Theorem ismre 17642

Description: Property of being a Moore collection on some base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ismre	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismre

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6917	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2		elex 3484	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ V)
3	2	3ad2ant2 1150	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ V)
4		pweq 4581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑋)
5	4	pweqd 4584	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝑐 ↔ 𝑋 ∈ 𝑐))
7	6	anbi1d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))))
8	5, 7	rabeqbidv 3441	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
9		df-mre 17638	. . . . 5 ⊢ Moore = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
10		vpwex 5349	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
11	10	pwex 5352	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
12	11	rabex 5310	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt3i 6996	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Moore‘𝑋) = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
14	13	eleq2d 2855	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))}))
15		eleq2 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝑐 ↔ 𝑋 ∈ 𝐶))
16		pweq 4581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
17		eleq2 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∩ 𝑠 ∈ 𝑐 ↔ ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
18	17	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
19	16, 18	raleqbidv 3345	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
20	15, 19	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
21	20	elrab 3659	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))))
23		pwexg 5350	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝒫 𝑋 ∈ V)
24		elpw2g 5304	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
25	23, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
26	25	anbi1d 642	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))))
27		3anass 1109	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
28	26, 27	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
29	14, 22, 28	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
30	1, 3, 29	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  ∩ cint 4916  ‘cfv 6537  Moorecmre 17634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-mre 17638

This theorem is referenced by:  mresspw  17644  mre1cl  17646  mreintcl  17647  ismred  17654