Theorem reclimc 41941

Description: Limit of the reciprocal of a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
reclimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
reclimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
reclimc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
reclimc.cne0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reclimc	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem reclimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵))
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
3		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4		limccl 24475	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
5		reclimc.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
6	4, 5	sseldi 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		reclimc.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
9	8	eldifad 3950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	subcld 10999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
11	9, 7	mulcld 10663	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12		eldifsni 4724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ≠ 0)
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
14		reclimc.cne0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
15	14	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
16	9, 7, 13, 15	mulne0d 11294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ≠ 0)
17	16	neneqd 3023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) = 0)
18		elsng 4583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
19	11, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
20	17, 19	mtbird 327	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) ∈ {0})
21	11, 20	eldifd 3949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
23		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
24		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵))
25	9	negcld 10986	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
26		reclimc.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
27	26, 9, 5	limcmptdm 41923	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
28		limcrcl 24474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
29	5, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
30	29	simp3d 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	22, 27, 6, 30	constlimc 41912	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) limℂ 𝐷))
32	26, 23, 9, 5	neglimc 41935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) limℂ 𝐷))
33	22, 23, 24, 7, 25, 31, 32	addlimc 41936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) limℂ 𝐷))
34	6	negidd 10989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) = 0)
35	7, 9	negsubd 11005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 + -𝐵) = (𝐶 − 𝐵))
36	35	mpteq2dva 5163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)))
37	36	oveq1d 7173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) limℂ 𝐷))
38	33, 34, 37	3eltr3d 2929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) limℂ 𝐷))
39	26, 22, 2, 9, 7, 5, 31	mullimc 41904	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) limℂ 𝐷))
40	6, 6, 14, 14	mulne0d 11294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≠ 0)
41	1, 2, 3, 10, 21, 38, 39, 40	0ellimcdiv 41937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) limℂ 𝐷))
42		1cnd 10638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
43	42, 9, 42, 7, 13, 15	divsubdivd 11463	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)) = (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)))
44	7	mulid2d 10661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
45	9	mulid2d 10661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
46	44, 45	oveq12d 7176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
47	46	oveq1d 7173	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
48	43, 47	eqtr2d 2859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)) = ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
49	48	mpteq2dva 5163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))))
50	49	oveq1d 7173	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
51	41, 50	eleqtrd 2917	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
52		reclimc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
53		eqid 2823	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
54	9, 13	reccld 11411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
55	6, 14	reccld 11411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
56	52, 53, 27, 54, 30, 55	ellimcabssub0 41905	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷)))
57	51, 56	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  {csn 4569   ↦ cmpt 5148  dom cdm 5557  ⟶wf 6353  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   − cmin 10872  -cneg 10873   / cdiv 11299   lim_ℂ climc 24462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-rest 16698  df-topn 16699  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cnp 21838  df-xms 22932  df-ms 22933  df-limc 24466

This theorem is referenced by:  divlimc  41944  fourierdlem62  42460