Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem4 37528
Description: Lemma for lcvexch 37530. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvexch.f (𝜑𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem4 (𝜑 → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)

Proof of Theorem lcvexchlem4
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcvexch.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lcvexch.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
3 lcvexch.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lcvexch.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
5 lcvexch.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
6 lcvexch.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
71, 6lsmcl 20560 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
83, 4, 5, 7syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
9 lcvexch.f . . . 4 (𝜑𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
101, 2, 3, 4, 8, 9lcvpss 37515 . . 3 (𝜑𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈))
111, 6, 2, 3, 4, 5lcvexchlem1 37525 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈))
1210, 11mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈)
1333ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
141lsssssubg 20435 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑠𝑆)
1715, 16sseldd 3950 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑊))
1843ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇𝑆)
1915, 18sseldd 3950 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
206lsmub2 19447 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇))
2117, 19, 20syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇))
2253ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑈𝑆)
2315, 22sseldd 3950 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24 simp3r 1203 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑠𝑈)
256lsmless1 19449 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑈) → (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑈 𝑇))
2623, 19, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑈 𝑇))
27 lmodabl 20385 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
283, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
293, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3029, 4sseldd 3950 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3129, 5sseldd 3950 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
326lsmcom 19643 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
3328, 30, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
34333ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
3526, 34sseqtrrd 3990 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈))
3693ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
371, 2, 3, 4, 8lcvbr3 37514 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))))))
3837adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))))))
393adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
40 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑠𝑆)
414adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑇𝑆)
421, 6lsmcl 20560 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆𝑇𝑆) → (𝑠 𝑇) ∈ 𝑆)
4339, 40, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑠 𝑇) ∈ 𝑆)
44 sseq2 3975 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑇𝑟𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇)))
45 sseq1 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)))
4644, 45anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈))))
47 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑟 = 𝑇 ↔ (𝑠 𝑇) = 𝑇))
48 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑟 = (𝑇 𝑈) ↔ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))
4947, 48orbi12d 918 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → ((𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈)) ↔ ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈))))
5046, 49imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))) ↔ ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5150rspcv 3580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 𝑇) ∈ 𝑆 → (∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5243, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑆) → (∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5352adantld 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆) → ((𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈)))) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5438, 53sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
55543adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5636, 55mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈))))
5721, 35, 56mp2and 698 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))
58 ineq1 4170 . . . . . . 7 ((𝑠 𝑇) = 𝑇 → ((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑇𝑈))
59 simp3l 1202 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑠)
601, 6, 2, 13, 18, 22, 16, 59, 24lcvexchlem2 37526 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑠)
6160eqeq1d 2739 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑇𝑈) ↔ 𝑠 = (𝑇𝑈)))
6258, 61imbitrid 243 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇𝑠 = (𝑇𝑈)))
63 ineq1 4170 . . . . . . 7 ((𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈) → ((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈))
646lsmub2 19447 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
6519, 23, 64syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
66 sseqin2 4180 . . . . . . . . 9 (𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈) ↔ ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈) = 𝑈)
6765, 66sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈) = 𝑈)
6860, 67eqeq12d 2753 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈) ↔ 𝑠 = 𝑈))
6963, 68imbitrid 243 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))
7062, 69orim12d 964 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈)))
7157, 70mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈))
72713exp 1120 . . 3 (𝜑 → (𝑠𝑆 → (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈))))
7372ralrimiv 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑠𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈)))
741lssincl 20442 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
753, 4, 5, 74syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
761, 2, 3, 75, 5lcvbr3 37514 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑈)𝐶𝑈 ↔ ((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈)))))
7712, 73, 76mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  cin 3914  wss 3915  wpss 3916   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  SubGrpcsubg 18929  LSSumclsm 19423  Abelcabl 19570  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  L clcv 37509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lcv 37510
This theorem is referenced by:  lcvexch  37530  lsatcvat3  37543
  Copyright terms: Public domain W3C validator