Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem5 38562
Description: Lemma for lcvexch 38563. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvexch.g (𝜑 → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem5 (𝜑𝑇𝐶(𝑇 𝑈))

Proof of Theorem lcvexchlem5
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcvexch.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lcvexch.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
3 lcvexch.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lcvexch.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑆)
5 lcvexch.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
61lssincl 20848 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
8 lcvexch.g . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)
91, 2, 3, 7, 5, 8lcvpss 38548 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈)
10 lcvexch.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
111, 10, 2, 3, 4, 5lcvexchlem1 38558 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈))
129, 11mpbird 256 . 2 (𝜑𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈))
13 simp3l 1198 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → 𝑇𝑠)
1413ssrind 4231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈))
15 inss2 4225 . . . . . . 7 (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈
1614, 15jctir 519 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈))
1783ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)
181, 2, 3, 7, 5lcvbr3 38547 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑇𝑈)𝐶𝑈 ↔ ((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑟𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)))))
1918adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆) → ((𝑇𝑈)𝐶𝑈 ↔ ((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑟𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)))))
203adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
21 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑠𝑆)
225adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑈𝑆)
231lssincl 20848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆𝑈𝑆) → (𝑠𝑈) ∈ 𝑆)
2420, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑠𝑈) ∈ 𝑆)
25 sseq2 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠𝑈) → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟 ↔ (𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈)))
26 sseq1 3999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠𝑈) → (𝑟𝑈 ↔ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈))
2725, 26anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑠𝑈) → (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) ↔ ((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈)))
28 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ↔ (𝑠𝑈) = (𝑇𝑈)))
29 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠𝑈) → (𝑟 = 𝑈 ↔ (𝑠𝑈) = 𝑈))
3028, 29orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑠𝑈) → ((𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈) ↔ ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈)))
3127, 30imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑠𝑈) → ((((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)) ↔ (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))))
3231rspcv 3599 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑈) ∈ 𝑆 → (∀𝑟𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)) → (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))))
3324, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑆) → (∀𝑟𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈)) → (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))))
3433adantld 489 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆) → (((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑟𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑟𝑟𝑈) → (𝑟 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑟 = 𝑈))) → (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))))
3519, 34sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆) → ((𝑇𝑈)𝐶𝑈 → (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))))
36353adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑇𝑈)𝐶𝑈 → (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))))
3717, 36mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (((𝑇𝑈) ⊆ (𝑠𝑈) ∧ (𝑠𝑈) ⊆ 𝑈) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈)))
3816, 37mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈))
39 oveq1 7420 . . . . . . 7 ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) → ((𝑠𝑈) 𝑇) = ((𝑇𝑈) 𝑇))
4033ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → 𝑊 ∈ LMod)
4143ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → 𝑇𝑆)
4253ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → 𝑈𝑆)
43 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → 𝑠𝑆)
44 simp3r 1199 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → 𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))
451, 10, 2, 40, 41, 42, 43, 13, 44lcvexchlem3 38560 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑠𝑈) 𝑇) = 𝑠)
461lsssssubg 20841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
473, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4847, 7sseldd 3974 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
4947, 4sseldd 3974 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
50 inss1 4224 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
5210lsmss1 19619 . . . . . . . . . 10 (((𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇𝑈) 𝑇) = 𝑇)
5348, 49, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇𝑈) 𝑇) = 𝑇)
54533ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑇𝑈) 𝑇) = 𝑇)
5545, 54eqeq12d 2741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (((𝑠𝑈) 𝑇) = ((𝑇𝑈) 𝑇) ↔ 𝑠 = 𝑇))
5639, 55imbitrid 243 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) → 𝑠 = 𝑇))
57 oveq1 7420 . . . . . . 7 ((𝑠𝑈) = 𝑈 → ((𝑠𝑈) 𝑇) = (𝑈 𝑇))
58 lmodabl 20791 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
593, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
6047, 5sseldd 3974 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6110lsmcom 19812 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈 𝑇) = (𝑇 𝑈))
6259, 60, 49, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 𝑇) = (𝑇 𝑈))
63623ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (𝑈 𝑇) = (𝑇 𝑈))
6445, 63eqeq12d 2741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (((𝑠𝑈) 𝑇) = (𝑈 𝑇) ↔ 𝑠 = (𝑇 𝑈)))
6557, 64imbitrid 243 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → ((𝑠𝑈) = 𝑈𝑠 = (𝑇 𝑈)))
6656, 65orim12d 962 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (((𝑠𝑈) = (𝑇𝑈) ∨ (𝑠𝑈) = 𝑈) → (𝑠 = 𝑇𝑠 = (𝑇 𝑈))))
6738, 66mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ (𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈))) → (𝑠 = 𝑇𝑠 = (𝑇 𝑈)))
68673exp 1116 . . 3 (𝜑 → (𝑠𝑆 → ((𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑠 = 𝑇𝑠 = (𝑇 𝑈)))))
6968ralrimiv 3135 . 2 (𝜑 → ∀𝑠𝑆 ((𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑠 = 𝑇𝑠 = (𝑇 𝑈))))
701, 10lsmcl 20967 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
713, 4, 5, 70syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
721, 2, 3, 4, 71lcvbr3 38547 . 2 (𝜑 → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑠𝑆 ((𝑇𝑠𝑠 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑠 = 𝑇𝑠 = (𝑇 𝑈))))))
7312, 69, 72mpbir2and 711 1 (𝜑𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  cin 3940  wss 3941  wpss 3942   class class class wbr 5144  cfv 6543  (class class class)co 7413  SubGrpcsubg 19074  LSSumclsm 19588  Abelcabl 19735  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  L clcv 38542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lcv 38543
This theorem is referenced by:  lcvexch  38563
  Copyright terms: Public domain W3C validator