Theorem isxmetd 24660

Description: Properties that determine an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) (Revised by AV, 9-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isxmetd.0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
isxmetd.1	⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
isxmetd.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
isxmetd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +e (𝑧𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
isxmetd	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem isxmetd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isxmetd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		isxmetd.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
3		isxmetd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +e (𝑧𝐷𝑦)))
4	3	3exp2 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +e (𝑧𝐷𝑦))))))
5	4	imp32 424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +e (𝑧𝐷𝑦))))
6	5	ralrimiv 3157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +e (𝑧𝐷𝑦)))
7	2, 6	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +e (𝑧𝐷𝑦))))
8	7	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +e (𝑧𝐷𝑦))))
9		isxmetd.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		isxmet 24658	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +e (𝑧𝐷𝑦))))))
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +e (𝑧𝐷𝑦))))))
12	1, 8, 11	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  0cc0 11213  ℝ^*cxr 11355   ≤ cle 11357   +_e cxad 13252  ∞Metcxmet 21678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8863  df-xr 11360  df-xmet 21686

This theorem is used by:  isxmet2d  24661  xmetres2  24695  comet  24847