Theorem lcvexchlem5 38434

Description: Lemma for lcvexch 38435. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvexch.g	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem5	⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lcvexchlem5

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvexch.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
3		lcvexch.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lcvexch.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
5		lcvexch.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6	1	lssincl 20831	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
8		lcvexch.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈)
9	1, 2, 3, 7, 5, 8	lcvpss 38420	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈)
10		lcvexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
11	1, 10, 2, 3, 4, 5	lcvexchlem1 38430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈))
12	9, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑈))
13		simp3l 1199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → 𝑇 ⊆ 𝑠)
14	13	ssrind 4231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ (𝑠 ∩ 𝑈))
15		inss2 4225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
16	14, 15	jctir 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ (𝑠 ∩ 𝑈) ∧ (𝑠 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈))
17	8	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈)
18	1, 2, 3, 7, 5	lcvbr3 38419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈 ↔ ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝑈) → (𝑟 = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)))))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈 ↔ ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝑈) → (𝑟 = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)))))
20	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
22	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑆)
23	1	lssincl 20831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑠 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑠 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
25		sseq2 4004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = (𝑠 ∩ 𝑈) → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑟 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ (𝑠 ∩ 𝑈)))
26		sseq1 4003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = (𝑠 ∩ 𝑈) → (𝑟 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑠 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈))
27	25, 26	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = (𝑠 ∩ 𝑈) → (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝑈) ↔ ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ (𝑠 ∩ 𝑈) ∧ (𝑠 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈)))
28		eqeq1 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = (𝑠 ∩ 𝑈) → (𝑟 = (𝑇 ∩ 𝑈) ↔ (𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈)))
29		eqeq1 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = (𝑠 ∩ 𝑈) → (𝑟 = 𝑈 ↔ (𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈))
30	28, 29	orbi12d 917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = (𝑠 ∩ 𝑈) → ((𝑟 = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈) ↔ ((𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ (𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈)))
31	27, 30	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = (𝑠 ∩ 𝑈) → ((((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝑈) → (𝑟 = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)) ↔ (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ (𝑠 ∩ 𝑈) ∧ (𝑠 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ (𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈))))
32	31	rspcv 3603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆 → (∀𝑟 ∈ 𝑆 (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝑈) → (𝑟 = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)) → (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ (𝑠 ∩ 𝑈) ∧ (𝑠 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ (𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈))))
33	24, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∀𝑟 ∈ 𝑆 (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝑈) → (𝑟 = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)) → (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ (𝑠 ∩ 𝑈) ∧ (𝑠 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ (𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈))))
34	33	adantld 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝑈) → (𝑟 = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈))) → (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ (𝑠 ∩ 𝑈) ∧ (𝑠 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ (𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈))))
35	19, 34	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈 → (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ (𝑠 ∩ 𝑈) ∧ (𝑠 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ (𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈))))
36	35	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → ((𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈 → (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ (𝑠 ∩ 𝑈) ∧ (𝑠 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ (𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈))))
37	17, 36	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → (((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ (𝑠 ∩ 𝑈) ∧ (𝑠 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ (𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈)))
38	16, 37	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → ((𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ (𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈))
39		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈) → ((𝑠 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇))
40	3	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → 𝑊 ∈ LMod)
41	4	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → 𝑇 ∈ 𝑆)
42	5	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
43		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → 𝑠 ∈ 𝑆)
44		simp3r 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
45	1, 10, 2, 40, 41, 42, 43, 13, 44	lcvexchlem3 38432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → ((𝑠 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑠)
46	1	lsssssubg 20824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
47	3, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
48	47, 7	sseldd 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
49	47, 4	sseldd 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
50		inss1 4224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇)
52	10	lsmss1 19604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑇)
53	48, 49, 51, 52	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑇)
54	53	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑇)
55	45, 54	eqeq12d 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → (((𝑠 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) ↔ 𝑠 = 𝑇))
56	39, 55	imbitrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → ((𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈) → 𝑠 = 𝑇))
57		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈 → ((𝑠 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
58		lmodabl 20774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
59	3, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
60	47, 5	sseldd 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
61	10	lsmcom 19797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑈))
62	59, 60, 49, 61	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑈))
63	62	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → (𝑈 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑈))
64	45, 63	eqeq12d 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → (((𝑠 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = (𝑈 ⊕ 𝑇) ↔ 𝑠 = (𝑇 ⊕ 𝑈)))
65	57, 64	imbitrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → ((𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈 → 𝑠 = (𝑇 ⊕ 𝑈)))
66	56, 65	orim12d 963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → (((𝑠 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∩ 𝑈) ∨ (𝑠 ∩ 𝑈) = 𝑈) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = (𝑇 ⊕ 𝑈))))
67	38, 66	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = (𝑇 ⊕ 𝑈)))
68	67	3exp 1117	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝑆 → ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = (𝑇 ⊕ 𝑈)))))
69	68	ralrimiv 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = (𝑇 ⊕ 𝑈))))
70	1, 10	lsmcl 20950	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)
71	3, 4, 5, 70	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)
72	1, 2, 3, 4, 71	lcvbr3 38419	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑈) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑇 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → (𝑠 = 𝑇 ∨ 𝑠 = (𝑇 ⊕ 𝑈))))))
73	12, 69, 72	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944   ⊊ wpss 3945   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  SubGrpcsubg 19059  LSSumclsm 19573  Abelcabl 19720  LModclmod 20725  LSubSpclss 20797   ⋖_L clcv 38414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-cntz 19252  df-oppg 19281  df-lsm 19575  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-ur 20106  df-ring 20159  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lcv 38415

This theorem is referenced by:  lcvexch  38435