MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isxmet2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isxmet2d 24337
Description: It is safe to only require the triangle inequality when the values are real (so that we can use the standard addition over the reals), but in this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be provided separately. (Counterexample: 𝐷(𝑥, 𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, 0, -∞) satisfies all hypotheses except nonnegativity.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0 (𝜑𝑋𝑉)
isxmetd.1 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
isxmet2d.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
isxmet2d.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
isxmet2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isxmet2d (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isxmet2d
StepHypRef Expression
1 isxmetd.0 . 2 (𝜑𝑋𝑉)
2 isxmetd.1 . 2 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
32fovcdmda 7604 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4 0xr 11308 . . . 4 0 ∈ ℝ*
5 xrletri3 13196 . . . 4 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
63, 4, 5sylancl 586 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
7 isxmet2d.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
87biantrud 531 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
9 isxmet2d.3 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
106, 8, 93bitr2d 307 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
11 isxmet2d.4 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
12113expa 1119 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
13 rexadd 13274 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1512, 14breqtrrd 5171 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1615anassrs 467 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1733adantr3 1172 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
18 pnfge 13172 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* → (𝑥𝐷𝑦) ≤ +∞)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ +∞)
2019ad2antrr 726 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ +∞)
21 oveq2 7439 . . . . . 6 ((𝑧𝐷𝑦) = +∞ → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 +∞))
222ffnd 6737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
23 elxrge0 13497 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
243, 7, 23sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
2524ralrimivva 3202 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
26 ffnov 7559 . . . . . . . . . . 11 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
2722, 25, 26sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]+∞))
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]+∞))
29 simpr3 1197 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑧𝑋)
30 simpr1 1195 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥𝑋)
3128, 29, 30fovcdmd 7605 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ (0[,]+∞))
32 eliccxr 13475 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ (0[,]+∞) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
34 renemnf 11310 . . . . . . 7 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ → (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞)
35 xaddpnf1 13268 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
3633, 34, 35syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
3721, 36sylan9eqr 2799 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
3820, 37breqtrrd 5171 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
39 simpr2 1196 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑦𝑋)
4028, 29, 39fovcdmd 7605 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
41 eliccxr 13475 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
43 elxrge0 13497 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑦)))
4443simprbi 496 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑦))
4540, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑦))
46 ge0nemnf 13215 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) ≠ -∞)
4742, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑦) ≠ -∞)
4847a1d 25 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (¬ (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) ≠ -∞))
4948necon4bd 2960 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑦) = -∞ → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
5049adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑧𝐷𝑦) = -∞ → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
5150imp 406 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = -∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
5242adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
53 elxr 13158 . . . . 5 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = -∞))
5452, 53sylib 218 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = -∞))
5516, 38, 51, 54mpjao3dan 1434 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
5619adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) = +∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ +∞)
57 oveq1 7438 . . . . 5 ((𝑧𝐷𝑥) = +∞ → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
58 xaddpnf2 13269 . . . . . 6 (((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑦) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
5942, 47, 58syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6057, 59sylan9eqr 2799 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) = +∞) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6156, 60breqtrrd 5171 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) = +∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
62 elxrge0 13497 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑥)))
6362simprbi 496 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑥))
6431, 63syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑥))
65 ge0nemnf 13215 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑥)) → (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞)
6633, 64, 65syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞)
6766a1d 25 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (¬ (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞))
6867necon4bd 2960 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) = -∞ → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
6968imp 406 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) = -∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
70 elxr 13158 . . . 4 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ* ↔ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑥) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑥) = -∞))
7133, 70sylib 218 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑥) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑥) = -∞))
7255, 61, 69, 71mpjao3dan 1434 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
731, 2, 10, 72isxmetd 24336 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061   class class class wbr 5143   × cxp 5683   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294  cle 11296   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  ∞Metcxmet 21349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-i2m1 11223  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-xadd 13155  df-icc 13394  df-xmet 21357
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  24378  xrsxmet  24831
  Copyright terms: Public domain W3C validator