Theorem limcmptdm 40662

Description: The domain of a maps-to function with a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmptdm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
limcmptdm.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
limcmptdm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
limcmptdm	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem limcmptdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmptdm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		limcmptdm.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	dmmptd 6257	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4		limcmptdm.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
5		limcrcl 24037	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
7	6	simp2d 1179	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
8	3, 7	eqsstr3d 3865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3798   ↦ cmpt 4952  dom cdm 5342  ⟶wf 6119  (class class class)co 6905  ℂcc 10250   lim_ℂ climc 24025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-pm 8125  df-limc 24029

This theorem is referenced by:  neglimc  40674  addlimc  40675  0ellimcdiv  40676  reclimc  40680