Theorem lcvpss 39017

Description: The covers relation implies proper subset. (cvpss 32214 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvpss.d	⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvpss	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Proof of Theorem lcvpss

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvpss.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)
2		lcvfbr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lcvfbr.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lcvfbr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
5		lcvfbr.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6		lcvfbr.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	lcvbr 39014	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
8	1, 7	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
9	8	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊊ wpss 3915   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  LSubSpclss 20837   ⋖_L clcv 39011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-lcv 39012

This theorem is referenced by:  lcvntr  39019  lcvat  39023  lsatcveq0  39025  lsat0cv  39026  lcvexchlem4  39030  lcvexchlem5  39031  lcv1  39034  lsatexch  39036  lsatcvat2  39044  islshpcv  39046