Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem4 39018
Description: Lemma for lcvexch 39020. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvexch.f (𝜑𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem4 (𝜑 → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)

Proof of Theorem lcvexchlem4
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcvexch.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lcvexch.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
3 lcvexch.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lcvexch.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
5 lcvexch.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
6 lcvexch.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
71, 6lsmcl 21099 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
83, 4, 5, 7syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
9 lcvexch.f . . . 4 (𝜑𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
101, 2, 3, 4, 8, 9lcvpss 39005 . . 3 (𝜑𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈))
111, 6, 2, 3, 4, 5lcvexchlem1 39015 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈))
1210, 11mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈)
1333ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
141lsssssubg 20973 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑠𝑆)
1715, 16sseldd 3995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑊))
1843ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇𝑆)
1915, 18sseldd 3995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
206lsmub2 19690 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇))
2117, 19, 20syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇))
2253ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑈𝑆)
2315, 22sseldd 3995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24 simp3r 1201 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑠𝑈)
256lsmless1 19692 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑈) → (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑈 𝑇))
2623, 19, 24, 25syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑈 𝑇))
27 lmodabl 20923 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
283, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
293, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3029, 4sseldd 3995 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3129, 5sseldd 3995 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
326lsmcom 19890 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
3328, 30, 31, 32syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
34333ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
3526, 34sseqtrrd 4036 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈))
3693ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
371, 2, 3, 4, 8lcvbr3 39004 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))))))
3837adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))))))
393adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑠𝑆)
414adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑇𝑆)
421, 6lsmcl 21099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆𝑇𝑆) → (𝑠 𝑇) ∈ 𝑆)
4339, 40, 41, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑠 𝑇) ∈ 𝑆)
44 sseq2 4021 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑇𝑟𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇)))
45 sseq1 4020 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)))
4644, 45anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈))))
47 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑟 = 𝑇 ↔ (𝑠 𝑇) = 𝑇))
48 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑟 = (𝑇 𝑈) ↔ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))
4947, 48orbi12d 918 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → ((𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈)) ↔ ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈))))
5046, 49imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))) ↔ ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5150rspcv 3617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 𝑇) ∈ 𝑆 → (∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5243, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑆) → (∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5352adantld 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆) → ((𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈)))) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5438, 53sylbid 240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
55543adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5636, 55mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈))))
5721, 35, 56mp2and 699 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))
58 ineq1 4220 . . . . . . 7 ((𝑠 𝑇) = 𝑇 → ((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑇𝑈))
59 simp3l 1200 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑠)
601, 6, 2, 13, 18, 22, 16, 59, 24lcvexchlem2 39016 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑠)
6160eqeq1d 2736 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑇𝑈) ↔ 𝑠 = (𝑇𝑈)))
6258, 61imbitrid 244 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇𝑠 = (𝑇𝑈)))
63 ineq1 4220 . . . . . . 7 ((𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈) → ((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈))
646lsmub2 19690 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
6519, 23, 64syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
66 sseqin2 4230 . . . . . . . . 9 (𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈) ↔ ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈) = 𝑈)
6765, 66sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈) = 𝑈)
6860, 67eqeq12d 2750 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈) ↔ 𝑠 = 𝑈))
6963, 68imbitrid 244 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))
7062, 69orim12d 966 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈)))
7157, 70mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈))
72713exp 1118 . . 3 (𝜑 → (𝑠𝑆 → (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈))))
7372ralrimiv 3142 . 2 (𝜑 → ∀𝑠𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈)))
741lssincl 20980 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
753, 4, 5, 74syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
761, 2, 3, 75, 5lcvbr3 39004 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑈)𝐶𝑈 ↔ ((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈)))))
7712, 73, 76mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  cin 3961  wss 3962  wpss 3963   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  SubGrpcsubg 19150  LSSumclsm 19666  Abelcabl 19813  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946  L clcv 38999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-lsm 19668  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lcv 39000
This theorem is referenced by:  lcvexch  39020  lsatcvat3  39033
  Copyright terms: Public domain W3C validator