Theorem reclimc 45651

Description: Limit of the reciprocal of a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
reclimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
reclimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
reclimc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
reclimc.cne0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reclimc	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem reclimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵))
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4		limccl 25776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
5		reclimc.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
6	4, 5	sselid 3944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		reclimc.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
9	8	eldifad 3926	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	subcld 11533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
11	9, 7	mulcld 11194	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12		eldifsni 4754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ≠ 0)
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
14		reclimc.cne0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
16	9, 7, 13, 15	mulne0d 11830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ≠ 0)
17	16	neneqd 2930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) = 0)
18		elsng 4603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
19	11, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
20	17, 19	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) ∈ {0})
21	11, 20	eldifd 3925	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
23		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
24		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵))
25	9	negcld 11520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
26		reclimc.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
27	26, 9, 5	limcmptdm 45633	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
28		limcrcl 25775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
29	5, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
30	29	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	22, 27, 6, 30	constlimc 45622	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) limℂ 𝐷))
32	26, 23, 9, 5	neglimc 45645	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) limℂ 𝐷))
33	22, 23, 24, 7, 25, 31, 32	addlimc 45646	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) limℂ 𝐷))
34	6	negidd 11523	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) = 0)
35	7, 9	negsubd 11539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 + -𝐵) = (𝐶 − 𝐵))
36	35	mpteq2dva 5200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)))
37	36	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) limℂ 𝐷))
38	33, 34, 37	3eltr3d 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) limℂ 𝐷))
39	26, 22, 2, 9, 7, 5, 31	mullimc 45614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) limℂ 𝐷))
40	6, 6, 14, 14	mulne0d 11830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≠ 0)
41	1, 2, 3, 10, 21, 38, 39, 40	0ellimcdiv 45647	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) limℂ 𝐷))
42		1cnd 11169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
43	42, 9, 42, 7, 13, 15	divsubdivd 12003	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)) = (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)))
44	7	mullidd 11192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
45	9	mullidd 11192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
46	44, 45	oveq12d 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
47	46	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
48	43, 47	eqtr2d 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)) = ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
49	48	mpteq2dva 5200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))))
50	49	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
51	41, 50	eleqtrd 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
52		reclimc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
53		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
54	9, 13	reccld 11951	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
55	6, 14	reccld 11951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
56	52, 53, 27, 54, 30, 55	ellimcabssub0 45615	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷)))
57	51, 56	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  {csn 4589   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835   lim_ℂ climc 25763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cnp 23115  df-xms 24208  df-ms 24209  df-limc 25767

This theorem is referenced by:  divlimc  45654  fourierdlem62  46166