Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | limccl 25039 |
. . . 4
⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆
ℂ |
2 | | addlimc.e |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷)) |
3 | 1, 2 | sselid 3919 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ) |
4 | | limccl 25039 |
. . . 4
⊢ (𝐺 limℂ 𝐷) ⊆
ℂ |
5 | | addlimc.i |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷)) |
6 | 4, 5 | sselid 3919 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ) |
7 | 3, 6 | addcld 10994 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ) |
8 | | addlimc.b |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) |
9 | | addlimc.f |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) |
10 | 8, 9 | fmptd 6988 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ) |
11 | 9, 8, 2 | limcmptdm 43176 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ) |
12 | | limcrcl 25038 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) |
13 | 2, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) |
14 | 13 | simp3d 1143 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ) |
15 | 10, 11, 14 | ellimc3 25043 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+
∃𝑎 ∈
ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧)))) |
16 | 2, 15 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+
∃𝑎 ∈
ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧))) |
17 | 16 | simprd 496 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+
∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧)) |
18 | | rphalfcl 12757 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ (𝑦 / 2) ∈
ℝ+) |
19 | | breq2 5078 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))) |
20 | 19 | imbi2d 341 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → (((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ↔ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))) |
21 | 20 | rexralbidv 3230 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))) |
22 | 21 | rspccva 3560 |
. . . . . 6
⊢
((∀𝑧 ∈
ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) →
∃𝑎 ∈
ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))) |
23 | 17, 18, 22 | syl2an 596 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
∃𝑎 ∈
ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))) |
24 | | addlimc.c |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) |
25 | | addlimc.g |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) |
26 | 24, 25 | fmptd 6988 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ) |
27 | 26, 11, 14 | ellimc3 25043 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ (𝐼 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+
∃𝑏 ∈
ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧)))) |
28 | 5, 27 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+
∃𝑏 ∈
ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧))) |
29 | 28 | simprd 496 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+
∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧)) |
30 | | breq2 5078 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) |
31 | 30 | imbi2d 341 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → (((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ↔ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) |
32 | 31 | rexralbidv 3230 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → (∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) |
33 | 32 | rspccva 3560 |
. . . . . 6
⊢
((∀𝑧 ∈
ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) →
∃𝑏 ∈
ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) |
34 | 29, 18, 33 | syl2an 596 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
∃𝑏 ∈
ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) |
35 | | reeanv 3294 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑎 ∈
ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) |
36 | 23, 34, 35 | sylanbrc 583 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
∃𝑎 ∈
ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) |
37 | | ifcl 4504 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈
ℝ+) |
38 | 37 | 3ad2ant2 1133 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈
ℝ+) |
39 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑣(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) |
40 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑣(𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) |
41 | | nfra1 3144 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑣∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) |
42 | | nfra1 3144 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑣∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) |
43 | 41, 42 | nfan 1902 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑣(∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) |
44 | 39, 40, 43 | nf3an 1904 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑣((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) |
45 | | simp11l 1283 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝜑) |
46 | | simp2 1136 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣 ∈ 𝐴) |
47 | 45, 46 | jca 512 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) |
48 | | rpre 12738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ 𝑦 ∈
ℝ) |
49 | 48 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈
ℝ) |
50 | 49 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ) |
51 | 50 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑦 ∈ ℝ) |
52 | | simp13l 1287 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))) |
53 | | simp3l 1200 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣 ≠ 𝐷) |
54 | 11 | sselda 3921 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ ℂ) |
55 | 45, 46, 54 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣 ∈ ℂ) |
56 | 45, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝐷 ∈ ℂ) |
57 | 55, 56 | subcld 11332 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣 − 𝐷) ∈ ℂ) |
58 | 57 | abscld 15148 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣 − 𝐷)) ∈ ℝ) |
59 | 38 | rpred 12772 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ) |
60 | 59 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ) |
61 | | simpl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+) |
62 | 61 | rpred 12772 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ) |
63 | 62 | 3ad2ant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑎 ∈ ℝ) |
64 | 63 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ) |
65 | | simp3r 1201 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) |
66 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ+) |
67 | 66 | rpred 12772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ) |
68 | | min1 12923 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎) |
69 | 62, 67, 68 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎) |
70 | 69 | 3ad2ant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎) |
71 | 70 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎) |
72 | 58, 60, 64, 65, 71 | ltletrd 11135 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) |
73 | 53, 72 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎)) |
74 | | rsp 3131 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∀𝑣 ∈
𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) → (𝑣 ∈ 𝐴 → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))) |
75 | 52, 46, 73, 74 | syl3c 66 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) |
76 | 47, 51, 75 | jca31 515 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))) |
77 | | simp13r 1288 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) |
78 | 67 | 3ad2ant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑏 ∈ ℝ) |
79 | 78 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℝ) |
80 | | min2 12924 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏) |
81 | 62, 67, 80 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏) |
