HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  issh3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issh3 31238
Description: Subspace 𝐻 of a Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
issh3 (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐻S ↔ (0𝐻 ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐻

Proof of Theorem issh3
StepHypRef Expression
1 issh2 31228 . 2 (𝐻S ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0𝐻) ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)))
2 anass 468 . . 3 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0𝐻) ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)) ↔ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ (0𝐻 ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻))))
32baib 535 . 2 (𝐻 ⊆ ℋ → (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0𝐻) ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)) ↔ (0𝐻 ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻))))
41, 3bitrid 283 1 (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐻S ↔ (0𝐻 ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  (class class class)co 7431  cc 11153  chba 30938   + cva 30939   · csm 30940  0c0v 30943   S csh 30947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hfvmul 31024
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-sh 31226
This theorem is referenced by:  nlelshi  32079
  Copyright terms: Public domain W3C validator