Theorem reclimc 44827

Description: Limit of the reciprocal of a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
reclimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
reclimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
reclimc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
reclimc.cne0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reclimc	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem reclimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵))
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4		limccl 25723	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
5		reclimc.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
6	4, 5	sselid 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8		reclimc.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
9	8	eldifad 3960	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	subcld 11578	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
11	9, 7	mulcld 11241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12		eldifsni 4793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ≠ 0)
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
14		reclimc.cne0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
16	9, 7, 13, 15	mulne0d 11873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ≠ 0)
17	16	neneqd 2944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) = 0)
18		elsng 4642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
19	11, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
20	17, 19	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) ∈ {0})
21	11, 20	eldifd 3959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
23		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
24		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵))
25	9	negcld 11565	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
26		reclimc.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
27	26, 9, 5	limcmptdm 44809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
28		limcrcl 25722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
29	5, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
30	29	simp3d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	22, 27, 6, 30	constlimc 44798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) limℂ 𝐷))
32	26, 23, 9, 5	neglimc 44821	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) limℂ 𝐷))
33	22, 23, 24, 7, 25, 31, 32	addlimc 44822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) limℂ 𝐷))
34	6	negidd 11568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) = 0)
35	7, 9	negsubd 11584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 + -𝐵) = (𝐶 − 𝐵))
36	35	mpteq2dva 5248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)))
37	36	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) limℂ 𝐷))
38	33, 34, 37	3eltr3d 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) limℂ 𝐷))
39	26, 22, 2, 9, 7, 5, 31	mullimc 44790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) limℂ 𝐷))
40	6, 6, 14, 14	mulne0d 11873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≠ 0)
41	1, 2, 3, 10, 21, 38, 39, 40	0ellimcdiv 44823	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) limℂ 𝐷))
42		1cnd 11216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
43	42, 9, 42, 7, 13, 15	divsubdivd 12042	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)) = (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)))
44	7	mullidd 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
45	9	mullidd 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
46	44, 45	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
47	46	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
48	43, 47	eqtr2d 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶)) = ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
49	48	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))))
50	49	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) limℂ 𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
51	41, 50	eleqtrd 2834	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷))
52		reclimc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
53		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
54	9, 13	reccld 11990	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
55	6, 14	reccld 11990	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
56	52, 53, 27, 54, 30, 55	ellimcabssub0 44791	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) limℂ 𝐷)))
57	51, 56	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ⟶wf 6539  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   − cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878   lim_ℂ climc 25710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21224  df-xmet 21225  df-met 21226  df-bl 21227  df-mopn 21228  df-cnfld 21233  df-top 22715  df-topon 22732  df-topsp 22754  df-bases 22768  df-cnp 23051  df-xms 24145  df-ms 24146  df-limc 25714

This theorem is referenced by:  divlimc  44830  fourierdlem62  45342