Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcmptdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcmptdm 43883
Description: The domain of a maps-to function with a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmptdm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
limcmptdm.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
limcmptdm.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
Assertion
Ref Expression
limcmptdm (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem limcmptdm
StepHypRef Expression
1 limcmptdm.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2 limcmptdm.b . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
31, 2dmmptd 6647 . 2 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
4 limcmptdm.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
5 limcrcl 25241 . . . 4 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
76simp2d 1144 . 2 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
83, 7eqsstrrd 3984 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050   limβ„‚ climc 25229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pm 8769  df-limc 25233
This theorem is referenced by:  neglimc  43895  addlimc  43896  0ellimcdiv  43897  reclimc  43901
  Copyright terms: Public domain W3C validator