HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  issh3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issh3 29581
Description: Subspace 𝐻 of a Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
issh3 (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐻S ↔ (0𝐻 ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐻

Proof of Theorem issh3
StepHypRef Expression
1 issh2 29571 . 2 (𝐻S ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0𝐻) ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)))
2 anass 469 . . 3 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0𝐻) ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)) ↔ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ (0𝐻 ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻))))
32baib 536 . 2 (𝐻 ⊆ ℋ → (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0𝐻) ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)) ↔ (0𝐻 ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻))))
41, 3syl5bb 283 1 (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐻S ↔ (0𝐻 ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wral 3064  wss 3887  (class class class)co 7275  cc 10869  chba 29281   + cva 29282   · csm 29283  0c0v 29286   S csh 29290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hfvmul 29367
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-sh 29569
This theorem is referenced by:  nlelshi  30422
  Copyright terms: Public domain W3C validator