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Theorem addlimc 43896
Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlimc.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
addlimc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
addlimc.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))
addlimc.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
addlimc.c ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
addlimc.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
addlimc.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
Assertion
Ref Expression
addlimc (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐷))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem addlimc
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25242 . . . 4 (𝐹 limβ„‚ 𝐷) βŠ† β„‚
2 addlimc.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
31, 2sselid 3943 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
4 limccl 25242 . . . 4 (𝐺 limβ„‚ 𝐷) βŠ† β„‚
5 addlimc.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
64, 5sselid 3943 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„‚)
73, 6addcld 11175 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐼) ∈ β„‚)
8 addlimc.b . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
9 addlimc.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
108, 9fmptd 7063 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
119, 8, 2limcmptdm 43883 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
12 limcrcl 25241 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
132, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
1413simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
1510, 11, 14ellimc3 25246 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧))))
162, 15mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧)))
1716simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧))
18 rphalfcl 12943 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
19 breq2 5110 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦 / 2) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
2019imbi2d 341 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / 2) β†’ (((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧) ↔ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
2120rexralbidv 3215 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑦 / 2) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
2221rspccva 3581 . . . . . 6 ((βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
2317, 18, 22syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
24 addlimc.c . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
25 addlimc.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
2624, 25fmptd 7063 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
2726, 11, 14ellimc3 25246 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝐼 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧))))
285, 27mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧)))
2928simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧))
30 breq2 5110 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦 / 2) β†’ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
3130imbi2d 341 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / 2) β†’ (((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧) ↔ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3231rexralbidv 3215 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑦 / 2) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3332rspccva 3581 . . . . . 6 ((βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
3429, 18, 33syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
35 reeanv 3218 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3623, 34, 35sylanbrc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
37 ifcl 4532 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ+)
38373ad2ant2 1135 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ+)
39 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑣(πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
40 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑣(π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)
41 nfra1 3268 . . . . . . . . . 10 β„²π‘£βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2))
42 nfra1 3268 . . . . . . . . . 10 β„²π‘£βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))
4341, 42nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑣(βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
4439, 40, 43nf3an 1905 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑣((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
45 simp11l 1285 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ πœ‘)
46 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
4745, 46jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
48 rpre 12924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4948adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
50493ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
51503ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
52 simp13l 1289 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
53 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ 𝑣 β‰  𝐷)
5411sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
5545, 46, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
5645, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
5755, 56subcld 11513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝐷) ∈ β„‚)
5857abscld 15322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) ∈ ℝ)
5938rpred 12958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ)
60593ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ)
61 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
6261rpred 12958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
63623ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
64633ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
65 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))
66 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
6766rpred 12958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
68 min1 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
6962, 67, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
70693ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
71703ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
7258, 60, 64, 65, 71ltletrd 11316 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž)
7353, 72jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž))
74 rsp 3231 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
7552, 46, 73, 74syl3c 66 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2))
7647, 51, 75jca31 516 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
77 simp13r 1290 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
78673ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
79783ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
80 min2 13110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
8162, 67, 80syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
82813ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
83823ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
8458, 60, 79, 65, 83ltletrd 11316 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏)
8553, 84jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏))
86 rsp 3231 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
8777, 46, 85, 86syl3c 66 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))
888, 24addcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚)
89 addlimc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))
9088, 89fmptd 7063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„‚)
9190ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘£) ∈ β„‚)
9291ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (π»β€˜π‘£) ∈ β„‚)
93 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ πœ‘)
9493, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (𝐸 + 𝐼) ∈ β„‚)
9592, 94subcld 11513 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼)) ∈ β„‚)
9695abscld 15322 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) ∈ ℝ)
9710ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ β„‚)
9897ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ β„‚)
9993, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
10098, 99subcld 11513 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸) ∈ β„‚)
101100abscld 15322 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) ∈ ℝ)
10226ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ β„‚)
103102ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ β„‚)
10493, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ 𝐼 ∈ β„‚)
105103, 104subcld 11513 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼) ∈ β„‚)
106105abscld 15322 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) ∈ ℝ)
107101, 106readdcld 11185 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼))) ∈ ℝ)
108 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
109 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)
110 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))
11189, 110nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯𝐻
112 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯𝑣
113111, 112nffv 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(π»β€˜π‘£)
114 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
1159, 114nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯𝐹
116115, 112nffv 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘£)
117 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯ +
118 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
11925, 118nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯𝐺
120119, 112nffv 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(πΊβ€˜π‘£)
121116, 117, 120nfov 7388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£))
122113, 121nfeq 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(π»β€˜π‘£) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£))
123109, 122nfim 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘£) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)))
124 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑣 ∈ 𝐴))
125124anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)))
126 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘£))
127 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘£))
128 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘£))
129127, 128oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)))
130126, 129eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ (π»β€˜π‘£) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£))))
131125, 130imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘£) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)))))
132 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
13389fvmpt2 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (𝐡 + 𝐢))
134132, 88, 133syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (𝐡 + 𝐢))
1359fvmpt2 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐡)
136132, 8, 135syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐡)
137136eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = (πΉβ€˜π‘₯))
13825fvmpt2 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 𝐢)
139132, 24, 138syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 𝐢)
140139eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 = (πΊβ€˜π‘₯))
141137, 140oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) = ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))
142134, 141eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))
143123, 131, 142chvarfv 2234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘£) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)))
144143ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (π»β€˜π‘£) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)))
145144oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼)) = (((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)) βˆ’ (𝐸 + 𝐼)))
14698, 103, 99, 104addsub4d 11560 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)) βˆ’ (𝐸 + 𝐼)) = (((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸) + ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)))
147145, 146eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼)) = (((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸) + ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)))
148147fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸) + ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼))))
149100, 105abstrid 15342 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸) + ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼))) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼))))
150148, 149eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼))))
151 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2))
152 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))
153101, 106, 108, 151, 152lt2halvesd 12402 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼))) < 𝑦)
15496, 107, 108, 150, 153lelttrd 11314 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)
15576, 87, 154syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)
1561553exp 1120 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))
15744, 156ralrimi 3241 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
158 brimralrspcev 5167 . . . . . . 7 ((if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
15938, 157, 158syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
1601593exp 1120 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))))
161160rexlimdvv 3205 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))
16236, 161mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
163162ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
16490, 11, 14ellimc3 25246 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐷) ↔ ((𝐸 + 𝐼) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))))
1657, 163, 164mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3911  ifcif 4487   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  β„cr 11051   + caddc 11055   < clt 11190   ≀ cle 11191   βˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  2c2 12209  β„+crp 12916  abscabs 15120   limβ„‚ climc 25229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-rest 17305  df-topn 17306  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cnp 22582  df-xms 23676  df-ms 23677  df-limc 25233
This theorem is referenced by:  sublimc  43900  reclimc  43901  fourierdlem53  44407  fourierdlem60  44414  fourierdlem61  44415
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