Theorem limcrcl 25802

Description: Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limcrcl	⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))

Proof of Theorem limcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-limc 25794	. . 3 ⊢ limℂ = (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm ℂ), 𝑥 ∈ ℂ ↦ {𝑦 ∣ [(TopOpen‘ℂfld) / 𝑗](𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∪ {𝑥}) ↦ if(𝑧 = 𝑥, 𝑦, (𝑓‘𝑧))) ∈ (((𝑗 ↾t (dom 𝑓 ∪ {𝑥})) CnP 𝑗)‘𝑥)})
2	1	elmpocl 7587	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3		cnex 11087	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
4	3, 3	elpm2 8798	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
5	4	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
6		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
7	5, 6	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8	2, 7	sylib 218	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  {cab 2709  [wsbc 3736   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  ifcif 4472  {csn 4573   ↦ cmpt 5170  dom cdm 5614  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_pm cpm 8751  ℂcc 11004   ↾_t crest 17324  TopOpenctopn 17325  ℂ_fldccnfld 21291   CnP ccnp 23140   lim_ℂ climc 25790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-pm 8753  df-limc 25794

This theorem is referenced by:  limccl  25803  limcdif  25804  limcresi  25813  limcres  25814  limccnp  25819  limccnp2  25820  limcco  25821  limcun  25823  mullimc  45726  limccog  45730  mullimcf  45733  limcperiod  45738  limcmptdm  45743  neglimc  45755  addlimc  45756  0ellimcdiv  45757  reclimc  45761