Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reclimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclimc 45673
Description: Limit of the reciprocal of a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
reclimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
reclimc.g 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
reclimc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
reclimc.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
reclimc.cne0 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
reclimc (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem reclimc
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵))
2 eqid 2736 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
3 eqid 2736 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4 limccl 25911 . . . . . . 7 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
5 reclimc.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
64, 5sselid 3980 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 reclimc.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
98eldifad 3962 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
107, 9subcld 11621 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
119, 7mulcld 11282 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12 eldifsni 4789 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ≠ 0)
138, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
14 reclimc.cne0 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ≠ 0)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
169, 7, 13, 15mulne0d 11916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ≠ 0)
1716neneqd 2944 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) = 0)
18 elsng 4639 . . . . . . 7 ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
1911, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
2017, 19mtbird 325 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) ∈ {0})
2111, 20eldifd 3961 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
23 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐵)
24 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵))
259negcld 11608 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
26 reclimc.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2726, 9, 5limcmptdm 45655 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
28 limcrcl 25910 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
295, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
3029simp3d 1144 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3122, 27, 6, 30constlimc 45644 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝐶) lim 𝐷))
3226, 23, 9, 5neglimc 45667 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐶 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ -𝐵) lim 𝐷))
3322, 23, 24, 7, 25, 31, 32addlimc 45668 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) lim 𝐷))
346negidd 11611 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) = 0)
357, 9negsubd 11627 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 + -𝐵) = (𝐶𝐵))
3635mpteq2dva 5241 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)))
3736oveq1d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)) lim 𝐷))
3833, 34, 373eltr3d 2854 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)) lim 𝐷))
3926, 22, 2, 9, 7, 5, 31mullimc 45636 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) lim 𝐷))
406, 6, 14, 14mulne0d 11916 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≠ 0)
411, 2, 3, 10, 21, 38, 39, 400ellimcdiv 45669 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) lim 𝐷))
42 1cnd 11257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4342, 9, 42, 7, 13, 15divsubdivd 12089 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)) = (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)))
447mullidd 11280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
459mullidd 11280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
4644, 45oveq12d 7450 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) = (𝐶𝐵))
4746oveq1d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4843, 47eqtr2d 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶)) = ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
4948mpteq2dva 5241 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))))
5049oveq1d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) lim 𝐷))
5141, 50eleqtrd 2842 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) lim 𝐷))
52 reclimc.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
53 eqid 2736 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
549, 13reccld 12037 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
556, 14reccld 12037 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
5652, 53, 27, 54, 30, 55ellimcabssub0 45637 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) lim 𝐷)))
5751, 56mpbird 257 1 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  cdif 3947  wss 3950  {csn 4625  cmpt 5224  dom cdm 5684  wf 6556  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921   lim climc 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cnp 23237  df-xms 24331  df-ms 24332  df-limc 25902
This theorem is referenced by:  divlimc  45676  fourierdlem62  46188
  Copyright terms: Public domain W3C validator