Theorem reclimc 43884

Description: Limit of the reciprocal of a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
reclimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
reclimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
reclimc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
reclimc.cne0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reclimc	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem reclimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵))
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4		limccl 25239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
5		reclimc.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
6	4, 5	sselid 3942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		reclimc.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
9	8	eldifad 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	subcld 11512	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
11	9, 7	mulcld 11175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12		eldifsni 4750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ≠ 0)
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
14		reclimc.cne0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
15	14	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
16	9, 7, 13, 15	mulne0d 11807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ≠ 0)
17	16	neneqd 2948	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) = 0)
18		elsng 4600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
19	11, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
20	17, 19	mtbird 324	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) ∈ {0})
21	11, 20	eldifd 3921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
23		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
24		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵))
25	9	negcld 11499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
26		reclimc.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
27	26, 9, 5	limcmptdm 43866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
28		limcrcl 25238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
29	5, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
30	29	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	22, 27, 6, 30	constlimc 43855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) limℂ 𝐷))
32	26, 23, 9, 5	neglimc 43878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) limℂ 𝐷))
33	22, 23, 24, 7, 25, 31, 32	addlimc 43879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) limℂ 𝐷))
34	6	negidd 11502	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) = 0)
35	7, 9	negsubd 11518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 + -𝐵) = (𝐶 − 𝐵))
36	35	mpteq2dva 5205	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)))
37	36	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) limℂ 𝐷))
38	33, 34, 37	3eltr3d 2852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) limℂ 𝐷))
39	26, 22, 2, 9, 7, 5, 31	mullimc 43847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) limℂ 𝐷))
40	6, 6, 14, 14	mulne0d 11807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≠ 0)
41	1, 2, 3, 10, 21, 38, 39, 40	0ellimcdiv 43880	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) limℂ 𝐷))
42		1cnd 11150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
43	42, 9, 42, 7, 13, 15	divsubdivd 11976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)) = (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)))
44	7	mulid2d 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
45	9	mulid2d 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
46	44, 45	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
47	46	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
48	43, 47	eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)) = ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
49	48	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))))
50	49	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
51	41, 50	eleqtrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
52		reclimc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
53		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
54	9, 13	reccld 11924	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
55	6, 14	reccld 11924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
56	52, 53, 27, 54, 30, 55	ellimcabssub0 43848	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷)))
57	51, 56	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  {csn 4586   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812   lim_ℂ climc 25226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230

This theorem is referenced by:  divlimc  43887  fourierdlem62  44399