HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shmulcl 30502
Description: Closure of vector scalar multiplication in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shmulcl ((๐ป โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ ๐ป)

Proof of Theorem shmulcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issh2 30493 . . . . 5 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
21simprbi 498 . . . 4 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))
32simprd 497 . . 3 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)
4 oveq1 7416 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) = (๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ))
54eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โ†” (๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))
6 oveq2 7417 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ต))
76eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โ†” (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ ๐ป))
85, 7rspc2v 3623 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ป) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ ๐ป))
93, 8syl5com 31 . 2 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ ๐ป))
1093impib 1117 1 ((๐ป โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ ๐ป)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062   โŠ† wss 3949  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108   โ„‹chba 30203   +โ„Ž cva 30204   ยทโ„Ž csm 30205  0โ„Žc0v 30208   Sโ„‹ csh 30212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-hilex 30283  ax-hfvadd 30284  ax-hfvmul 30289
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-sh 30491
This theorem is referenced by:  shsubcl  30504  norm1exi  30534  hhssabloilem  30545  hhssnv  30548  shsel3  30599  shscli  30601  shintcli  30613  pjhthlem1  30675  h1de2bi  30838  h1de2ctlem  30839  spansni  30841  spansnmul  30848  spansnss  30855  spanunsni  30863  h1datomi  30865  pjmulii  30961  mayete3i  31012  imaelshi  31342  strlem1  31534  cdj1i  31717  cdj3lem1  31718
  Copyright terms: Public domain W3C validator