![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > shmulcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of vector scalar multiplication in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
shmulcl | โข ((๐ป โ Sโ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ ๐ป) โ (๐ด ยทโ ๐ต) โ ๐ป) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | issh2 30493 | . . . . 5 โข (๐ป โ Sโ โ ((๐ป โ โ โง 0โ โ ๐ป) โง (โ๐ฅ โ ๐ป โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ ๐ป โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป))) | |
2 | 1 | simprbi 498 | . . . 4 โข (๐ป โ Sโ โ (โ๐ฅ โ ๐ป โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ +โ ๐ฆ) โ ๐ป โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป)) |
3 | 2 | simprd 497 | . . 3 โข (๐ป โ Sโ โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป) |
4 | oveq1 7416 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) = (๐ด ยทโ ๐ฆ)) | |
5 | 4 | eleq1d 2819 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ด โ ((๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป โ (๐ด ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป)) |
6 | oveq2 7417 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ต โ (๐ด ยทโ ๐ฆ) = (๐ด ยทโ ๐ต)) | |
7 | 6 | eleq1d 2819 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ต โ ((๐ด ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป โ (๐ด ยทโ ๐ต) โ ๐ป)) |
8 | 5, 7 | rspc2v 3623 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ ๐ป) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทโ ๐ฆ) โ ๐ป โ (๐ด ยทโ ๐ต) โ ๐ป)) |
9 | 3, 8 | syl5com 31 | . 2 โข (๐ป โ Sโ โ ((๐ด โ โ โง ๐ต โ ๐ป) โ (๐ด ยทโ ๐ต) โ ๐ป)) |
10 | 9 | 3impib 1117 | 1 โข ((๐ป โ Sโ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ ๐ป) โ (๐ด ยทโ ๐ต) โ ๐ป) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3062 โ wss 3949 (class class class)co 7409 โcc 11108 โchba 30203 +โ cva 30204 ยทโ csm 30205 0โc0v 30208 Sโ csh 30212 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pr 5428 ax-hilex 30283 ax-hfvadd 30284 ax-hfvmul 30289 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-id 5575 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-fv 6552 df-ov 7412 df-sh 30491 |
This theorem is referenced by: shsubcl 30504 norm1exi 30534 hhssabloilem 30545 hhssnv 30548 shsel3 30599 shscli 30601 shintcli 30613 pjhthlem1 30675 h1de2bi 30838 h1de2ctlem 30839 spansni 30841 spansnmul 30848 spansnss 30855 spanunsni 30863 h1datomi 30865 pjmulii 30961 mayete3i 31012 imaelshi 31342 strlem1 31534 cdj1i 31717 cdj3lem1 31718 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |