Theorem toponmre 23008

Description: The topologies over a given base set form a Moore collection: the intersection of any family of them is a topology, including the empty (relative) intersection which gives the discrete topology distop 22910. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmre	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (TopOn‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))

Proof of Theorem toponmre

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponsspwpw 22837	. . 3 ⊢ (TopOn‘𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 𝐵
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (TopOn‘𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 𝐵)
3		distopon 22912	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐵 ∈ (TopOn‘𝐵))
4		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵))
5	4	sselda 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
6	5	adantrl 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
7		topontop 22828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑥 ∈ Top)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑥 ∈ Top)
9		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑐 ⊆ ∩ 𝑏)
10		intss1 4911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑏 → ∩ 𝑏 ⊆ 𝑥)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → ∩ 𝑏 ⊆ 𝑥)
12	9, 11	sstrd 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑐 ⊆ 𝑥)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑐 ⊆ 𝑥)
14		uniopn 22812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Top ∧ 𝑐 ⊆ 𝑥) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑥)
15	8, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑥)
16	15	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ⊆ ∩ 𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ 𝑥))
17	16	ralrimiv 3123	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ⊆ ∩ 𝑏) → ∀𝑥 ∈ 𝑏 ∪ 𝑐 ∈ 𝑥)
18		vuniex 7672	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑐 ∈ V
19	18	elint2 4902	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑏 ∪ 𝑐 ∈ 𝑥)
20	17, 19	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ⊆ ∩ 𝑏) → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏)
21	20	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏))
22	21	alrimiv 1928	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐(𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏))
23		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵))
24	23	sselda 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ (TopOn‘𝐵))
25		topontop 22828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑦 ∈ Top)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ Top)
27		intss1 4911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑏 → ∩ 𝑏 ⊆ 𝑦)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ∩ 𝑏 ⊆ 𝑦)
29		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ ∩ 𝑏)
30	28, 29	sseldd 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑦)
31		simplrr 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)
32	28, 31	sseldd 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑥 ∈ 𝑦)
33		inopn 22814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Top ∧ 𝑐 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ 𝑦)
34	26, 30, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ 𝑦)
35	34	ralrimiva 3124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) → ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ 𝑦)
36		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑐 ∈ V
37	36	inex1 5253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ V
38	37	elint2 4902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ 𝑦)
39	35, 38	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) → (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏)
40	39	ralrimivva 3175	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏∀𝑥 ∈ ∩ 𝑏(𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏)
41		intex 5280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑏 ∈ V)
42	41	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ → ∩ 𝑏 ∈ V)
43	42	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∩ 𝑏 ∈ V)
44		istopg 22810	. . . . . 6 ⊢ (∩ 𝑏 ∈ V → (∩ 𝑏 ∈ Top ↔ (∀𝑐(𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏∀𝑥 ∈ ∩ 𝑏(𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏)))
45	43, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (∩ 𝑏 ∈ Top ↔ (∀𝑐(𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏∀𝑥 ∈ ∩ 𝑏(𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏)))
46	22, 40, 45	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∩ 𝑏 ∈ Top)
47	46	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∩ 𝑏 ∈ Top)
48		n0 4300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑏)
49	48	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑏)
50	49	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑏)
51	10	sselda 3929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑥)
52	51	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑥)
53		elssuni 4887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑥 → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑥)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑥)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑥)
56	5	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
57		toponuni 22829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝑥)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝐵 = ∪ 𝑥)
59	55, 58	sseqtrrd 3967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑐 ⊆ 𝐵)
60	59	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑏 → 𝑐 ⊆ 𝐵))
61	60	exlimdv 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑏 → 𝑐 ⊆ 𝐵))
62	50, 61	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → 𝑐 ⊆ 𝐵)
63	62	ralrimiva 3124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏𝑐 ⊆ 𝐵)
64		unissb 4889	. . . . . . 7 ⊢ (∪ ∩ 𝑏 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏𝑐 ⊆ 𝐵)
65	63, 64	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∪ ∩ 𝑏 ⊆ 𝐵)
66	65	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∪ ∩ 𝑏 ⊆ 𝐵)
67	4	sselda 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵))
68		toponuni 22829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝑐)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝐵 = ∪ 𝑐)
70		topontop 22828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑐 ∈ Top)
71		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑐 = ∪ 𝑐
72	71	topopn 22821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ Top → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
73	67, 70, 72	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
74	69, 73	eqeltrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝐵 ∈ 𝑐)
75	74	ralrimiva 3124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 ∈ 𝑏 𝐵 ∈ 𝑐)
76	75	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 ∈ 𝑏 𝐵 ∈ 𝑐)
77		elintg 4903	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ ∩ 𝑏 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑏 𝐵 ∈ 𝑐))
78	77	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ ∩ 𝑏 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑏 𝐵 ∈ 𝑐))
79	76, 78	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ ∩ 𝑏)
80		unissel 4888	. . . . 5 ⊢ ((∪ ∩ 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ∩ 𝑏) → ∪ ∩ 𝑏 = 𝐵)
81	66, 79, 80	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∪ ∩ 𝑏 = 𝐵)
82	81	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝐵 = ∪ ∩ 𝑏)
83		istopon 22827	. . 3 ⊢ (∩ 𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (∩ 𝑏 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ ∩ 𝑏))
84	47, 82, 83	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∩ 𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵))
85	2, 3, 84	ismred 17504	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (TopOn‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  ∪ cuni 4856  ∩ cint 4895  ‘cfv 6481  Moorecmre 17484  Topctop 22808  TopOnctopon 22825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-mre 17488  df-top 22809  df-topon 22826

This theorem is referenced by:  topmtcl  36407