MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcrcl 25910
Description: Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limcrcl (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))

Proof of Theorem limcrcl
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-limc 25902 . . 3 lim = (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm ℂ), 𝑥 ∈ ℂ ↦ {𝑦[(TopOpen‘ℂfld) / 𝑗](𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∪ {𝑥}) ↦ if(𝑧 = 𝑥, 𝑦, (𝑓𝑧))) ∈ (((𝑗t (dom 𝑓 ∪ {𝑥})) CnP 𝑗)‘𝑥)})
21elmpocl 7675 . 2 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3 cnex 11237 . . . . 5 ℂ ∈ V
43, 3elpm2 8915 . . . 4 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
54anbi1i 624 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
6 df-3an 1088 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
75, 6bitr4i 278 . 2 ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
82, 7sylib 218 1 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2107  {cab 2713  [wsbc 3787  cun 3948  wss 3950  ifcif 4524  {csn 4625  cmpt 5224  dom cdm 5684  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  pm cpm 8868  cc 11154  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21365   CnP ccnp 23234   lim climc 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-pm 8870  df-limc 25902
This theorem is referenced by:  limccl  25911  limcdif  25912  limcresi  25921  limcres  25922  limccnp  25927  limccnp2  25928  limcco  25929  limcun  25931  mullimc  45636  limccog  45640  mullimcf  45643  limcperiod  45648  limcmptdm  45655  neglimc  45667  addlimc  45668  0ellimcdiv  45669  reclimc  45673
  Copyright terms: Public domain W3C validator