MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isxmet2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isxmet2d 24352
Description: It is safe to only require the triangle inequality when the values are real (so that we can use the standard addition over the reals), but in this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be provided separately. (Counterexample: 𝐷(𝑥, 𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, 0, -∞) satisfies all hypotheses except nonnegativity.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0 (𝜑𝑋𝑉)
isxmetd.1 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
isxmet2d.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
isxmet2d.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
isxmet2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isxmet2d (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isxmet2d
StepHypRef Expression
1 isxmetd.0 . 2 (𝜑𝑋𝑉)
2 isxmetd.1 . 2 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
32fovcdmda 7603 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4 0xr 11305 . . . 4 0 ∈ ℝ*
5 xrletri3 13192 . . . 4 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
63, 4, 5sylancl 586 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
7 isxmet2d.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
87biantrud 531 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
9 isxmet2d.3 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
106, 8, 93bitr2d 307 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
11 isxmet2d.4 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
12113expa 1117 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
13 rexadd 13270 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1512, 14breqtrrd 5175 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1615anassrs 467 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1733adantr3 1170 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
18 pnfge 13169 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* → (𝑥𝐷𝑦) ≤ +∞)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ +∞)
2019ad2antrr 726 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ +∞)
21 oveq2 7438 . . . . . 6 ((𝑧𝐷𝑦) = +∞ → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 +∞))
222ffnd 6737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
23 elxrge0 13493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
243, 7, 23sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
2524ralrimivva 3199 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
26 ffnov 7558 . . . . . . . . . . 11 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
2722, 25, 26sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]+∞))
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]+∞))
29 simpr3 1195 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑧𝑋)
30 simpr1 1193 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥𝑋)
3128, 29, 30fovcdmd 7604 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ (0[,]+∞))
32 eliccxr 13471 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ (0[,]+∞) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
34 renemnf 11307 . . . . . . 7 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ → (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞)
35 xaddpnf1 13264 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
3633, 34, 35syl2an 596 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
3721, 36sylan9eqr 2796 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
3820, 37breqtrrd 5175 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
39 simpr2 1194 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑦𝑋)
4028, 29, 39fovcdmd 7604 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
41 eliccxr 13471 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
43 elxrge0 13493 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑦)))
4443simprbi 496 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑦))
4540, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑦))
46 ge0nemnf 13211 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) ≠ -∞)
4742, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑦) ≠ -∞)
4847a1d 25 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (¬ (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) ≠ -∞))
4948necon4bd 2957 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑦) = -∞ → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
5049adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑧𝐷𝑦) = -∞ → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
5150imp 406 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = -∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
5242adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
53 elxr 13155 . . . . 5 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = -∞))
5452, 53sylib 218 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = -∞))
5516, 38, 51, 54mpjao3dan 1431 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
5619adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) = +∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ +∞)
57 oveq1 7437 . . . . 5 ((𝑧𝐷𝑥) = +∞ → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
58 xaddpnf2 13265 . . . . . 6 (((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑦) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
5942, 47, 58syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6057, 59sylan9eqr 2796 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) = +∞) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6156, 60breqtrrd 5175 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) = +∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
62 elxrge0 13493 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑥)))
6362simprbi 496 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑥))
6431, 63syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑥))
65 ge0nemnf 13211 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑥)) → (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞)
6633, 64, 65syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞)
6766a1d 25 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (¬ (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞))
6867necon4bd 2957 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) = -∞ → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
6968imp 406 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) = -∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
70 elxr 13155 . . . 4 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ* ↔ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑥) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑥) = -∞))
7133, 70sylib 218 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑥) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑥) = -∞))
7255, 61, 69, 71mpjao3dan 1431 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
731, 2, 10, 72isxmetd 24351 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058   class class class wbr 5147   × cxp 5686   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291  cle 11293   +𝑒 cxad 13149  [,]cicc 13386  ∞Metcxmet 21366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-i2m1 11220  ax-rnegex 11223  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-xadd 13152  df-icc 13390  df-xmet 21374
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  24393  xrsxmet  24844
  Copyright terms: Public domain W3C validator