Theorem limcmptdm 45591

Description: The domain of a maps-to function with a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmptdm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
limcmptdm.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
limcmptdm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
limcmptdm	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem limcmptdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmptdm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		limcmptdm.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	dmmptd 6714	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4		limcmptdm.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
5		limcrcl 25924	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
7	6	simp2d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
8	3, 7	eqsstrrd 4035	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   lim_ℂ climc 25912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pm 8868  df-limc 25916

This theorem is referenced by:  neglimc  45603  addlimc  45604  0ellimcdiv  45605  reclimc  45609