Theorem ismre 17543

Description: Property of being a Moore collection on some base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ismre	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismre

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6862	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2		elex 3452	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ V)
3	2	3ad2ant2 1140	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ V)
4		pweq 4543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑋)
5	4	pweqd 4546	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝑐 ↔ 𝑋 ∈ 𝑐))
7	6	anbi1d 637	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))))
8	5, 7	rabeqbidv 3409	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
9		df-mre 17539	. . . . 5 ⊢ Moore = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
10		vpwex 5306	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
11	10	pwex 5309	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
12	11	rabex 5267	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt3i 6941	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Moore‘𝑋) = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
14	13	eleq2d 2825	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))}))
15		eleq2 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝑐 ↔ 𝑋 ∈ 𝐶))
16		pweq 4543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
17		eleq2 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∩ 𝑠 ∈ 𝑐 ↔ ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
18	17	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
19	16, 18	raleqbidv 3313	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
20	15, 19	anbi12d 638	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
21	20	elrab 3629	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))))
23		pwexg 5307	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝒫 𝑋 ∈ V)
24		elpw2g 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
26	25	anbi1d 637	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))))
27		3anass 1100	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
28	26, 27	bitr4di 290	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
29	14, 22, 28	3bitrd 306	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
30	1, 3, 29	pm5.21nii 379	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  ∩ cint 4877  ‘cfv 6485  Moorecmre 17535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-mre 17539

This theorem is referenced by:  mresspw  17545  mre1cl  17547  mreintcl  17548  ismred  17555