MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isxmetd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isxmetd 23079
Description: Properties that determine an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) (Revised by AV, 9-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0 (𝜑𝑋𝑉)
isxmetd.1 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
isxmetd.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
isxmetd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isxmetd (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isxmetd
StepHypRef Expression
1 isxmetd.1 . 2 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 isxmetd.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
3 isxmetd.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
433exp2 1355 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋 → (𝑦𝑋 → (𝑧𝑋 → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
54imp32 422 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧𝑋 → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
65ralrimiv 3095 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
72, 6jca 515 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
87ralrimivva 3103 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
9 isxmetd.0 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
10 isxmet 23077 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
121, 8, 11mpbir2and 713 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053   class class class wbr 5030   × cxp 5523  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  0cc0 10615  *cxr 10752  cle 10754   +𝑒 cxad 12588  ∞Metcxmet 20202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-map 8439  df-xr 10757  df-xmet 20210
This theorem is referenced by:  isxmet2d  23080  xmetres2  23114  comet  23266
  Copyright terms: Public domain W3C validator