Theorem lcvpss 39133

Description: The covers relation implies proper subset. (cvpss 32265 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvpss.d	⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvpss	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Proof of Theorem lcvpss

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvpss.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶𝑈)
2		lcvfbr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lcvfbr.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lcvfbr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
5		lcvfbr.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6		lcvfbr.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	lcvbr 39130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
8	1, 7	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
9	8	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊊ wpss 3898   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  LSubSpclss 20864   ⋖_L clcv 39127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-lcv 39128

This theorem is referenced by:  lcvntr  39135  lcvat  39139  lsatcveq0  39141  lsat0cv  39142  lcvexchlem4  39146  lcvexchlem5  39147  lcv1  39150  lsatexch  39152  lsatcvat2  39160  islshpcv  39162