HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shmulcl 30739
Description: Closure of vector scalar multiplication in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shmulcl ((๐ป โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ ๐ป)

Proof of Theorem shmulcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issh2 30730 . . . . 5 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โІ โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
21simprbi 496 . . . 4 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))
32simprd 495 . . 3 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)
4 oveq1 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) = (๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ))
54eleq1d 2817 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โ†” (๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))
6 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))
76eleq1d 2817 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โ†” (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ ๐ป))
85, 7rspc2v 3622 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ป) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ ๐ป))
93, 8syl5com 31 . 2 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ ๐ป))
1093impib 1115 1 ((๐ป โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ ๐ป)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060   โІ wss 3948  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111   โ„‹chba 30440   +โ„Ž cva 30441   ยทโ„Ž csm 30442  0โ„Žc0v 30445   Sโ„‹ csh 30449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-hilex 30520  ax-hfvadd 30521  ax-hfvmul 30526
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-sh 30728
This theorem is referenced by:  shsubcl  30741  norm1exi  30771  hhssabloilem  30782  hhssnv  30785  shsel3  30836  shscli  30838  shintcli  30850  pjhthlem1  30912  h1de2bi  31075  h1de2ctlem  31076  spansni  31078  spansnmul  31085  spansnss  31092  spanunsni  31100  h1datomi  31102  pjmulii  31198  mayete3i  31249  imaelshi  31579  strlem1  31771  cdj1i  31954  cdj3lem1  31955
  Copyright terms: Public domain W3C validator