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Theorem isxmet2d 24188
Description: It is safe to only require the triangle inequality when the values are real (so that we can use the standard addition over the reals), but in this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be provided separately. (Counterexample: 𝐷(π‘₯, 𝑦) = if(π‘₯ = 𝑦, 0, -∞) satisfies all hypotheses except nonnegativity.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
isxmetd.1 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
isxmet2d.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
isxmet2d.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
isxmet2d.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isxmet2d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)
Proof of Theorem isxmet2d
StepHypRef Expression
1 isxmetd.0 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2 isxmetd.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
32fovcdmda 7575 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4 0xr 11265 . . . 4 0 ∈ ℝ*
5 xrletri3 13139 . . . 4 (((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))))
63, 4, 5sylancl 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))))
7 isxmet2d.2 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
87biantrud 531 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))))
9 isxmet2d.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
106, 8, 93bitr2d 307 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
11 isxmet2d.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
12113expa 1115 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
13 rexadd 13217 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
1512, 14breqtrrd 5169 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1615anassrs 467 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1733adantr3 1168 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
18 pnfge 13116 . . . . . . 7 ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ +∞)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ +∞)
2019ad2antrr 723 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ +∞)
21 oveq2 7413 . . . . . 6 ((𝑧𝐷𝑦) = +∞ β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 +∞))
222ffnd 6712 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
23 elxrge0 13440 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦)))
243, 7, 23sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
2524ralrimivva 3194 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
26 ffnov 7531 . . . . . . . . . . 11 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞) ↔ (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
2722, 25, 26sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞))
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞))
29 simpr3 1193 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
30 simpr1 1191 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3128, 29, 30fovcdmd 7576 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
32 eliccxr 13418 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ (0[,]+∞) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
34 renemnf 11267 . . . . . . 7 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ β†’ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞)
35 xaddpnf1 13211 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 +∞) = +∞)
3633, 34, 35syl2an 595 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 +∞) = +∞)
3721, 36sylan9eqr 2788 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
3820, 37breqtrrd 5169 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
39 simpr2 1192 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
4028, 29, 39fovcdmd 7576 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
41 eliccxr 13418 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) β†’ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
43 elxrge0 13440 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑦)))
4443simprbi 496 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑦))
4540, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑦))
46 ge0nemnf 13158 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑦)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) β‰  -∞)
4742, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) β‰  -∞)
4847a1d 25 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (Β¬ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) β‰  -∞))
4948necon4bd 2954 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷𝑦) = -∞ β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
5049adantr 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧𝐷𝑦) = -∞ β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
5150imp 406 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = -∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
5242adantr 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
53 elxr 13102 . . . . 5 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = -∞))
5452, 53sylib 217 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = -∞))
5516, 38, 51, 54mpjao3dan 1428 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
5619adantr 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ +∞)
57 oveq1 7412 . . . . 5 ((𝑧𝐷π‘₯) = +∞ β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
58 xaddpnf2 13212 . . . . . 6 (((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑦) β‰  -∞) β†’ (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
5942, 47, 58syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6057, 59sylan9eqr 2788 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6156, 60breqtrrd 5169 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
62 elxrge0 13440 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷π‘₯)))
6362simprbi 496 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷π‘₯))
6431, 63syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷π‘₯))
65 ge0nemnf 13158 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷π‘₯)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞)
6633, 64, 65syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞)
6766a1d 25 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (Β¬ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) β‰  -∞))
6867necon4bd 2954 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) = -∞ β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
6968imp 406 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧𝐷π‘₯) = -∞) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
70 elxr 13102 . . . 4 ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ↔ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞ ∨ (𝑧𝐷π‘₯) = -∞))
7133, 70sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷π‘₯) = +∞ ∨ (𝑧𝐷π‘₯) = -∞))
7255, 61, 69, 71mpjao3dan 1428 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
731, 2, 10, 72isxmetd 24187 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13096  [,]cicc 13333  βˆžMetcxmet 21225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-i2m1 11180  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-xadd 13099  df-icc 13337  df-xmet 21233
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  24229  xrsxmet  24680
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