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Theorem isxmet2d 23602
Description: It is safe to only require the triangle inequality when the values are real (so that we can use the standard addition over the reals), but in this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be provided separately. (Counterexample: 𝐷(π‘₯, 𝑦) = if(π‘₯ = 𝑦, 0, -∞) satisfies all hypotheses except nonnegativity.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
isxmetd.1 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
isxmet2d.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
isxmet2d.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
isxmet2d.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isxmet2d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isxmet2d
StepHypRef Expression
1 isxmetd.0 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2 isxmetd.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
32fovcdmda 7518 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4 0xr 11136 . . . 4 0 ∈ ℝ*
5 xrletri3 13002 . . . 4 (((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))))
63, 4, 5sylancl 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))))
7 isxmet2d.2 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
87biantrud 533 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))))
9 isxmet2d.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
106, 8, 93bitr2d 307 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
11 isxmet2d.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
12113expa 1119 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
13 rexadd 13080 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
1413adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
1512, 14breqtrrd 5132 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1615anassrs 469 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1733adantr3 1172 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
18 pnfge 12980 . . . . . . 7 ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ +∞)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ +∞)
2019ad2antrr 725 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ +∞)
21 oveq2 7358 . . . . . 6 ((𝑧𝐷𝑦) = +∞ β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 +∞))
222ffnd 6665 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
23 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦)))
243, 7, 23sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
2524ralrimivva 3196 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
26 ffnov 7476 . . . . . . . . . . 11 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞) ↔ (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
2722, 25, 26sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞))
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞))
29 simpr3 1197 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
30 simpr1 1195 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3128, 29, 30fovcdmd 7519 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
32 eliccxr 13281 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ (0[,]+∞) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
34 renemnf 11138 . . . . . . 7 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ β†’ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞)
35 xaddpnf1 13074 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 +∞) = +∞)
3633, 34, 35syl2an 597 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 +∞) = +∞)
3721, 36sylan9eqr 2800 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
3820, 37breqtrrd 5132 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
39 simpr2 1196 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
4028, 29, 39fovcdmd 7519 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
41 eliccxr 13281 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) β†’ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
43 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑦)))
4443simprbi 498 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑦))
4540, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑦))
46 ge0nemnf 13021 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑦)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) β‰  -∞)
4742, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) β‰  -∞)
4847a1d 25 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (Β¬ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) β‰  -∞))
4948necon4bd 2962 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷𝑦) = -∞ β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
5049adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧𝐷𝑦) = -∞ β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
5150imp 408 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = -∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
5242adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
53 elxr 12966 . . . . 5 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = -∞))
5452, 53sylib 217 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = -∞))
5516, 38, 51, 54mpjao3dan 1432 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
5619adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ +∞)
57 oveq1 7357 . . . . 5 ((𝑧𝐷π‘₯) = +∞ β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
58 xaddpnf2 13075 . . . . . 6 (((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑦) β‰  -∞) β†’ (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
5942, 47, 58syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6057, 59sylan9eqr 2800 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6156, 60breqtrrd 5132 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
62 elxrge0 13303 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷π‘₯)))
6362simprbi 498 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷π‘₯))
6431, 63syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷π‘₯))
65 ge0nemnf 13021 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷π‘₯)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞)
6633, 64, 65syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞)
6766a1d 25 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (Β¬ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞))
6867necon4bd 2962 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) = -∞ β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
6968imp 408 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) = -∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
70 elxr 12966 . . . 4 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ↔ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞ ∨ (𝑧𝐷π‘₯) = -∞))
7133, 70sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞ ∨ (𝑧𝐷π‘₯) = -∞))
7255, 61, 69, 71mpjao3dan 1432 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
731, 2, 10, 72isxmetd 23601 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942  βˆ€wral 3063   class class class wbr 5104   Γ— cxp 5629   Fn wfn 6487  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  β„cr 10984  0cc0 10985   + caddc 10988  +∞cpnf 11120  -∞cmnf 11121  β„*cxr 11122   ≀ cle 11124   +𝑒 cxad 12960  [,]cicc 13196  βˆžMetcxmet 20704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-i2m1 11053  ax-rnegex 11056  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-xadd 12963  df-icc 13200  df-xmet 20712
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  23643  xrsxmet  24094
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