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Theorem addlimc 45663
Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
addlimc.g 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
addlimc.h 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
addlimc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
addlimc.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
addlimc.e (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
addlimc.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
addlimc (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem addlimc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25910 . . . 4 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 addlimc.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
31, 2sselid 3981 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
4 limccl 25910 . . . 4 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
5 addlimc.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
64, 5sselid 3981 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
73, 6addcld 11280 . 2 (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ)
8 addlimc.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 addlimc.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
108, 9fmptd 7134 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
119, 8, 2limcmptdm 45650 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
12 limcrcl 25909 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
132, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
1413simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1510, 11, 14ellimc3 25914 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧))))
162, 15mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧)))
1716simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧))
18 rphalfcl 13062 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
19 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
2019imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ↔ ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
2120rexralbidv 3223 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
2221rspccva 3621 . . . . . 6 ((∀𝑧 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
2317, 18, 22syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
24 addlimc.c . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
25 addlimc.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
2624, 25fmptd 7134 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
2726, 11, 14ellimc3 25914 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (𝐼 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧))))
285, 27mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧)))
2928simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧))
30 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
3130imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ↔ ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3231rexralbidv 3223 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3332rspccva 3621 . . . . . 6 ((∀𝑧 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
3429, 18, 33syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
35 reeanv 3229 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3623, 34, 35sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
37 ifcl 4571 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
38373ad2ant2 1135 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
39 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑣(𝜑𝑦 ∈ ℝ+)
40 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑣(𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)
41 nfra1 3284 . . . . . . . . . 10 𝑣𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))
42 nfra1 3284 . . . . . . . . . 10 𝑣𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))
4341, 42nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑣(∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
4439, 40, 43nf3an 1901 . . . . . . . 8 𝑣((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
45 simp11l 1285 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝜑)
46 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣𝐴)
4745, 46jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝜑𝑣𝐴))
48 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
50493ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
51503ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑦 ∈ ℝ)
52 simp13l 1289 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
53 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣𝐷)
5411sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ ℂ)
5545, 46, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣 ∈ ℂ)
5645, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝐷 ∈ ℂ)
5755, 56subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣𝐷) ∈ ℂ)
5857abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣𝐷)) ∈ ℝ)
5938rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
60593ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
61 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
6261rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
63623ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑎 ∈ ℝ)
64633ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ)
65 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
66 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ+)
6766rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
68 min1 13231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6962, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
70693ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
71703ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
7258, 60, 64, 65, 71ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎)
7353, 72jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎))
74 rsp 3247 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) → (𝑣𝐴 → ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
7552, 46, 73, 74syl3c 66 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))
7647, 51, 75jca31 514 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
77 simp13r 1290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
78673ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑏 ∈ ℝ)
79783ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℝ)
80 min2 13232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
8162, 67, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
82813ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
83823ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
8458, 60, 79, 65, 83ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏)
8553, 84jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏))
86 rsp 3247 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝑣𝐴 → ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
8777, 46, 85, 86syl3c 66 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))
888, 24addcld 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
89 addlimc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
9088, 89fmptd 7134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℂ)
9190ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐻𝑣) ∈ ℂ)
9291ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐻𝑣) ∈ ℂ)
93 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝜑)
9493, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ)
9592, 94subcld 11620 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) ∈ ℂ)
9695abscld 15475 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) ∈ ℝ)
9710ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ ℂ)
9897ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐹𝑣) ∈ ℂ)
9993, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝐸 ∈ ℂ)
10098, 99subcld 11620 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐹𝑣) − 𝐸) ∈ ℂ)
101100abscld 15475 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) ∈ ℝ)
10226ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐺𝑣) ∈ ℂ)
103102ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐺𝑣) ∈ ℂ)
10493, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝐼 ∈ ℂ)
105103, 104subcld 11620 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐺𝑣) − 𝐼) ∈ ℂ)
106105abscld 15475 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) ∈ ℝ)
107101, 106readdcld 11290 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼))) ∈ ℝ)
108 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
109 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝜑𝑣𝐴)
110 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥(𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
11189, 110nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝐻
112 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑣
113111, 112nffv 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝐻𝑣)
114 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
1159, 114nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐹
116115, 112nffv 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝐹𝑣)
117 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 +
118 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥𝐴𝐶)
11925, 118nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐺
120119, 112nffv 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝐺𝑣)
121116, 117, 120nfov 7461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣))
122113, 121nfeq 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣))
123109, 122nfim 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝜑𝑣𝐴) → (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))
124 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥𝐴𝑣𝐴))
125124anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑣𝐴)))
126 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑣 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑣))
127 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑣 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑣))
128 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑣 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑣))
129127, 128oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))
130126, 129eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑣 → ((𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) ↔ (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣))))
131125, 130imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ↔ ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))))
132 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
13389fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
134132, 88, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
1359fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
136132, 8, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
137136eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = (𝐹𝑥))
13825fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴𝐶 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = 𝐶)
139132, 24, 138syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = 𝐶)
140139eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 = (𝐺𝑥))
141137, 140oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
142134, 141eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
143123, 131, 142chvarfv 2240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))
144143ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))
145144oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)) − (𝐸 + 𝐼)))
14698, 103, 99, 104addsub4d 11667 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹𝑣) − 𝐸) + ((𝐺𝑣) − 𝐼)))
147145, 146eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹𝑣) − 𝐸) + ((𝐺𝑣) − 𝐼)))
148147fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) = (abs‘(((𝐹𝑣) − 𝐸) + ((𝐺𝑣) − 𝐼))))
149100, 105abstrid 15495 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) − 𝐸) + ((𝐺𝑣) − 𝐼))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼))))
150148, 149eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼))))
151 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))
152 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))
153101, 106, 108, 151, 152lt2halvesd 12514 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼))) < 𝑦)
15496, 107, 108, 150, 153lelttrd 11419 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)
15576, 87, 154syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)
1561553exp 1120 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → (𝑣𝐴 → ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))
15744, 156ralrimi 3257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
158 brimralrspcev 5204 . . . . . . 7 ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
15938, 157, 158syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
1601593exp 1120 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → ((∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))))
161160rexlimdvv 3212 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))
16236, 161mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
163162ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
16490, 11, 14ellimc3 25914 . 2 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷) ↔ ((𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))))
1657, 163, 164mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034  abscabs 15273   lim climc 25897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901
This theorem is referenced by:  sublimc  45667  reclimc  45668  fourierdlem53  46174  fourierdlem60  46181  fourierdlem61  46182
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