Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | limccl 25242 |
. . . 4
β’ (πΉ limβ π·) β
β |
2 | | addlimc.e |
. . . 4
β’ (π β πΈ β (πΉ limβ π·)) |
3 | 1, 2 | sselid 3943 |
. . 3
β’ (π β πΈ β β) |
4 | | limccl 25242 |
. . . 4
β’ (πΊ limβ π·) β
β |
5 | | addlimc.i |
. . . 4
β’ (π β πΌ β (πΊ limβ π·)) |
6 | 4, 5 | sselid 3943 |
. . 3
β’ (π β πΌ β β) |
7 | 3, 6 | addcld 11175 |
. 2
β’ (π β (πΈ + πΌ) β β) |
8 | | addlimc.b |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β π΅ β β) |
9 | | addlimc.f |
. . . . . . . . . 10
β’ πΉ = (π₯ β π΄ β¦ π΅) |
10 | 8, 9 | fmptd 7063 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΉ:π΄βΆβ) |
11 | 9, 8, 2 | limcmptdm 43883 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β β) |
12 | | limcrcl 25241 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (πΈ β (πΉ limβ π·) β (πΉ:dom πΉβΆβ β§ dom πΉ β β β§ π· β β)) |
13 | 2, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (πΉ:dom πΉβΆβ β§ dom πΉ β β β§ π· β β)) |
14 | 13 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π· β β) |
15 | 10, 11, 14 | ellimc3 25246 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (πΈ β (πΉ limβ π·) β (πΈ β β β§ βπ§ β β+
βπ β
β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < π§)))) |
16 | 2, 15 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
β’ (π β (πΈ β β β§ βπ§ β β+
βπ β
β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < π§))) |
17 | 16 | simprd 497 |
. . . . . 6
β’ (π β βπ§ β β+ βπ β β+
βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < π§)) |
18 | | rphalfcl 12943 |
. . . . . 6
β’ (π¦ β β+
β (π¦ / 2) β
β+) |
19 | | breq2 5110 |
. . . . . . . . 9
β’ (π§ = (π¦ / 2) β ((absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < π§ β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2))) |
20 | 19 | imbi2d 341 |
. . . . . . . 8
β’ (π§ = (π¦ / 2) β (((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < π§) β ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)))) |
21 | 20 | rexralbidv 3215 |
. . . . . . 7
β’ (π§ = (π¦ / 2) β (βπ β β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < π§) β βπ β β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)))) |
22 | 21 | rspccva 3581 |
. . . . . 6
β’
((βπ§ β
β+ βπ β β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < π§) β§ (π¦ / 2) β β+) β
βπ β
β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2))) |
23 | 17, 18, 22 | syl2an 597 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π¦ β β+) β
βπ β
β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2))) |
24 | | addlimc.c |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β πΆ β β) |
25 | | addlimc.g |
. . . . . . . . . 10
β’ πΊ = (π₯ β π΄ β¦ πΆ) |
26 | 24, 25 | fmptd 7063 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΊ:π΄βΆβ) |
27 | 26, 11, 14 | ellimc3 25246 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (πΌ β (πΊ limβ π·) β (πΌ β β β§ βπ§ β β+
βπ β
β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < π§)))) |
28 | 5, 27 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
β’ (π β (πΌ β β β§ βπ§ β β+
βπ β
β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < π§))) |
29 | 28 | simprd 497 |
. . . . . 6
β’ (π β βπ§ β β+ βπ β β+
βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < π§)) |
30 | | breq2 5110 |
. . . . . . . . 9
β’ (π§ = (π¦ / 2) β ((absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < π§ β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2))) |
31 | 30 | imbi2d 341 |
. . . . . . . 8
β’ (π§ = (π¦ / 2) β (((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < π§) β ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) |
32 | 31 | rexralbidv 3215 |
. . . . . . 7
β’ (π§ = (π¦ / 2) β (βπ β β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < π§) β βπ β β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) |
33 | 32 | rspccva 3581 |
. . . . . 6
β’
((βπ§ β
β+ βπ β β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < π§) β§ (π¦ / 2) β β+) β
βπ β
β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2))) |
34 | 29, 18, 33 | syl2an 597 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π¦ β β+) β
βπ β
β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2))) |
35 | | reeanv 3218 |
. . . . 5
β’
(βπ β
β+ βπ β β+ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2))) β (βπ β β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ β β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) |
36 | 23, 34, 35 | sylanbrc 584 |
. . . 4
β’ ((π β§ π¦ β β+) β
βπ β
β+ βπ β β+ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) |
37 | | ifcl 4532 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β β+
β§ π β
β+) β if(π β€ π, π, π) β
β+) |
38 | 37 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β if(π β€ π, π, π) β
β+) |
39 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π£(π β§ π¦ β β+) |
40 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π£(π β β+
β§ π β
β+) |
41 | | nfra1 3268 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π£βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) |
42 | | nfra1 3268 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π£βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) |
43 | 41, 42 | nfan 1903 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π£(βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2))) |
44 | 39, 40, 43 | nf3an 1905 |
. . . . . . . 8
β’
β²π£((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) |
45 | | simp11l 1285 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β π) |
46 | | simp2 1138 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β π£ β π΄) |
47 | 45, 46 | jca 513 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β (π β§ π£ β π΄)) |
48 | | rpre 12924 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ β β+
β π¦ β
β) |
49 | 48 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π¦ β β+) β π¦ β
β) |
50 | 49 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β π¦ β β) |
51 | 50 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β π¦ β β) |
52 | | simp13l 1289 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2))) |
53 | | simp3l 1202 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β π£ β π·) |
54 | 11 | sselda 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π£ β π΄) β π£ β β) |
55 | 45, 46, 54 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β π£ β β) |
56 | 45, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β π· β β) |
57 | 55, 56 | subcld 11513 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β (π£ β π·) β β) |
58 | 57 | abscld 15322 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β (absβ(π£ β π·)) β β) |
59 | 38 | rpred 12958 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β if(π β€ π, π, π) β β) |
60 | 59 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β if(π β€ π, π, π) β β) |
61 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β+
β§ π β
β+) β π β β+) |
62 | 61 | rpred 12958 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β+
β§ π β
β+) β π β β) |
63 | 62 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β π β β) |
64 | 63 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β π β β) |
65 | | simp3r 1203 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π)) |
66 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β+
β§ π β
β+) β π β β+) |
67 | 66 | rpred 12958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β+
β§ π β
β+) β π β β) |
68 | | min1 13109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β β§ π β β) β if(π β€ π, π, π) β€ π) |
69 | 62, 67, 68 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β+
β§ π β
β+) β if(π β€ π, π, π) β€ π) |
70 | 69 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β if(π β€ π, π, π) β€ π) |
71 | 70 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β if(π β€ π, π, π) β€ π) |
72 | 58, 60, 64, 65, 71 | ltletrd 11316 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β (absβ(π£ β π·)) < π) |
73 | 53, 72 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π)) |
74 | | rsp 3231 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(βπ£ β
π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β (π£ β π΄ β ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)))) |
75 | 52, 46, 73, 74 | syl3c 66 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) |
76 | 47, 51, 75 | jca31 516 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β (((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2))) |
77 | | simp13r 1290 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2))) |
78 | 67 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β π β β) |
79 | 78 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β π β β) |
80 | | min2 13110 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β β§ π β β) β if(π β€ π, π, π) β€ π) |
81 | 62, 67, 80 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β+
β§ π β
β+) β if(π β€ π, π, π) β€ π) |
82 | 81 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β if(π β€ π, π, π) β€ π) |
83 | 82 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β if(π β€ π, π, π) β€ π) |
84 | 58, 60, 79, 65, 83 | ltletrd 11316 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β (absβ(π£ β π·)) < π) |
85 | 53, 84 | jca 513 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π)) |
86 | | rsp 3231 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(βπ£ β
π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (π£ β π΄ β ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) |
87 | 77, 46, 85, 86 | syl3c 66 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) |
88 | 8, 24 | addcld 11175 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π΅ + πΆ) β β) |
89 | | addlimc.h |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ π» = (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ)) |
90 | 88, 89 | fmptd 7063 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π»:π΄βΆβ) |
91 | 90 | ffvelcdmda 7036 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π£ β π΄) β (π»βπ£) β β) |
92 | 91 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (π»βπ£) β β) |
93 | | simp-4l 782 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β π) |
94 | 93, 7 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (πΈ + πΌ) β β) |
95 | 92, 94 | subcld 11513 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ)) β β) |
96 | 95 | abscld 15322 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) β β) |
97 | 10 | ffvelcdmda 7036 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π£ β π΄) β (πΉβπ£) β β) |
98 | 97 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (πΉβπ£) β β) |
99 | 93, 3 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β πΈ β β) |
100 | 98, 99 | subcld 11513 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β ((πΉβπ£) β πΈ) β β) |
101 | 100 | abscld 15322 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) β β) |
102 | 26 | ffvelcdmda 7036 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π£ β π΄) β (πΊβπ£) β β) |
103 | 102 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (πΊβπ£) β β) |
104 | 93, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β πΌ β β) |
105 | 103, 104 | subcld 11513 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β ((πΊβπ£) β πΌ) β β) |
106 | 105 | abscld 15322 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) β β) |
107 | 101, 106 | readdcld 11185 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β ((absβ((πΉβπ£) β πΈ)) + (absβ((πΊβπ£) β πΌ))) β β) |
108 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β π¦ β β) |
109 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
β²π₯(π β§ π£ β π΄) |
110 | | nfmpt1 5214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
β²π₯(π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ)) |
111 | 89, 110 | nfcxfr 2906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
β²π₯π» |
112 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
β²π₯π£ |
113 | 111, 112 | nffv 6853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
β²π₯(π»βπ£) |
114 | | nfmpt1 5214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π₯(π₯ β π΄ β¦ π΅) |
115 | 9, 114 | nfcxfr 2906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
β²π₯πΉ |
116 | 115, 112 | nffv 6853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
β²π₯(πΉβπ£) |
117 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
β²π₯
+ |
118 | | nfmpt1 5214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π₯(π₯ β π΄ β¦ πΆ) |
119 | 25, 118 | nfcxfr 2906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
β²π₯πΊ |
120 | 119, 112 | nffv 6853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
β²π₯(πΊβπ£) |
121 | 116, 117,
120 | nfov 7388 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
β²π₯((πΉβπ£) + (πΊβπ£)) |
122 | 113, 121 | nfeq 2921 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
β²π₯(π»βπ£) = ((πΉβπ£) + (πΊβπ£)) |
123 | 109, 122 | nfim 1900 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
β²π₯((π β§ π£ β π΄) β (π»βπ£) = ((πΉβπ£) + (πΊβπ£))) |
124 | | eleq1w 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ = π£ β (π₯ β π΄ β π£ β π΄)) |
125 | 124 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π₯ = π£ β ((π β§ π₯ β π΄) β (π β§ π£ β π΄))) |
126 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ = π£ β (π»βπ₯) = (π»βπ£)) |
127 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = π£ β (πΉβπ₯) = (πΉβπ£)) |
128 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = π£ β (πΊβπ₯) = (πΊβπ£)) |
129 | 127, 128 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ = π£ β ((πΉβπ₯) + (πΊβπ₯)) = ((πΉβπ£) + (πΊβπ£))) |
130 | 126, 129 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π₯ = π£ β ((π»βπ₯) = ((πΉβπ₯) + (πΊβπ₯)) β (π»βπ£) = ((πΉβπ£) + (πΊβπ£)))) |
131 | 125, 130 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π₯ = π£ β (((π β§ π₯ β π΄) β (π»βπ₯) = ((πΉβπ₯) + (πΊβπ₯))) β ((π β§ π£ β π΄) β (π»βπ£) = ((πΉβπ£) + (πΊβπ£))))) |
132 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β π₯ β π΄) |
133 | 89 | fvmpt2 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π₯ β π΄ β§ (π΅ + πΆ) β β) β (π»βπ₯) = (π΅ + πΆ)) |
134 | 132, 88, 133 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π»βπ₯) = (π΅ + πΆ)) |
