Theorem limcrcl 25829

Description: Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limcrcl	⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))

Proof of Theorem limcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-limc 25821	. . 3 ⊢ limℂ = (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm ℂ), 𝑥 ∈ ℂ ↦ {𝑦 ∣ [(TopOpen‘ℂfld) / 𝑗](𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∪ {𝑥}) ↦ if(𝑧 = 𝑥, 𝑦, (𝑓‘𝑧))) ∈ (((𝑗 ↾t (dom 𝑓 ∪ {𝑥})) CnP 𝑗)‘𝑥)})
2	1	elmpocl 7597	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3		cnex 11105	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
4	3, 3	elpm2 8810	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
5	4	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
6		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
7	5, 6	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8	2, 7	sylib 218	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  {cab 2712  [wsbc 3738   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ifcif 4477  {csn 4578   ↦ cmpt 5177  dom cdm 5622  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_pm cpm 8762  ℂcc 11022   ↾_t crest 17338  TopOpenctopn 17339  ℂ_fldccnfld 21307   CnP ccnp 23167   lim_ℂ climc 25817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-pm 8764  df-limc 25821

This theorem is referenced by:  limccl  25830  limcdif  25831  limcresi  25840  limcres  25841  limccnp  25846  limccnp2  25847  limcco  25848  limcun  25850  mullimc  45804  limccog  45808  mullimcf  45811  limcperiod  45816  limcmptdm  45821  neglimc  45833  addlimc  45834  0ellimcdiv  45835  reclimc  45839