Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > issh3 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Subspace ๐ป of a Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
issh3 | โข (๐ป โ โ โ (๐ป โ Sโ โ (0โ โ ๐ป โง (โ๐ฅ โ ๐ป โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ ๐ป โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | issh2 29950 | . 2 โข (๐ป โ Sโ โ ((๐ป โ โ โง 0โ โ ๐ป) โง (โ๐ฅ โ ๐ป โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ ๐ป โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป))) | |
2 | anass 470 | . . 3 โข (((๐ป โ โ โง 0โ โ ๐ป) โง (โ๐ฅ โ ๐ป โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ ๐ป โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป)) โ (๐ป โ โ โง (0โ โ ๐ป โง (โ๐ฅ โ ๐ป โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ ๐ป โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป)))) | |
3 | 2 | baib 537 | . 2 โข (๐ป โ โ โ (((๐ป โ โ โง 0โ โ ๐ป) โง (โ๐ฅ โ ๐ป โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ ๐ป โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป)) โ (0โ โ ๐ป โง (โ๐ฅ โ ๐ป โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ ๐ป โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป)))) |
4 | 1, 3 | bitrid 283 | 1 โข (๐ป โ โ โ (๐ป โ Sโ โ (0โ โ ๐ป โง (โ๐ฅ โ ๐ป โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ ๐ป โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โ wcel 2107 โwral 3063 โ wss 3909 (class class class)co 7350 โcc 10983 โchba 29660 +โ cva 29661 ยทโ csm 29662 0โc0v 29665 Sโ csh 29669 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2709 ax-sep 5255 ax-nul 5262 ax-pr 5383 ax-hilex 29740 ax-hfvadd 29741 ax-hfvmul 29746 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-ral 3064 df-rex 3073 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3739 df-csb 3855 df-dif 3912 df-un 3914 df-in 3916 df-ss 3926 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4865 df-iun 4955 df-br 5105 df-opab 5167 df-id 5529 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-iota 6444 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-fv 6500 df-ov 7353 df-sh 29948 |
This theorem is referenced by: nlelshi 30801 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |