Theorem reclimc 46662

Description: Limit of the reciprocal of a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
reclimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
reclimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
reclimc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
reclimc.cne0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reclimc	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem reclimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵))
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4		limccl 26195	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
5		reclimc.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
6	4, 5	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		reclimc.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
9	8	eldifad 3911	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	subcld 11669	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
11	9, 7	mulcld 11329	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12		eldifsni 4753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ≠ 0)
13	8, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
14		reclimc.cne0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
15	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
16	9, 7, 13, 15	mulne0d 11968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ≠ 0)
17	16	neneqd 2961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) = 0)
18		elsng 4598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
19	11, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
20	17, 19	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) ∈ {0})
21	11, 20	eldifd 3910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
23		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
24		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵))
25	9	negcld 11656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
26		reclimc.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
27	26, 9, 5	limcmptdm 46644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
28		limcrcl 26194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
29	5, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
30	29	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	22, 27, 6, 30	constlimc 46635	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) limℂ 𝐷))
32	26, 23, 9, 5	neglimc 46656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) limℂ 𝐷))
33	22, 23, 24, 7, 25, 31, 32	addlimc 46657	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) limℂ 𝐷))
34	6	negidd 11659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) = 0)
35	7, 9	negsubd 11675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 + -𝐵) = (𝐶 − 𝐵))
36	35	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)))
37	36	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) limℂ 𝐷))
38	33, 34, 37	3eltr3d 2875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) limℂ 𝐷))
39	26, 22, 2, 9, 7, 5, 31	mullimc 46627	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) limℂ 𝐷))
40	6, 6, 14, 14	mulne0d 11968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≠ 0)
41	1, 2, 3, 10, 21, 38, 39, 40	0ellimcdiv 46658	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) limℂ 𝐷))
42		1cnd 11302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
43	42, 9, 42, 7, 13, 15	divsubdivd 12138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)) = (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)))
44	7	mullidd 11327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
45	9	mullidd 11327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
46	44, 45	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
47	46	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
48	43, 47	eqtr2d 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)) = ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
49	48	mpteq2dva 5198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))))
50	49	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
51	41, 50	eleqtrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
52		reclimc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
53		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
54	9, 13	reccld 12086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
55	6, 14	reccld 12086	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
56	52, 53, 27, 54, 30, 55	ellimcabssub0 46628	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷)))
57	51, 56	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973   lim_ℂ climc 26182

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-rest 17593  df-topn 17594  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cnp 23546  df-xms 24639  df-ms 24640  df-limc 26186

This theorem is used by:  divlimc  46665  fourierdlem62  47177