Theorem lcvpss 37038

Description: The covers relation implies proper subset. (cvpss 30647 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvpss.d	⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvpss	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Proof of Theorem lcvpss

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvpss.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)
2		lcvfbr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lcvfbr.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lcvfbr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
5		lcvfbr.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6		lcvfbr.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	lcvbr 37035	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
8	1, 7	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
9	8	simpld 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ⊊ wpss 3888   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  LSubSpclss 20193   ⋖_L clcv 37032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-lcv 37033

This theorem is referenced by:  lcvntr  37040  lcvat  37044  lsatcveq0  37046  lsat0cv  37047  lcvexchlem4  37051  lcvexchlem5  37052  lcv1  37055  lsatexch  37057  lsatcvat2  37065  islshpcv  37067