MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcrcl 25615
Description: Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limcrcl (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))

Proof of Theorem limcrcl
Dummy variables 𝑓 𝑗 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-limc 25607 . . 3 limβ„‚ = (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚), π‘₯ ∈ β„‚ ↦ {𝑦 ∣ [(TopOpenβ€˜β„‚fld) / 𝑗](𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆͺ {π‘₯}) ↦ if(𝑧 = π‘₯, 𝑦, (π‘“β€˜π‘§))) ∈ (((𝑗 β†Ύt (dom 𝑓 βˆͺ {π‘₯})) CnP 𝑗)β€˜π‘₯)})
21elmpocl 7650 . 2 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
3 cnex 11193 . . . . 5 β„‚ ∈ V
43, 3elpm2 8870 . . . 4 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚))
54anbi1i 624 . . 3 ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
6 df-3an 1089 . . 3 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
75, 6bitr4i 277 . 2 ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
82, 7sylib 217 1 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  {cab 2709  [wsbc 3777   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑pm cpm 8823  β„‚cc 11110   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  β„‚fldccnfld 21144   CnP ccnp 22949   limβ„‚ climc 25603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-pm 8825  df-limc 25607
This theorem is referenced by:  limccl  25616  limcdif  25617  limcresi  25626  limcres  25627  limccnp  25632  limccnp2  25633  limcco  25634  limcun  25636  mullimc  44631  limccog  44635  mullimcf  44638  limcperiod  44643  limcmptdm  44650  neglimc  44662  addlimc  44663  0ellimcdiv  44664  reclimc  44668
  Copyright terms: Public domain W3C validator