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Theorem addlimc 41791
Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
addlimc.g 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
addlimc.h 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
addlimc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
addlimc.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
addlimc.e (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
addlimc.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
addlimc (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem addlimc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 24388 . . . 4 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 addlimc.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
31, 2sseldi 3968 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
4 limccl 24388 . . . 4 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
5 addlimc.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
64, 5sseldi 3968 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
73, 6addcld 10652 . 2 (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ)
8 addlimc.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 addlimc.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
108, 9fmptd 6873 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
119, 8, 2limcmptdm 41778 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
12 limcrcl 24387 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
132, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
1413simp3d 1138 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1510, 11, 14ellimc3 24392 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧))))
162, 15mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧)))
1716simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧))
18 rphalfcl 12409 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
19 breq2 5066 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
2019imbi2d 342 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ↔ ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
2120rexralbidv 3305 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
2221rspccva 3625 . . . . . 6 ((∀𝑧 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
2317, 18, 22syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
24 addlimc.c . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
25 addlimc.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
2624, 25fmptd 6873 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
2726, 11, 14ellimc3 24392 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (𝐼 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧))))
285, 27mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧)))
2928simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧))
30 breq2 5066 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
3130imbi2d 342 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ↔ ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3231rexralbidv 3305 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3332rspccva 3625 . . . . . 6 ((∀𝑧 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
3429, 18, 33syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
35 reeanv 3372 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3623, 34, 35sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
37 ifcl 4513 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
38373ad2ant2 1128 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
39 nfv 1908 . . . . . . . . 9 𝑣(𝜑𝑦 ∈ ℝ+)
40 nfv 1908 . . . . . . . . 9 𝑣(𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)
41 nfra1 3223 . . . . . . . . . 10 𝑣𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))
42 nfra1 3223 . . . . . . . . . 10 𝑣𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))
4341, 42nfan 1893 . . . . . . . . 9 𝑣(∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
4439, 40, 43nf3an 1895 . . . . . . . 8 𝑣((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
45 simp11l 1278 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝜑)
46 simp2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣𝐴)
4745, 46jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝜑𝑣𝐴))
48 rpre 12390 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
50493ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
51503ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑦 ∈ ℝ)
52 simp13l 1282 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
53 simp3l 1195 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣𝐷)
5411sselda 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ ℂ)
5545, 46, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣 ∈ ℂ)
5645, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝐷 ∈ ℂ)
5755, 56subcld 10989 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣𝐷) ∈ ℂ)
5857abscld 14789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣𝐷)) ∈ ℝ)
5938rpred 12424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
60593ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
61 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
6261rpred 12424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
63623ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑎 ∈ ℝ)
64633ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ)
65 simp3r 1196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
66 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ+)
6766rpred 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
68 min1 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6962, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
70693ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
71703ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
7258, 60, 64, 65, 71ltletrd 10792 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎)
7353, 72jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎))
74 rsp 3209 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) → (𝑣𝐴 → ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
7552, 46, 73, 74syl3c 66 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))
7647, 51, 75jca31 515 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
77 simp13r 1283 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
78673ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑏 ∈ ℝ)
79783ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℝ)
80 min2 12576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
8162, 67, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
82813ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
83823ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
8458, 60, 79, 65, 83ltletrd 10792 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏)
8553, 84jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏))
86 rsp 3209 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝑣𝐴 → ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
8777, 46, 85, 86syl3c 66 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))
888, 24addcld 10652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
89 addlimc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
9088, 89fmptd 6873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℂ)
9190ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐻𝑣) ∈ ℂ)
9291ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐻𝑣) ∈ ℂ)
93 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝜑)
9493, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ)
9592, 94subcld 10989 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) ∈ ℂ)
9695abscld 14789 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) ∈ ℝ)
9710ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ ℂ)
9897ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐹𝑣) ∈ ℂ)
9993, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝐸 ∈ ℂ)
10098, 99subcld 10989 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐹𝑣) − 𝐸) ∈ ℂ)
101100abscld 14789 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) ∈ ℝ)
10226ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐺𝑣) ∈ ℂ)
103102ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐺𝑣) ∈ ℂ)
10493, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝐼 ∈ ℂ)
105103, 104subcld 10989 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐺𝑣) − 𝐼) ∈ ℂ)
106105abscld 14789 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) ∈ ℝ)
107101, 106readdcld 10662 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼))) ∈ ℝ)
108 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
109 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝜑𝑣𝐴)
110 nfmpt1 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥(𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
11189, 110nfcxfr 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝐻
112 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑣
113111, 112nffv 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝐻𝑣)
114 nfmpt1 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
1159, 114nfcxfr 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐹
116115, 112nffv 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝐹𝑣)
117 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 +
118 nfmpt1 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥𝐴𝐶)
11925, 118nfcxfr 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐺
120119, 112nffv 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝐺𝑣)
121116, 117, 120nfov 7181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣))
122113, 121nfeq 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣))
123109, 122nfim 1890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝜑𝑣𝐴) → (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))
124 eleq1w 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥𝐴𝑣𝐴))
125124anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑣𝐴)))
126 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑣 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑣))
127 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑣 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑣))
128 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑣 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑣))
129127, 128oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))
130126, 129eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑣 → ((𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) ↔ (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣))))
131125, 130imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ↔ ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))))
132 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
13389fvmpt2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
134132, 88, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
1359fvmpt2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
136132, 8, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
137136eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = (𝐹𝑥))
13825fvmpt2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴𝐶 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = 𝐶)
139132, 24, 138syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = 𝐶)
140139eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 = (𝐺𝑥))
141137, 140oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
142134, 141eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
143123, 131, 142chvar 2409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))
144143ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))
145144oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)) − (𝐸 + 𝐼)))
14698, 103, 99, 104addsub4d 11036 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹𝑣) − 𝐸) + ((𝐺𝑣) − 𝐼)))
147145, 146eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹𝑣) − 𝐸) + ((𝐺𝑣) − 𝐼)))
148147fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) = (abs‘(((𝐹𝑣) − 𝐸) + ((𝐺𝑣) − 𝐼))))
149100, 105abstrid 14809 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) − 𝐸) + ((𝐺𝑣) − 𝐼))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼))))
150148, 149eqbrtrd 5084 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼))))
151 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))
152 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))
153101, 106, 108, 151, 152lt2halvesd 11877 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼))) < 𝑦)
15496, 107, 108, 150, 153lelttrd 10790 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)
15576, 87, 154syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)
1561553exp 1113 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → (𝑣𝐴 → ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))
15744, 156ralrimi 3220 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
158 brimralrspcev 5123 . . . . . . 7 ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
15938, 157, 158syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
1601593exp 1113 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → ((∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))))
161160rexlimdvv 3297 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))
16236, 161mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
163162ralrimiva 3186 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
16490, 11, 14ellimc3 24392 . 2 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷) ↔ ((𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))))
1657, 163, 164mpbir2and 709 1 (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  wss 3939  ifcif 4469   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  2c2 11684  +crp 12382  abscabs 14586   lim climc 24375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-fz 12886  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cnp 21752  df-xms 22845  df-ms 22846  df-limc 24379
This theorem is referenced by:  sublimc  41795  reclimc  41796  fourierdlem53  42307  fourierdlem60  42314  fourierdlem61  42315
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