Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcmptdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcmptdm 45650
Description: The domain of a maps-to function with a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmptdm.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
limcmptdm.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
limcmptdm.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
limcmptdm (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem limcmptdm
StepHypRef Expression
1 limcmptdm.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2 limcmptdm.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
31, 2dmmptd 6713 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4 limcmptdm.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
5 limcrcl 25909 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
76simp2d 1144 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
83, 7eqsstrrd 4019 1 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  (class class class)co 7431  cc 11153   lim climc 25897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pm 8869  df-limc 25901
This theorem is referenced by:  neglimc  45662  addlimc  45663  0ellimcdiv  45664  reclimc  45668
  Copyright terms: Public domain W3C validator