MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcrcl 25924
Description: Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limcrcl (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))

Proof of Theorem limcrcl
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-limc 25916 . . 3 lim = (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm ℂ), 𝑥 ∈ ℂ ↦ {𝑦[(TopOpen‘ℂfld) / 𝑗](𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∪ {𝑥}) ↦ if(𝑧 = 𝑥, 𝑦, (𝑓𝑧))) ∈ (((𝑗t (dom 𝑓 ∪ {𝑥})) CnP 𝑗)‘𝑥)})
21elmpocl 7674 . 2 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3 cnex 11234 . . . . 5 ℂ ∈ V
43, 3elpm2 8913 . . . 4 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
54anbi1i 624 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
6 df-3an 1088 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
75, 6bitr4i 278 . 2 ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
82, 7sylib 218 1 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  {cab 2712  [wsbc 3791  cun 3961  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631  cmpt 5231  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  pm cpm 8866  cc 11151  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382   CnP ccnp 23249   lim climc 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pm 8868  df-limc 25916
This theorem is referenced by:  limccl  25925  limcdif  25926  limcresi  25935  limcres  25936  limccnp  25941  limccnp2  25942  limcco  25943  limcun  25945  mullimc  45572  limccog  45576  mullimcf  45579  limcperiod  45584  limcmptdm  45591  neglimc  45603  addlimc  45604  0ellimcdiv  45605  reclimc  45609
  Copyright terms: Public domain W3C validator