Theorem ismre 17648

Description: Property of being a Moore collection on some base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ismre	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismre

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6958	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2		elex 3509	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ V)
3	2	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ V)
4		pweq 4636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑋)
5	4	pweqd 4639	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝑐 ↔ 𝑋 ∈ 𝑐))
7	6	anbi1d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))))
8	5, 7	rabeqbidv 3462	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
9		df-mre 17644	. . . . 5 ⊢ Moore = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
10		vpwex 5395	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
11	10	pwex 5398	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
12	11	rabex 5357	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt3i 7034	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Moore‘𝑋) = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
14	13	eleq2d 2830	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))}))
15		eleq2 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝑐 ↔ 𝑋 ∈ 𝐶))
16		pweq 4636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
17		eleq2 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∩ 𝑠 ∈ 𝑐 ↔ ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
18	17	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
19	16, 18	raleqbidv 3354	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
20	15, 19	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
21	20	elrab 3708	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))))
23		pwexg 5396	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝒫 𝑋 ∈ V)
24		elpw2g 5351	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
26	25	anbi1d 630	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))))
27		3anass 1095	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
28	26, 27	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
29	14, 22, 28	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
30	1, 3, 29	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  {crab 3443  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  ∩ cint 4970  ‘cfv 6573  Moorecmre 17640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-mre 17644

This theorem is referenced by:  mresspw  17650  mre1cl  17652  mreintcl  17653  ismred  17660