HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  issh3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issh3 29960
Description: Subspace ๐ป of a Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
issh3 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ป

Proof of Theorem issh3
StepHypRef Expression
1 issh2 29950 . 2 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
2 anass 470 . . 3 (((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)) โ†” (๐ป โŠ† โ„‹ โˆง (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))))
32baib 537 . 2 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)) โ†” (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))))
41, 3bitrid 283 1 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3063   โŠ† wss 3909  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983   โ„‹chba 29660   +โ„Ž cva 29661   ยทโ„Ž csm 29662  0โ„Žc0v 29665   Sโ„‹ csh 29669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-hilex 29740  ax-hfvadd 29741  ax-hfvmul 29746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7353  df-sh 29948
This theorem is referenced by:  nlelshi  30801
  Copyright terms: Public domain W3C validator