Theorem ismre 17810

Description: Property of being a Moore collection on some base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ismre	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismre

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6951	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2		elex 3475	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ V)
3	2	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ V)
4		pweq 4574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑋)
5	4	pweqd 4577	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6		eleq1 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝑐 ↔ 𝑋 ∈ 𝑐))
7	6	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))))
8	5, 7	rabeqbidv 3433	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
9		df-mre 17806	. . . . 5 ⊢ Moore = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
10		vpwex 5346	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
11	10	pwex 5349	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
12	11	rabex 5307	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt3i 7030	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Moore‘𝑋) = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
14	13	eleq2d 2850	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))}))
15		eleq2 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝑐 ↔ 𝑋 ∈ 𝐶))
16		pweq 4574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
17		eleq2 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∩ 𝑠 ∈ 𝑐 ↔ ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
18	17	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
19	16, 18	raleqbidv 3338	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
20	15, 19	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
21	20	elrab 3648	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))))
23		pwexg 5347	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝒫 𝑋 ∈ V)
24		elpw2g 5302	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
25	23, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
26	25	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))))
27		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
28	26, 27	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
29	14, 22, 28	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
30	1, 3, 29	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ∩ cint 4912  ‘cfv 6566  Moorecmre 17802

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-mre 17806

This theorem is used by:  mresspw  17812  mre1cl  17814  mreintcl  17815  ismred  17822