Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismrcd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismrcd1 41436
Description: Any function from the subsets of a set to itself, which is extensive (satisfies mrcssid 17561), isotone (satisfies mrcss 17560), and idempotent (satisfies mrcidm 17563) has a collection of fixed points which is a Moore collection, and itself is the closure operator for that collection. This can be taken as an alternate definition for the closure operators. This is the first half, ismrcd2 41437 is the second. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrcd.b (𝜑𝐵𝑉)
ismrcd.f (𝜑𝐹:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
ismrcd.e ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
ismrcd.m ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥))
ismrcd.i ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
ismrcd1 (𝜑 → dom (𝐹 ∩ I ) ∈ (Moore‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem ismrcd1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4229 . . . 4 (𝐹 ∩ I ) ⊆ 𝐹
2 dmss 5903 . . . 4 ((𝐹 ∩ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∩ I ) ⊆ dom 𝐹)
31, 2ax-mp 5 . . 3 dom (𝐹 ∩ I ) ⊆ dom 𝐹
4 ismrcd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
53, 4fssdm 6738 . 2 (𝜑 → dom (𝐹 ∩ I ) ⊆ 𝒫 𝐵)
6 ssid 4005 . . . . . . 7 𝐵𝐵
7 ismrcd.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
8 elpwg 4606 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵𝐵𝐵))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵𝐵𝐵))
106, 9mpbiri 258 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
114, 10ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝒫 𝐵)
1211elpwid 4612 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ⊆ 𝐵)
13 velpw 4608 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
14 ismrcd.e . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
1513, 14sylan2b 595 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
1615ralrimiva 3147 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
17 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
18 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
1917, 18sseq12d 4016 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝐹𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐹𝐵)))
2019rspcva 3611 . . . . 5 ((𝐵 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ (𝐹𝑥)) → 𝐵 ⊆ (𝐹𝐵))
2110, 16, 20syl2anc 585 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ (𝐹𝐵))
2212, 21eqssd 4000 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) = 𝐵)
234ffnd 6719 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝒫 𝐵)
24 fnelfp 7173 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐵𝐵 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹𝐵) = 𝐵))
2523, 10, 24syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹𝐵) = 𝐵))
2622, 25mpbird 257 . 2 (𝜑𝐵 ∈ dom (𝐹 ∩ I ))
27 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ))
2853ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → dom (𝐹 ∩ I ) ⊆ 𝒫 𝐵)
2927, 28sstrd 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ⊆ 𝒫 𝐵)
30 simp3 1139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ≠ ∅)
31 intssuni2 4978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ⊆ 𝒫 𝐵𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 𝒫 𝐵)
3229, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 𝒫 𝐵)
33 unipw 5451 . . . . . . . . . . 11 𝒫 𝐵 = 𝐵
3432, 33sseqtrdi 4033 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧𝐵)
35 intex 5338 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑧 ∈ V)
36 elpwg 4606 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 𝑧𝐵))
3735, 36sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ≠ ∅ → ( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 𝑧𝐵))
38373ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 𝑧𝐵))
3934, 38mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
4039adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
41 ismrcd.m . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥))
42413expib 1123 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)))
4342alrimiv 1931 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)))
44433ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∀𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)))
4544adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → ∀𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)))
4629sselda 3983 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵)
4746elpwid 4612 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐵)
48 intss1 4968 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑧 𝑧𝑥)
4948adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑧𝑥)
5047, 49jca 513 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝑥𝐵 𝑧𝑥))
51 sseq1 4008 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥 𝑧𝑥))
5251anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝐵 𝑧𝑥)))
53 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹 𝑧))
5453sseq1d 4014 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹 𝑧) ⊆ (𝐹𝑥)))
5552, 54imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑥𝐵 𝑧𝑥) → (𝐹 𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))))
5655spcgv 3587 . . . . . . . 8 ( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)) → ((𝑥𝐵 𝑧𝑥) → (𝐹 𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))))
5740, 45, 50, 56syl3c 66 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝐹 𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))
5827sselda 3983 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∩ I ))
59233ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝐹 Fn 𝒫 𝐵)
6059adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐹 Fn 𝒫 𝐵)
61 fnelfp 7173 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐵𝑥 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
6260, 46, 61syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
6358, 62mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
6457, 63sseqtrd 4023 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝐹 𝑧) ⊆ 𝑥)
6564ralrimiva 3147 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑧 (𝐹 𝑧) ⊆ 𝑥)
66 ssint 4969 . . . . 5 ((𝐹 𝑧) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑥𝑧 (𝐹 𝑧) ⊆ 𝑥)
6765, 66sylibr 233 . . . 4 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → (𝐹 𝑧) ⊆ 𝑧)
68163ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
69 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
70 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹 𝑧))
7169, 70sseq12d 4016 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ⊆ (𝐹𝑥) ↔ 𝑧 ⊆ (𝐹 𝑧)))
7271rspcva 3611 . . . . 5 (( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ (𝐹𝑥)) → 𝑧 ⊆ (𝐹 𝑧))
7339, 68, 72syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ⊆ (𝐹 𝑧))
7467, 73eqssd 4000 . . 3 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → (𝐹 𝑧) = 𝑧)
75 fnelfp 7173 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐵 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵) → ( 𝑧 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹 𝑧) = 𝑧))
7659, 39, 75syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ( 𝑧 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹 𝑧) = 𝑧))
7774, 76mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ∈ dom (𝐹 ∩ I ))
785, 26, 77ismred 17546 1 (𝜑 → dom (𝐹 ∩ I ) ∈ (Moore‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3475  cin 3948  wss 3949  c0 4323  𝒫 cpw 4603   cuni 4909   cint 4951   I cid 5574  dom cdm 5677   Fn wfn 6539  wf 6540  cfv 6544  Moorecmre 17526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-mre 17530
This theorem is referenced by:  ismrcd2  41437  istopclsd  41438  ismrc  41439
  Copyright terms: Public domain W3C validator