Theorem lcvpss 39042

Description: The covers relation implies proper subset. (cvpss 32266 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvpss.d	⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvpss	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Proof of Theorem lcvpss

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvpss.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)
2		lcvfbr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lcvfbr.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lcvfbr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
5		lcvfbr.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6		lcvfbr.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	lcvbr 39039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
8	1, 7	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
9	8	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   ⊊ wpss 3927   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  LSubSpclss 20888   ⋖_L clcv 39036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-lcv 39037

This theorem is referenced by:  lcvntr  39044  lcvat  39048  lsatcveq0  39050  lsat0cv  39051  lcvexchlem4  39055  lcvexchlem5  39056  lcv1  39059  lsatexch  39061  lsatcvat2  39069  islshpcv  39071