑏) β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏)
2120ex 412 . . . . . 6 ((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ (𝑐 βŠ† ∩ 𝑏 β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏))
2221alrimiv 1929 . . . . 5 ((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘(𝑐 βŠ† ∩ 𝑏 β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏))
23 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑏)) β†’ 𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅))
2423sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝑦 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
25 topontop 22636 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝑦 ∈ Top)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝑦 ∈ Top)
27 intss1 4967 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝑏 β†’ ∩ 𝑏 βŠ† 𝑦)
2827adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ ∩ 𝑏 βŠ† 𝑦)
29 simplrl 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏)
3028, 29sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝑐 ∈ 𝑦)
31 simplrr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑏)
3228, 31sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ 𝑦)
33 inopn 22622 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Top ∧ 𝑐 ∈ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (𝑐 ∩ π‘₯) ∈ 𝑦)
3426, 30, 32, 33syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ (𝑐 ∩ π‘₯) ∈ 𝑦)
3534ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑏)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (𝑐 ∩ π‘₯) ∈ 𝑦)
36 vex 3477 . . . . . . . . 9 𝑐 ∈ V
3736inex1 5317 . . . . . . . 8 (𝑐 ∩ π‘₯) ∈ V
3837elint2 4957 . . . . . . 7 ((𝑐 ∩ π‘₯) ∈ ∩ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (𝑐 ∩ π‘₯) ∈ 𝑦)
3935, 38sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑏)) β†’ (𝑐 ∩ π‘₯) ∈ ∩ 𝑏)
4039ralrimivva 3199 . . . . 5 ((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘ ∈ ∩ π‘βˆ€π‘₯ ∈ ∩ 𝑏(𝑐 ∩ π‘₯) ∈ ∩ 𝑏)
41 intex 5337 . . . . . . . 8 (𝑏 β‰  βˆ… ↔ ∩ 𝑏 ∈ V)
4241biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑏 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑏 ∈ V)
4342adantl 481 . . . . . 6 ((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑏 ∈ V)
44 istopg 22618 . . . . . 6 (∩ 𝑏 ∈ V β†’ (∩ 𝑏 ∈ Top ↔ (βˆ€π‘(𝑐 βŠ† ∩ 𝑏 β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) ∧ βˆ€π‘ ∈ ∩ π‘βˆ€π‘₯ ∈ ∩ 𝑏(𝑐 ∩ π‘₯) ∈ ∩ 𝑏)))
4543, 44syl 17 . . . . 5 ((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ (∩ 𝑏 ∈ Top ↔ (βˆ€π‘(𝑐 βŠ† ∩ 𝑏 β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) ∧ βˆ€π‘ ∈ ∩ π‘βˆ€π‘₯ ∈ ∩ 𝑏(𝑐 ∩ π‘₯) ∈ ∩ 𝑏)))
4622, 40, 45mpbir2and 710 . . . 4 ((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑏 ∈ Top)
47463adant1 1129 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑏 ∈ Top)
48 n0 4346 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑏)
4948biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑏 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑏)
5049ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑏)
5110sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) β†’ 𝑐 ∈ π‘₯)
5251ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ 𝑐 ∈ π‘₯)
53 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ π‘₯ β†’ 𝑐 βŠ† βˆͺ π‘₯)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ 𝑐 βŠ† βˆͺ π‘₯)
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏)) β†’ 𝑐 βŠ† βˆͺ π‘₯)
565adantrl 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏)) β†’ π‘₯ ∈ (TopOnβ€˜π΅))
57 toponuni 22637 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 = βˆͺ π‘₯)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏)) β†’ 𝐡 = βˆͺ π‘₯)
5955, 58sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑏)) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐡)
6059expr 456 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑏 β†’ 𝑐 βŠ† 𝐡))
6160exlimdv 1935 . . . . . . . . 9 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑏 β†’ 𝑐 βŠ† 𝐡))
6250, 61mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐡)
6362ralrimiva 3145 . . . . . . 7 ((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘ ∈ ∩ 𝑏𝑐 βŠ† 𝐡)
64 unissb 4943 . . . . . . 7 (βˆͺ ∩ 𝑏 βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘ ∈ ∩ 𝑏𝑐 βŠ† 𝐡)
6563, 64sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ ∩ 𝑏 βŠ† 𝐡)
66653adant1 1129 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ ∩ 𝑏 βŠ† 𝐡)
674sselda 3982 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) β†’ 𝑐 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
68 toponuni 22637 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝑐)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝑐)
70 topontop 22636 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝑐 ∈ Top)
71 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝑐 = βˆͺ 𝑐
7271topopn 22629 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ 𝑐)
7367, 70, 723syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ 𝑐)
7469, 73eqeltrd 2832 . . . . . . . 8 (((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) β†’ 𝐡 ∈ 𝑐)
7574ralrimiva 3145 . . . . . . 7 ((𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑏 𝐡 ∈ 𝑐)
76753adant1 1129 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑏 𝐡 ∈ 𝑐)
77 elintg 4958 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐡 ∈ ∩ 𝑏 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑏 𝐡 ∈ 𝑐))
78773ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 ∈ ∩ 𝑏 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑏 𝐡 ∈ 𝑐))
7976, 78mpbird 257 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ ∩ 𝑏)
80 unissel 4942 . . . . 5 ((βˆͺ ∩ 𝑏 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ ∩ 𝑏) β†’ βˆͺ ∩ 𝑏 = 𝐡)
8166, 79, 80syl2anc 583 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ ∩ 𝑏 = 𝐡)
8281eqcomd 2737 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡 = βˆͺ ∩ 𝑏)
83 istopon 22635 . . 3 (∩ 𝑏 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ↔ (∩ 𝑏 ∈ Top ∧ 𝐡 = βˆͺ ∩ 𝑏))
8447, 82, 83sylanbrc 582 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 βŠ† (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑏 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
852, 3, 84ismred 17551 1 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (TopOnβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  βˆ€wal 1538   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆ© cint 4950  β€˜cfv 6543  Moorecmre 17531  Topctop 22616  TopOnctopon 22633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-mre 17535  df-top 22617  df-topon 22634
This theorem is referenced by:  topmtcl  35552
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