MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcrcl 25391
Description: Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limcrcl (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))

Proof of Theorem limcrcl
Dummy variables 𝑓 𝑗 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-limc 25383 . . 3 limβ„‚ = (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚), π‘₯ ∈ β„‚ ↦ {𝑦 ∣ [(TopOpenβ€˜β„‚fld) / 𝑗](𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆͺ {π‘₯}) ↦ if(𝑧 = π‘₯, 𝑦, (π‘“β€˜π‘§))) ∈ (((𝑗 β†Ύt (dom 𝑓 βˆͺ {π‘₯})) CnP 𝑗)β€˜π‘₯)})
21elmpocl 7648 . 2 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
3 cnex 11191 . . . . 5 β„‚ ∈ V
43, 3elpm2 8868 . . . 4 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚))
54anbi1i 625 . . 3 ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
6 df-3an 1090 . . 3 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
75, 6bitr4i 278 . 2 ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
82, 7sylib 217 1 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  {cab 2710  [wsbc 3778   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944   CnP ccnp 22729   limβ„‚ climc 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-pm 8823  df-limc 25383
This theorem is referenced by:  limccl  25392  limcdif  25393  limcresi  25402  limcres  25403  limccnp  25408  limccnp2  25409  limcco  25410  limcun  25412  mullimc  44332  limccog  44336  mullimcf  44339  limcperiod  44344  limcmptdm  44351  neglimc  44363  addlimc  44364  0ellimcdiv  44365  reclimc  44369
  Copyright terms: Public domain W3C validator