Theorem addlimc 44823

Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
addlimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
addlimc.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
addlimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
addlimc.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
addlimc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
addlimc.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
addlimc	⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem addlimc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25724	. . . 4 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
2		addlimc.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
3	1, 2	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
4		limccl 25724	. . . 4 ⊢ (𝐺 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
5		addlimc.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))
6	4, 5	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
7	3, 6	addcld 11240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ)
8		addlimc.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		addlimc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
10	8, 9	fmptd 7115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11	9, 8, 2	limcmptdm 44810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
12		limcrcl 25723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
14	13	simp3d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
15	10, 11, 14	ellimc3 25728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧))))
16	2, 15	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧)))
17	16	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧))
18		rphalfcl 13008	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
19		breq2 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
20	19	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → (((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ↔ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
21	20	rexralbidv 3219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
22	21	rspccva 3611	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
23	17, 18, 22	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
24		addlimc.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
25		addlimc.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
26	24, 25	fmptd 7115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
27	26, 11, 14	ellimc3 25728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ (𝐼 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧))))
28	5, 27	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧)))
29	28	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧))
30		breq2 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
31	30	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → (((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ↔ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
32	31	rexralbidv 3219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → (∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
33	32	rspccva 3611	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
34	29, 18, 33	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
35		reeanv 3225	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
36	23, 34, 35	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
37		ifcl 4573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
38	37	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
39		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑣(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
40		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑣(𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)
41		nfra1 3280	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑣∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))
42		nfra1 3280	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑣∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))
43	41, 42	nfan 1901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑣(∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
44	39, 40, 43	nf3an 1903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑣((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
45		simp11l 1283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝜑)
46		simp2 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
47	45, 46	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
48		rpre 12989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
50	49	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
51	50	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		simp13l 1287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
53		simp3l 1200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣 ≠ 𝐷)
54	11	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ ℂ)
55	45, 46, 54	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣 ∈ ℂ)
56	45, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝐷 ∈ ℂ)
57	55, 56	subcld 11578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣 − 𝐷) ∈ ℂ)
58	57	abscld 15390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣 − 𝐷)) ∈ ℝ)
59	38	rpred 13023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
60	59	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
61		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
62	61	rpred 13023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
63	62	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑎 ∈ ℝ)
64	63	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ)
65		simp3r 1201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))
66		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ+)
67	66	rpred 13023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
68		min1 13175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
69	62, 67, 68	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
70	69	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
71	70	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
72	58, 60, 64, 65, 71	ltletrd 11381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎)
73	53, 72	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎))
74		rsp 3243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) → (𝑣 ∈ 𝐴 → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
75	52, 46, 73, 74	syl3c 66	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))
76	47, 51, 75	jca31 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
77		simp13r 1288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
78	67	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑏 ∈ ℝ)
79	78	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℝ)
80		min2 13176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
81	62, 67, 80	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
82	81	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
83	82	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
84	58, 60, 79, 65, 83	ltletrd 11381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏)
85	53, 84	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏))
86		rsp 3243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝑣 ∈ 𝐴 → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
87	77, 46, 85, 86	syl3c 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))
88	8, 24	addcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
89		addlimc.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
90	88, 89	fmptd 7115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶ℂ)
91	90	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑣) ∈ ℂ)
92	91	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐻‘𝑣) ∈ ℂ)
93		simp-4l 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝜑)
94	93, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ)
95	92, 94	subcld 11578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) ∈ ℂ)
96	95	abscld 15390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) ∈ ℝ)
97	10	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑣) ∈ ℂ)
98	97	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐹‘𝑣) ∈ ℂ)
99	93, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝐸 ∈ ℂ)
100	98, 99	subcld 11578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐹‘𝑣) − 𝐸) ∈ ℂ)
101	100	abscld 15390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) ∈ ℝ)
102	26	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) ∈ ℂ)
103	102	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐺‘𝑣) ∈ ℂ)
104	93, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝐼 ∈ ℂ)
105	103, 104	subcld 11578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐺‘𝑣) − 𝐼) ∈ ℂ)
106	105	abscld 15390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) ∈ ℝ)
107	101, 106	readdcld 11250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼))) ∈ ℝ)
108		simpllr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
109		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)
110		nfmpt1 5256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
111	89, 110	nfcxfr 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
112		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝑣
113	111, 112	nffv 6901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑣)
114		nfmpt1 5256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
115	9, 114	nfcxfr 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
116	115, 112	nffv 6901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑣)
117		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 +
118		nfmpt1 5256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
119	25, 118	nfcxfr 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
120	119, 112	nffv 6901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑣)
121	116, 117, 120	nfov 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣))
122	113, 121	nfeq 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣))
123	109, 122	nfim 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣)))
124		eleq1w 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑣 ∈ 𝐴))
125	124	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)))
126		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑣))
127		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑣))
128		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑣))
129	127, 128	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣)))
130	126, 129	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐻‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣))))
131	125, 130	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣)))))
132		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
133	89	fvmpt2 7009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐻‘𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
134	132, 88, 133	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
135	9	fvmpt2 7009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
136	132, 8, 135	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
137	136	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = (𝐹‘𝑥))
138	25	fvmpt2 7009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) = 𝐶)
139	132, 24, 138	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = 𝐶)
140	139	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 = (𝐺‘𝑥))
141	137, 140	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
142	134, 141	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
143	123, 131, 142	chvarfv 2232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣)))
144	143	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐻‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣)))
145	144	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣)) − (𝐸 + 𝐼)))
146	98, 103, 99, 104	addsub4d 11625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (((𝐹‘𝑣) + (𝐺‘𝑣)) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹‘𝑣) − 𝐸) + ((𝐺‘𝑣) − 𝐼)))
147	145, 146	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹‘𝑣) − 𝐸) + ((𝐺‘𝑣) − 𝐼)))
148	147	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) = (abs‘(((𝐹‘𝑣) − 𝐸) + ((𝐺‘𝑣) − 𝐼))))
149	100, 105	abstrid 15410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘(((𝐹‘𝑣) − 𝐸) + ((𝐺‘𝑣) − 𝐼))) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼))))
150	148, 149	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼))))
151		simplr 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))
152		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))
153	101, 106, 108, 151, 152	lt2halvesd 12467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼))) < 𝑦)
154	96, 107, 108, 150, 153	lelttrd 11379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)
155	76, 87, 154	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)
156	155	3exp 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → (𝑣 ∈ 𝐴 → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))
157	44, 156	ralrimi 3253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
158		brimralrspcev 5209	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
159	38, 157, 158	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
160	159	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ((∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))))
161	160	rexlimdvv 3209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))
162	36, 161	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
163	162	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
164	90, 11, 14	ellimc3 25728	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷) ↔ ((𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻‘𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))))
165	7, 163, 164	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115   + caddc 11119   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451   / cdiv 11878  2c2 12274  ℝ⁺crp 12981  abscabs 15188   lim_ℂ climc 25711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cnp 23052  df-xms 24146  df-ms 24147  df-limc 25715

This theorem is referenced by:  sublimc  44827  reclimc  44828  fourierdlem53  45334  fourierdlem60  45341  fourierdlem61  45342