135 | 9 | fvmpt2 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β π΄ β§ π΅ β β) β (πΉβπ₯) = π΅) |
136 | 132, 8, 135 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (πΉβπ₯) = π΅) |
137 | 136 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β π΅ = (πΉβπ₯)) |
138 | 25 | fvmpt2 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β π΄ β§ πΆ β β) β (πΊβπ₯) = πΆ) |
139 | 132, 24, 138 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (πΊβπ₯) = πΆ) |
140 | 139 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β πΆ = (πΊβπ₯)) |
141 | 137, 140 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π΅ + πΆ) = ((πΉβπ₯) + (πΊβπ₯))) |
142 | 134, 141 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π»βπ₯) = ((πΉβπ₯) + (πΊβπ₯))) |
143 | 123, 131,
142 | chvarfv 2234 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π£ β π΄) β (π»βπ£) = ((πΉβπ£) + (πΊβπ£))) |
144 | 143 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (π»βπ£) = ((πΉβπ£) + (πΊβπ£))) |
145 | 144 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ)) = (((πΉβπ£) + (πΊβπ£)) β (πΈ + πΌ))) |
146 | 98, 103, 99, 104 | addsub4d 11560 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (((πΉβπ£) + (πΊβπ£)) β (πΈ + πΌ)) = (((πΉβπ£) β πΈ) + ((πΊβπ£) β πΌ))) |
147 | 145, 146 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ)) = (((πΉβπ£) β πΈ) + ((πΊβπ£) β πΌ))) |
148 | 147 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) = (absβ(((πΉβπ£) β πΈ) + ((πΊβπ£) β πΌ)))) |
149 | 100, 105 | abstrid 15342 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (absβ(((πΉβπ£) β πΈ) + ((πΊβπ£) β πΌ))) β€ ((absβ((πΉβπ£) β πΈ)) + (absβ((πΊβπ£) β πΌ)))) |
150 | 148, 149 | eqbrtrd 5128 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) β€ ((absβ((πΉβπ£) β πΈ)) + (absβ((πΊβπ£) β πΌ)))) |
151 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) |
152 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) |
153 | 101, 106,
108, 151, 152 | lt2halvesd 12402 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β ((absβ((πΉβπ£) β πΈ)) + (absβ((πΊβπ£) β πΌ))) < π¦) |
154 | 96, 107, 108, 150, 153 | lelttrd 11314 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((π β§ π£ β π΄) β§ π¦ β β) β§ (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) < π¦) |
155 | 76, 87, 154 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π))) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) < π¦) |
156 | 155 | 3exp 1120 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β (π£ β π΄ β ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π)) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) < π¦))) |
157 | 44, 156 | ralrimi 3241 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π)) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) < π¦)) |
158 | | brimralrspcev 5167 |
. . . . . . 7
β’
((if(π β€ π, π, π) β β+ β§
βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < if(π β€ π, π, π)) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) < π¦)) β βπ€ β β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π€) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) < π¦)) |
159 | 38, 157, 158 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π¦ β β+) β§ (π β β+
β§ π β
β+) β§ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2)))) β βπ€ β β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π€) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) < π¦)) |
160 | 159 | 3exp 1120 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π¦ β β+) β ((π β β+
β§ π β
β+) β ((βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2))) β βπ€ β β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π€) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) < π¦)))) |
161 | 160 | rexlimdvv 3205 |
. . . 4
β’ ((π β§ π¦ β β+) β
(βπ β
β+ βπ β β+ (βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΉβπ£) β πΈ)) < (π¦ / 2)) β§ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π) β (absβ((πΊβπ£) β πΌ)) < (π¦ / 2))) β βπ€ β β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π€) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) < π¦))) |
162 | 36, 161 | mpd 15 |
. . 3
β’ ((π β§ π¦ β β+) β
βπ€ β
β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π€) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) < π¦)) |
163 | 162 | ralrimiva 3144 |
. 2
β’ (π β βπ¦ β β+ βπ€ β β+
βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π€) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) < π¦)) |
164 | 90, 11, 14 | ellimc3 25246 |
. 2
β’ (π β ((πΈ + πΌ) β (π» limβ π·) β ((πΈ + πΌ) β β β§ βπ¦ β β+
βπ€ β
β+ βπ£ β π΄ ((π£ β π· β§ (absβ(π£ β π·)) < π€) β (absβ((π»βπ£) β (πΈ + πΌ))) < π¦)))) |
165 | 7, 163, 164 | mpbir2and 712 |
1
β’ (π β (πΈ + πΌ) β (π» limβ π·)) |