Theorem lcvpss 39858

Description: The covers relation implies proper subset. (cvpss 32710 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvpss.d	⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvpss	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Proof of Theorem lcvpss

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvpss.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)
2		lcvfbr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lcvfbr.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lcvfbr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
5		lcvfbr.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6		lcvfbr.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	lcvbr 39855	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
8	1, 7	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
9	8	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ⊊ wpss 3907   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  LSubSpclss 21104   ⋖_L clcv 39852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-lcv 39853

This theorem is used by:  lcvntr  39860  lcvat  39864  lsatcveq0  39866  lsat0cv  39867  lcvexchlem4  39871  lcvexchlem5  39872  lcv1  39875  lsatexch  39877  lsatcvat2  39885  islshpcv  39887