MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismre 16849
Description: Property of being a Moore collection on some base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismre (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismre
Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6696 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2 elex 3510 . . 3 (𝑋𝐶𝑋 ∈ V)
323ad2ant2 1126 . 2 ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)) → 𝑋 ∈ V)
4 pweq 4538 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑋)
54pweqd 4540 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6 eleq1 2897 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑐𝑋𝑐))
76anbi1d 629 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐)) ↔ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))))
85, 7rabeqbidv 3483 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))})
9 df-mre 16845 . . . . 5 Moore = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))})
10 vpwex 5269 . . . . . . 7 𝒫 𝑥 ∈ V
1110pwex 5272 . . . . . 6 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
1211rabex 5226 . . . . 5 {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} ∈ V
138, 9, 12fvmpt3i 6766 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (Moore‘𝑋) = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))})
1413eleq2d 2895 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))}))
15 eleq2 2898 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑋𝑐𝑋𝐶))
16 pweq 4538 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
17 eleq2 2898 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → ( 𝑠𝑐 𝑠𝐶))
1817imbi2d 342 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
1916, 18raleqbidv 3399 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
2015, 19anbi12d 630 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐)) ↔ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2120elrab 3677 . . . 4 (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2221a1i 11 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))))
23 pwexg 5270 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → 𝒫 𝑋 ∈ V)
24 elpw2g 5238 . . . . . 6 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
2625anbi1d 629 . . . 4 (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))))
27 3anass 1087 . . . 4 ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2826, 27syl6bbr 290 . . 3 (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2914, 22, 283bitrd 306 . 2 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
301, 3, 29pm5.21nii 380 1 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535   cint 4867  cfv 6348  Moorecmre 16841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-mre 16845
This theorem is referenced by:  mresspw  16851  mre1cl  16853  mreintcl  16854  ismred  16861
  Copyright terms: Public domain W3C validator