Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismrcd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismrcd1 42149
Description: Any function from the subsets of a set to itself, which is extensive (satisfies mrcssid 17604), isotone (satisfies mrcss 17603), and idempotent (satisfies mrcidm 17606) has a collection of fixed points which is a Moore collection, and itself is the closure operator for that collection. This can be taken as an alternate definition for the closure operators. This is the first half, ismrcd2 42150 is the second. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrcd.b (𝜑𝐵𝑉)
ismrcd.f (𝜑𝐹:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
ismrcd.e ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
ismrcd.m ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥))
ismrcd.i ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
ismrcd1 (𝜑 → dom (𝐹 ∩ I ) ∈ (Moore‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem ismrcd1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4231 . . . 4 (𝐹 ∩ I ) ⊆ 𝐹
2 dmss 5909 . . . 4 ((𝐹 ∩ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∩ I ) ⊆ dom 𝐹)
31, 2ax-mp 5 . . 3 dom (𝐹 ∩ I ) ⊆ dom 𝐹
4 ismrcd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
53, 4fssdm 6747 . 2 (𝜑 → dom (𝐹 ∩ I ) ⊆ 𝒫 𝐵)
6 ssid 4004 . . . . . . 7 𝐵𝐵
7 ismrcd.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
8 elpwg 4609 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵𝐵𝐵))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵𝐵𝐵))
106, 9mpbiri 257 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
114, 10ffvelcdmd 7100 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝒫 𝐵)
1211elpwid 4615 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ⊆ 𝐵)
13 velpw 4611 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
14 ismrcd.e . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
1513, 14sylan2b 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
1615ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
17 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
18 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
1917, 18sseq12d 4015 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝐹𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐹𝐵)))
2019rspcva 3609 . . . . 5 ((𝐵 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ (𝐹𝑥)) → 𝐵 ⊆ (𝐹𝐵))
2110, 16, 20syl2anc 582 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ (𝐹𝐵))
2212, 21eqssd 3999 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) = 𝐵)
234ffnd 6728 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝒫 𝐵)
24 fnelfp 7190 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐵𝐵 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹𝐵) = 𝐵))
2523, 10, 24syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹𝐵) = 𝐵))
2622, 25mpbird 256 . 2 (𝜑𝐵 ∈ dom (𝐹 ∩ I ))
27 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ))
2853ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → dom (𝐹 ∩ I ) ⊆ 𝒫 𝐵)
2927, 28sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ⊆ 𝒫 𝐵)
30 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ≠ ∅)
31 intssuni2 4980 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ⊆ 𝒫 𝐵𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 𝒫 𝐵)
3229, 30, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 𝒫 𝐵)
33 unipw 5456 . . . . . . . . . . 11 𝒫 𝐵 = 𝐵
3432, 33sseqtrdi 4032 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧𝐵)
35 intex 5343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑧 ∈ V)
36 elpwg 4609 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 𝑧𝐵))
3735, 36sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ≠ ∅ → ( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 𝑧𝐵))
38373ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 𝑧𝐵))
3934, 38mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
4039adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
41 ismrcd.m . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥))
42413expib 1119 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)))
4342alrimiv 1922 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)))
44433ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∀𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)))
4544adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → ∀𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)))
4629sselda 3982 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵)
4746elpwid 4615 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐵)
48 intss1 4970 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑧 𝑧𝑥)
4948adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑧𝑥)
5047, 49jca 510 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝑥𝐵 𝑧𝑥))
51 sseq1 4007 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥 𝑧𝑥))
5251anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝐵 𝑧𝑥)))
53 fveq2 6902 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹 𝑧))
5453sseq1d 4013 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹 𝑧) ⊆ (𝐹𝑥)))
5552, 54imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑥𝐵 𝑧𝑥) → (𝐹 𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))))
5655spcgv 3585 . . . . . . . 8 ( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)) → ((𝑥𝐵 𝑧𝑥) → (𝐹 𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))))
5740, 45, 50, 56syl3c 66 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝐹 𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))
5827sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∩ I ))
59233ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝐹 Fn 𝒫 𝐵)
6059adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐹 Fn 𝒫 𝐵)
61 fnelfp 7190 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐵𝑥 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
6260, 46, 61syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
6358, 62mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
6457, 63sseqtrd 4022 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝐹 𝑧) ⊆ 𝑥)
6564ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑧 (𝐹 𝑧) ⊆ 𝑥)
66 ssint 4971 . . . . 5 ((𝐹 𝑧) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑥𝑧 (𝐹 𝑧) ⊆ 𝑥)
6765, 66sylibr 233 . . . 4 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → (𝐹 𝑧) ⊆ 𝑧)
68163ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
69 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
70 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹 𝑧))
7169, 70sseq12d 4015 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ⊆ (𝐹𝑥) ↔ 𝑧 ⊆ (𝐹 𝑧)))
7271rspcva 3609 . . . . 5 (( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ (𝐹𝑥)) → 𝑧 ⊆ (𝐹 𝑧))
7339, 68, 72syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ⊆ (𝐹 𝑧))
7467, 73eqssd 3999 . . 3 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → (𝐹 𝑧) = 𝑧)
75 fnelfp 7190 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐵 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵) → ( 𝑧 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹 𝑧) = 𝑧))
7659, 39, 75syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ( 𝑧 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹 𝑧) = 𝑧))
7774, 76mpbird 256 . 2 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ∈ dom (𝐹 ∩ I ))
785, 26, 77ismred 17589 1 (𝜑 → dom (𝐹 ∩ I ) ∈ (Moore‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  Vcvv 3473  cin 3948  wss 3949  c0 4326  𝒫 cpw 4606   cuni 4912   cint 4953   I cid 5579  dom cdm 5682   Fn wfn 6548  wf 6549  cfv 6553  Moorecmre 17569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-mre 17573
This theorem is referenced by:  ismrcd2  42150  istopclsd  42151  ismrc  42152
  Copyright terms: Public domain W3C validator