Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reclimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclimc 40775
Description: Limit of the reciprocal of a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
reclimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
reclimc.g 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
reclimc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
reclimc.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
reclimc.cne0 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
reclimc (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem reclimc
StepHypRef Expression
1 eqid 2777 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵))
2 eqid 2777 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
3 eqid 2777 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4 limccl 24076 . . . . . . 7 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
5 reclimc.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
64, 5sseldi 3818 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
76adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 reclimc.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
98eldifad 3803 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
107, 9subcld 10734 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
119, 7mulcld 10397 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12 eldifsni 4553 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ≠ 0)
138, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
14 reclimc.cne0 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ≠ 0)
1514adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
169, 7, 13, 15mulne0d 11027 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ≠ 0)
1716neneqd 2973 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) = 0)
18 elsng 4411 . . . . . . 7 ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
1911, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
2017, 19mtbird 317 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) ∈ {0})
2111, 20eldifd 3802 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22 eqid 2777 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
23 eqid 2777 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐵)
24 eqid 2777 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵))
259negcld 10721 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
26 reclimc.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2726, 9, 5limcmptdm 40757 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
28 limcrcl 24075 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
295, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
3029simp3d 1135 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3122, 27, 6, 30constlimc 40746 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝐶) lim 𝐷))
3226, 23, 9, 5neglimc 40769 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐶 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ -𝐵) lim 𝐷))
3322, 23, 24, 7, 25, 31, 32addlimc 40770 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) lim 𝐷))
346negidd 10724 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) = 0)
357, 9negsubd 10740 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 + -𝐵) = (𝐶𝐵))
3635mpteq2dva 4979 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)))
3736oveq1d 6937 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)) lim 𝐷))
3833, 34, 373eltr3d 2872 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)) lim 𝐷))
3926, 22, 2, 9, 7, 5, 31mullimc 40738 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) lim 𝐷))
406, 6, 14, 14mulne0d 11027 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≠ 0)
411, 2, 3, 10, 21, 38, 39, 400ellimcdiv 40771 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) lim 𝐷))
42 1cnd 10371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4342, 9, 42, 7, 13, 15divsubdivd 11196 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)) = (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)))
447mulid2d 10395 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
459mulid2d 10395 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
4644, 45oveq12d 6940 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) = (𝐶𝐵))
4746oveq1d 6937 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4843, 47eqtr2d 2814 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶)) = ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
4948mpteq2dva 4979 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))))
5049oveq1d 6937 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) lim 𝐷))
5141, 50eleqtrd 2860 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) lim 𝐷))
52 reclimc.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
53 eqid 2777 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
549, 13reccld 11144 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
556, 14reccld 11144 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
5652, 53, 27, 54, 30, 55ellimcabssub0 40739 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) lim 𝐷)))
5751, 56mpbird 249 1 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  cdif 3788  wss 3791  {csn 4397  cmpt 4965  dom cdm 5355  wf 6131  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  cmin 10606  -cneg 10607   / cdiv 11032   lim climc 24063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-rest 16469  df-topn 16470  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cnp 21440  df-xms 22533  df-ms 22534  df-limc 24067
This theorem is referenced by:  divlimc  40778  fourierdlem62  41294
  Copyright terms: Public domain W3C validator