MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismre 16636
Description: Property of being a Moore collection on some base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismre (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismre
Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6480 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2 elex 3413 . . 3 (𝑋𝐶𝑋 ∈ V)
323ad2ant2 1125 . 2 ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)) → 𝑋 ∈ V)
4 pweq 4381 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑋)
54pweqd 4383 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6 eleq1 2846 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑐𝑋𝑐))
76anbi1d 623 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐)) ↔ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))))
85, 7rabeqbidv 3391 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))})
9 df-mre 16632 . . . . 5 Moore = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))})
10 vpwex 5089 . . . . . . 7 𝒫 𝑥 ∈ V
1110pwex 5092 . . . . . 6 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
1211rabex 5049 . . . . 5 {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} ∈ V
138, 9, 12fvmpt3i 6547 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (Moore‘𝑋) = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))})
1413eleq2d 2844 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))}))
15 eleq2 2847 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑋𝑐𝑋𝐶))
16 pweq 4381 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
17 eleq2 2847 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → ( 𝑠𝑐 𝑠𝐶))
1817imbi2d 332 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
1916, 18raleqbidv 3325 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
2015, 19anbi12d 624 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐)) ↔ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2120elrab 3571 . . . 4 (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2221a1i 11 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))))
23 pwexg 5090 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → 𝒫 𝑋 ∈ V)
24 elpw2g 5061 . . . . . 6 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
2625anbi1d 623 . . . 4 (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))))
27 3anass 1079 . . . 4 ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2826, 27syl6bbr 281 . . 3 (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2914, 22, 283bitrd 297 . 2 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
301, 3, 29pm5.21nii 370 1 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wral 3089  {crab 3093  Vcvv 3397  wss 3791  c0 4140  𝒫 cpw 4378   cint 4710  cfv 6135  Moorecmre 16628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fv 6143  df-mre 16632
This theorem is referenced by:  mresspw  16638  mre1cl  16640  mreintcl  16641  ismred  16648
  Copyright terms: Public domain W3C validator