Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reclimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclimc 43148
Description: Limit of the reciprocal of a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
reclimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
reclimc.g 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
reclimc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
reclimc.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
reclimc.cne0 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
reclimc (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem reclimc
StepHypRef Expression
1 eqid 2739 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵))
2 eqid 2739 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
3 eqid 2739 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4 limccl 25020 . . . . . . 7 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
5 reclimc.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
64, 5sselid 3923 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 reclimc.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
98eldifad 3903 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
107, 9subcld 11315 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
119, 7mulcld 10979 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12 eldifsni 4728 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ≠ 0)
138, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
14 reclimc.cne0 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ≠ 0)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
169, 7, 13, 15mulne0d 11610 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ≠ 0)
1716neneqd 2949 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) = 0)
18 elsng 4580 . . . . . . 7 ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
1911, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
2017, 19mtbird 324 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) ∈ {0})
2111, 20eldifd 3902 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22 eqid 2739 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
23 eqid 2739 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐵)
24 eqid 2739 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵))
259negcld 11302 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
26 reclimc.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2726, 9, 5limcmptdm 43130 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
28 limcrcl 25019 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
295, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
3029simp3d 1142 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3122, 27, 6, 30constlimc 43119 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝐶) lim 𝐷))
3226, 23, 9, 5neglimc 43142 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐶 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ -𝐵) lim 𝐷))
3322, 23, 24, 7, 25, 31, 32addlimc 43143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) lim 𝐷))
346negidd 11305 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) = 0)
357, 9negsubd 11321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 + -𝐵) = (𝐶𝐵))
3635mpteq2dva 5178 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)))
3736oveq1d 7283 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)) lim 𝐷))
3833, 34, 373eltr3d 2854 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)) lim 𝐷))
3926, 22, 2, 9, 7, 5, 31mullimc 43111 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) lim 𝐷))
406, 6, 14, 14mulne0d 11610 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≠ 0)
411, 2, 3, 10, 21, 38, 39, 400ellimcdiv 43144 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) lim 𝐷))
42 1cnd 10954 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4342, 9, 42, 7, 13, 15divsubdivd 11779 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)) = (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)))
447mulid2d 10977 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
459mulid2d 10977 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
4644, 45oveq12d 7286 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) = (𝐶𝐵))
4746oveq1d 7283 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4843, 47eqtr2d 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶)) = ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
4948mpteq2dva 5178 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))))
5049oveq1d 7283 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) lim 𝐷))
5141, 50eleqtrd 2842 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) lim 𝐷))
52 reclimc.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
53 eqid 2739 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
549, 13reccld 11727 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
556, 14reccld 11727 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
5652, 53, 27, 54, 30, 55ellimcabssub0 43112 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) lim 𝐷)))
5751, 56mpbird 256 1 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  cdif 3888  wss 3891  {csn 4566  cmpt 5161  dom cdm 5588  wf 6426  (class class class)co 7268  cc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860  cmin 11188  -cneg 11189   / cdiv 11615   lim climc 25007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-fz 13222  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-struct 16829  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-rest 17114  df-topn 17115  df-topgen 17135  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-cnfld 20579  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cnp 22360  df-xms 23454  df-ms 23455  df-limc 25011
This theorem is referenced by:  divlimc  43151  fourierdlem62  43663
  Copyright terms: Public domain W3C validator