82 | 81 | 3ad2ant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏) |
83 | 82 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏) |
84 | 58, 60, 79, 65, 83 | ltletrd 11135 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) |
85 | 53, 84 | jca 512 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏)) |
86 | | rsp 3131 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∀𝑣 ∈
𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝑣 ∈ 𝐴 → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) |
87 | 77, 46, 85, 86 | syl3c 66 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) |
88 | 8, 24 | addcld 10994 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) |
89 | | addlimc.h |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) |
90 | 88, 89 | fmptd 6988 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶ℂ) |
91 | 90 | ffvelrnda 6961 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑣) ∈ ℂ) |
92 | 91 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐻‘𝑣) ∈ ℂ) |
93 | | simp-4l 780 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝜑) |
94 | 93, 7 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ) |
95 | 92, 94 | subcld 11332 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) ∈ ℂ) |
96 | 95 | abscld 15148 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) ∈ ℝ) |
97 | 10 | ffvelrnda 6961 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑣) ∈ ℂ) |
98 | 97 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐹‘𝑣) ∈ ℂ) |
99 | 93, 3 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝐸 ∈ ℂ) |
100 | 98, 99 | subcld 11332 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐹‘𝑣) − 𝐸) ∈ ℂ) |
101 | 100 | abscld 15148 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) ∈ ℝ) |
102 | 26 | ffvelrnda 6961 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) ∈ ℂ) |
103 | 102 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐺‘𝑣) ∈ ℂ) |
104 | 93, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝐼 ∈ ℂ) |
105 | 103, 104 | subcld 11332 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐺‘𝑣) − 𝐼) ∈ ℂ) |
106 | 105 | abscld 15148 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) ∈ ℝ) |
107 | 101, 106 | readdcld 11004 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼))) ∈ ℝ) |
108 | | simpllr 773 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ) |
109 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) |
110 | | nfmpt1 5182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) |
111 | 89, 110 | nfcxfr 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑥𝐻 |
112 | | nfcv 2907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑥𝑣 |
113 | 111, 112 | nffv 6784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑣) |
114 | | nfmpt1 5182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) |
115 | 9, 114 | nfcxfr 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑥𝐹 |
116 | 115, 112 | nffv 6784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑣) |
117 | | nfcv 2907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑥
+ |
118 | | nfmpt1 5182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) |
119 | 25, 118 | nfcxfr 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑥𝐺 |
120 | 119, 112 | nffv 6784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑣) |
121 | 116, 117,
120 | nfov 7305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣)) |
122 | 113, 121 | nfeq 2920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣)) |
123 | 109, 122 | nfim 1899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣))) |
124 | | eleq1w 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑣 ∈ 𝐴)) |
125 | 124 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))) |
126 | | fveq2 6774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑣)) |
127 | | fveq2 6774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑣)) |
128 | | fveq2 6774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑣)) |
129 | 127, 128 | oveq12d 7293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣))) |
130 | 126, 129 | eqeq12d 2754 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐻‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣)))) |
131 | 125, 130 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣))))) |
132 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
133 | 89 | fvmpt2 6886 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐻‘𝑥) = (𝐵 + 𝐶)) |
134 | 132, 88, 133 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = (𝐵 + 𝐶)) |
135 | 9 | fvmpt2 6886 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵) |
136 | 132, 8, 135 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵) |
137 | 136 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = (𝐹‘𝑥)) |
138 | 25 | fvmpt2 6886 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) = 𝐶) |
139 | 132, 24, 138 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = 𝐶) |
140 | 139 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 = (𝐺‘𝑥)) |
141 | 137, 140 | oveq12d 7293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) |
142 | 134, 141 | eqtrd 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) |
143 | 123, 131,
142 | chvarfv 2233 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣))) |
144 | 143 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐻‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣))) |
145 | 144 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣)) − (𝐸 + 𝐼))) |
146 | 98, 103, 99, 104 | addsub4d 11379 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣)) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹‘𝑣) − 𝐸) + ((𝐺‘𝑣) − 𝐼))) |
147 | 145, 146 | eqtrd 2778 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹‘𝑣) − 𝐸) + ((𝐺‘𝑣) − 𝐼))) |
148 | 147 | fveq2d 6778 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) = (abs‘(((𝐹‘𝑣) − 𝐸) + ((𝐺‘𝑣) − 𝐼)))) |
149 | 100, 105 | abstrid 15168 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘(((𝐹‘𝑣) − 𝐸) + ((𝐺‘𝑣) − 𝐼))) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)))) |
150 | 148, 149 | eqbrtrd 5096 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)))) |
151 | | simplr 766 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) |
152 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) |
153 | 101, 106,
108, 151, 152 | lt2halvesd 12221 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼))) < 𝑦) |
154 | 96, 107, 108, 150, 153 | lelttrd 11133 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦) |
155 | 76, 87, 154 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦) |
156 | 155 | 3exp 1118 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → (𝑣 ∈ 𝐴 → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))) |
157 | 44, 156 | ralrimi 3141 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)) |
158 | | brimralrspcev 5135 |
. . . . . . 7
⊢
((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧
∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)) |
159 | 38, 157, 158 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)) |
160 | 159 | 3exp 1118 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑏 ∈
ℝ+) → ((∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))) |
161 | 160 | rexlimdvv 3222 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
(∃𝑎 ∈
ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))) |
162 | 36, 161 | mpd 15 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
∃𝑤 ∈
ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)) |
163 | 162 | ralrimiva 3103 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+
∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)) |
164 | 90, 11, 14 | ellimc3 25043 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷) ↔ ((𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+
∃𝑤 ∈
ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))) |
165 | 7, 163, 164 | mpbir2and 710 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷)) |