Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem4 35647
Description: Lemma for lcvexch 35649. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvexch.f (𝜑𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem4 (𝜑 → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)

Proof of Theorem lcvexchlem4
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcvexch.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lcvexch.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
3 lcvexch.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lcvexch.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
5 lcvexch.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
6 lcvexch.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
71, 6lsmcl 19589 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
83, 4, 5, 7syl3anc 1351 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
9 lcvexch.f . . . 4 (𝜑𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
101, 2, 3, 4, 8, 9lcvpss 35634 . . 3 (𝜑𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈))
111, 6, 2, 3, 4, 5lcvexchlem1 35644 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈))
1210, 11mpbid 224 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈)
1333ad2ant1 1113 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
141lsssssubg 19464 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16 simp2 1117 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑠𝑆)
1715, 16sseldd 3853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑊))
1843ad2ant1 1113 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇𝑆)
1915, 18sseldd 3853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
206lsmub2 18555 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇))
2117, 19, 20syl2anc 576 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇))
2253ad2ant1 1113 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑈𝑆)
2315, 22sseldd 3853 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24 simp3r 1182 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑠𝑈)
256lsmless1 18557 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑈) → (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑈 𝑇))
2623, 19, 24, 25syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑈 𝑇))
27 lmodabl 19415 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
283, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
293, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3029, 4sseldd 3853 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3129, 5sseldd 3853 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
326lsmcom 18746 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
3328, 30, 31, 32syl3anc 1351 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
34333ad2ant1 1113 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
3526, 34sseqtr4d 3892 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈))
3693ad2ant1 1113 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
371, 2, 3, 4, 8lcvbr3 35633 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))))))
3837adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))))))
393adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
40 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑠𝑆)
414adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑇𝑆)
421, 6lsmcl 19589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆𝑇𝑆) → (𝑠 𝑇) ∈ 𝑆)
4339, 40, 41, 42syl3anc 1351 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑠 𝑇) ∈ 𝑆)
44 sseq2 3877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑇𝑟𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇)))
45 sseq1 3876 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)))
4644, 45anbi12d 621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈))))
47 eqeq1 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑟 = 𝑇 ↔ (𝑠 𝑇) = 𝑇))
48 eqeq1 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑟 = (𝑇 𝑈) ↔ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))
4947, 48orbi12d 902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → ((𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈)) ↔ ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈))))
5046, 49imbi12d 337 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))) ↔ ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5150rspcv 3525 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 𝑇) ∈ 𝑆 → (∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5243, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑆) → (∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5352adantld 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆) → ((𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈)))) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5438, 53sylbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
55543adant3 1112 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5636, 55mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈))))
5721, 35, 56mp2and 686 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))
58 ineq1 4062 . . . . . . 7 ((𝑠 𝑇) = 𝑇 → ((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑇𝑈))
59 simp3l 1181 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑠)
601, 6, 2, 13, 18, 22, 16, 59, 24lcvexchlem2 35645 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑠)
6160eqeq1d 2774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑇𝑈) ↔ 𝑠 = (𝑇𝑈)))
6258, 61syl5ib 236 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇𝑠 = (𝑇𝑈)))
63 ineq1 4062 . . . . . . 7 ((𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈) → ((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈))
646lsmub2 18555 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
6519, 23, 64syl2anc 576 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
66 sseqin2 4073 . . . . . . . . 9 (𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈) ↔ ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈) = 𝑈)
6765, 66sylib 210 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈) = 𝑈)
6860, 67eqeq12d 2787 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈) ↔ 𝑠 = 𝑈))
6963, 68syl5ib 236 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))
7062, 69orim12d 947 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈)))
7157, 70mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈))
72713exp 1099 . . 3 (𝜑 → (𝑠𝑆 → (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈))))
7372ralrimiv 3125 . 2 (𝜑 → ∀𝑠𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈)))
741lssincl 19471 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
753, 4, 5, 74syl3anc 1351 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
761, 2, 3, 75, 5lcvbr3 35633 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑈)𝐶𝑈 ↔ ((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈)))))
7712, 73, 76mpbir2and 700 1 (𝜑 → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3082  cin 3822  wss 3823  wpss 3824   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  SubGrpcsubg 18069  LSSumclsm 18532  Abelcabl 18679  LModclmod 19368  LSubSpclss 19437  L clcv 35628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-0g 16569  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-cntz 18230  df-lsm 18534  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lcv 35629
This theorem is referenced by:  lcvexch  35649  lsatcvat3  35662
  Copyright terms: Public domain W3C validator