Theorem shmulcl 31304

Description: Closure of vector scalar multiplication in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shmulcl	⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem shmulcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issh2 31295	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)))
2	1	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻))
3	2	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
4		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝐴 ·ℎ 𝑦))
5	4	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ↔ (𝐴 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻))
6		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 ·ℎ 𝑦) = (𝐴 ·ℎ 𝐵))
7	6	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻))
8	5, 7	rspc2v 3576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻))
9	3, 8	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻))
10	9	3impib 1117	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   ℋchba 31005   +_ℎ cva 31006   ·_ℎ csm 31007  0_ℎc0v 31010   S_ℋ csh 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hfvmul 31091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-sh 31293

This theorem is referenced by:  shsubcl  31306  norm1exi  31336  hhssabloilem  31347  hhssnv  31350  shsel3  31401  shscli  31403  shintcli  31415  pjhthlem1  31477  h1de2bi  31640  h1de2ctlem  31641  spansni  31643  spansnmul  31650  spansnss  31657  spanunsni  31665  h1datomi  31667  pjmulii  31763  mayete3i  31814  imaelshi  32144  strlem1  32336  cdj1i  32519  cdj3lem1  32520