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Theorem comet 23791
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
comet.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0[,]+∞)βŸΆβ„*)
comet.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0))
comet.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
comet.5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
comet (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐷) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝐹,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑋(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem comet
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comet.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
21elfvexd 6876 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
3 comet.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0[,]+∞)βŸΆβ„*)
4 xmetf 23604 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
51, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
65ffnd 6664 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
7 xmetcl 23606 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Žπ·π‘) ∈ ℝ*)
8 xmetge0 23619 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘Žπ·π‘))
9 elxrge0 13302 . . . . . . . 8 ((π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘Žπ·π‘) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘Žπ·π‘)))
107, 8, 9sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞))
11103expb 1120 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞))
121, 11sylan 580 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞))
1312ralrimivva 3195 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞))
14 ffnov 7475 . . . 4 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞) ↔ (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞)))
156, 13, 14sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞))
163, 15fcod 6689 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐷):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
17 opelxpi 5667 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
18 fvco3 6935 . . . . . 6 ((𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)))
195, 17, 18syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)))
20 df-ov 7352 . . . . 5 (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
21 df-ov 7352 . . . . . 6 (π‘Žπ·π‘) = (π·β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
2221fveq2i 6840 . . . . 5 (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©))
2319, 20, 223eqtr4g 2802 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)))
2423eqeq1d 2739 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = 0 ↔ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) = 0))
25 fveq2 6837 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)))
2625eqeq1d 2739 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) = 0))
27 eqeq1 2741 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (π‘Žπ·π‘) = 0))
2826, 27bibi12d 345 . . . 4 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0) ↔ ((πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) = 0 ↔ (π‘Žπ·π‘) = 0)))
29 comet.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0))
3029ralrimiva 3141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0))
3130adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0))
3228, 31, 12rspcdva 3580 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) = 0 ↔ (π‘Žπ·π‘) = 0))
33 xmeteq0 23613 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Žπ·π‘) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
34333expb 1120 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Žπ·π‘) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
351, 34sylan 580 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Žπ·π‘) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
3624, 32, 353bitrd 304 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
373adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:(0[,]+∞)βŸΆβ„*)
38123adantr3 1171 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞))
3937, 38ffvelcdmd 7030 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ∈ ℝ*)
4015adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞))
41 simpr3 1196 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑋)
42 simpr1 1194 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑋)
4340, 41, 42fovcdmd 7518 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘π·π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
44 simpr2 1195 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑋)
4540, 41, 44fovcdmd 7518 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐𝐷𝑏) ∈ (0[,]+∞))
46 ge0xaddcl 13307 . . . . . 6 (((π‘π·π‘Ž) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑐𝐷𝑏) ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) ∈ (0[,]+∞))
4743, 45, 46syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) ∈ (0[,]+∞))
4837, 47ffvelcdmd 7030 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))) ∈ ℝ*)
4937, 43ffvelcdmd 7030 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) ∈ ℝ*)
5037, 45ffvelcdmd 7030 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏)) ∈ ℝ*)
5149, 50xaddcld 13148 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏))) ∈ ℝ*)
52 3anrot 1100 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ↔ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))
53 xmettri2 23615 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
5452, 53sylan2br 595 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
551, 54sylan 580 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
56 comet.4 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
5756ralrimivva 3195 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
5857adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
59 breq1 5106 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (π‘Žπ·π‘) ≀ 𝑦))
6025breq1d 5113 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
6159, 60imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((π‘Žπ·π‘) ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
62 breq2 5107 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ ((π‘Žπ·π‘) ≀ 𝑦 ↔ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
63 fveq2 6837 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
6463breq2d 5115 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
6562, 64imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑦 = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ (((π‘Žπ·π‘) ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
6661, 65rspc2va 3589 . . . . . 6 ((((π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞) ∧ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) ∈ (0[,]+∞)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ((π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
6738, 47, 58, 66syl21anc 836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
6855, 67mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
69 comet.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)))
7069ralrimivva 3195 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)))
7170adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)))
72 fvoveq1 7372 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘π·π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 𝑦)))
73 fveq2 6837 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘π·π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)))
7473oveq1d 7364 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘π·π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)))
7572, 74breq12d 5116 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘π·π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦))))
76 oveq2 7357 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑐𝐷𝑏) β†’ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 𝑦) = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
7776fveq2d 6841 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑐𝐷𝑏) β†’ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 𝑦)) = (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
78 fveq2 6837 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑐𝐷𝑏) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏)))
7978oveq2d 7365 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑐𝐷𝑏) β†’ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏))))
8077, 79breq12d 5116 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑐𝐷𝑏) β†’ ((πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏)))))
8175, 80rspc2va 3589 . . . . 5 ((((π‘π·π‘Ž) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑐𝐷𝑏) ∈ (0[,]+∞)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏))))
8243, 45, 71, 81syl21anc 836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏))))
8339, 48, 51, 68, 82xrletrd 13009 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏))))
84233adantr3 1171 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)))
855adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
8641, 42opelxpd 5668 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
8785, 86fvco3d 6936 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)))
88 df-ov 7352 . . . . 5 (𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)π‘Ž) = ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)
89 df-ov 7352 . . . . . 6 (π‘π·π‘Ž) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)
9089fveq2i 6840 . . . . 5 (πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©))
9187, 88, 903eqtr4g 2802 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)π‘Ž) = (πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)))
9241, 44opelxpd 5668 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
9385, 92fvco3d 6936 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)))
94 df-ov 7352 . . . . 5 (𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
95 df-ov 7352 . . . . . 6 (𝑐𝐷𝑏) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
9695fveq2i 6840 . . . . 5 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏)) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©))
9793, 94, 963eqtr4g 2802 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏)))
9891, 97oveq12d 7367 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏)) = ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏))))
9983, 84, 983brtr4d 5135 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏)))
1002, 16, 36, 99isxmetd 23601 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐷) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062  Vcvv 3443  βŸ¨cop 4590   class class class wbr 5103   Γ— cxp 5628   ∘ ccom 5634   Fn wfn 6486  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   ≀ cle 11123   +𝑒 cxad 12959  [,]cicc 13195  βˆžMetcxmet 20704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-er 8581  df-map 8700  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-2 12149  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-icc 13199  df-xmet 20712
This theorem is referenced by:  stdbdxmet  23793
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