![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > shmulcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of vector scalar multiplication in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
shmulcl | โข ((๐ป โ Sโ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ ๐ป) โ (๐ด ยทโ ๐ต) โ ๐ป) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | issh2 30730 | . . . . 5 โข (๐ป โ Sโ โ ((๐ป โ โ โง 0โ โ ๐ป) โง (โ๐ฅ โ ๐ป โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ ๐ป โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป))) | |
2 | 1 | simprbi 496 | . . . 4 โข (๐ป โ Sโ โ (โ๐ฅ โ ๐ป โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ ๐ป โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป)) |
3 | 2 | simprd 495 | . . 3 โข (๐ป โ Sโ โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป) |
4 | oveq1 7419 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) = (๐ด ยทโ ๐ฆ)) | |
5 | 4 | eleq1d 2817 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ด โ ((๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป โ (๐ด ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป)) |
6 | oveq2 7420 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ต โ (๐ด ยทโ ๐ฆ) = (๐ด ยทโ ๐ต)) | |
7 | 6 | eleq1d 2817 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ต โ ((๐ด ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป โ (๐ด ยทโ ๐ต) โ ๐ป)) |
8 | 5, 7 | rspc2v 3622 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ ๐ป) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป โ (๐ด ยทโ ๐ต) โ ๐ป)) |
9 | 3, 8 | syl5com 31 | . 2 โข (๐ป โ Sโ โ ((๐ด โ โ โง ๐ต โ ๐ป) โ (๐ด ยทโ ๐ต) โ ๐ป)) |
10 | 9 | 3impib 1115 | 1 โข ((๐ป โ Sโ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ ๐ป) โ (๐ด ยทโ ๐ต) โ ๐ป) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1086 = wceq 1540 โ wcel 2105 โwral 3060 โ wss 3948 (class class class)co 7412 โcc 11111 โchba 30440 +โ cva 30441 ยทโ csm 30442 0โc0v 30445 Sโ csh 30449 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5427 ax-hilex 30520 ax-hfvadd 30521 ax-hfvmul 30526 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-id 5574 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-fv 6551 df-ov 7415 df-sh 30728 |
This theorem is referenced by: shsubcl 30741 norm1exi 30771 hhssabloilem 30782 hhssnv 30785 shsel3 30836 shscli 30838 shintcli 30850 pjhthlem1 30912 h1de2bi 31075 h1de2ctlem 31076 spansni 31078 spansnmul 31085 spansnss 31092 spanunsni 31100 h1datomi 31102 pjmulii 31198 mayete3i 31249 imaelshi 31579 strlem1 31771 cdj1i 31954 cdj3lem1 31955 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |