Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addlimc 40450
Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
addlimc.g 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
addlimc.h 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
addlimc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
addlimc.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
addlimc.e (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
addlimc.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
addlimc (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem addlimc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 23930 . . . 4 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 addlimc.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
31, 2sseldi 3759 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
4 limccl 23930 . . . 4 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
5 addlimc.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
64, 5sseldi 3759 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
73, 6addcld 10313 . 2 (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ)
8 addlimc.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 addlimc.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
108, 9fmptd 6574 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
119, 8, 2limcmptdm 40437 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
12 limcrcl 23929 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
132, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
1413simp3d 1174 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1510, 11, 14ellimc3 23934 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧))))
162, 15mpbid 223 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧)))
1716simprd 489 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧))
18 rphalfcl 12056 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
19 breq2 4813 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
2019imbi2d 331 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ↔ ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
2120rexralbidv 3205 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
2221rspccva 3460 . . . . . 6 ((∀𝑧 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
2317, 18, 22syl2an 589 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
24 addlimc.c . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
25 addlimc.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
2624, 25fmptd 6574 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
2726, 11, 14ellimc3 23934 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (𝐼 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧))))
285, 27mpbid 223 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧)))
2928simprd 489 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧))
30 breq2 4813 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
3130imbi2d 331 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ↔ ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3231rexralbidv 3205 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3332rspccva 3460 . . . . . 6 ((∀𝑧 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
3429, 18, 33syl2an 589 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
35 reeanv 3254 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3623, 34, 35sylanbrc 578 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
37 ifcl 4287 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
38373ad2ant2 1164 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
39 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑣(𝜑𝑦 ∈ ℝ+)
40 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑣(𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)
41 nfra1 3088 . . . . . . . . . 10 𝑣𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))
42 nfra1 3088 . . . . . . . . . 10 𝑣𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))
4341, 42nfan 1998 . . . . . . . . 9 𝑣(∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
4439, 40, 43nf3an 2000 . . . . . . . 8 𝑣((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
45 simp11l 1383 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝜑)
46 simp2 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣𝐴)
4745, 46jca 507 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝜑𝑣𝐴))
48 rpre 12036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
50493ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
51503ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑦 ∈ ℝ)
52 simp13l 1387 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
53 simp3l 1258 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣𝐷)
5411sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ ℂ)
5545, 46, 54syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑣 ∈ ℂ)
5645, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝐷 ∈ ℂ)
5755, 56subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣𝐷) ∈ ℂ)
5857abscld 14462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣𝐷)) ∈ ℝ)
5938rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
60593ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
61 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
6261rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
63623ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑎 ∈ ℝ)
64633ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ)
65 simp3r 1259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
66 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ+)
6766rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
68 min1 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6962, 67, 68syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
70693ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
71703ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
7258, 60, 64, 65, 71ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎)
7353, 72jca 507 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎))
74 rsp 3076 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) → (𝑣𝐴 → ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
7552, 46, 73, 74syl3c 66 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))
7647, 51, 75jca31 510 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
77 simp13r 1388 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
78673ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → 𝑏 ∈ ℝ)
79783ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℝ)
80 min2 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
8162, 67, 80syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
82813ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
83823ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
8458, 60, 79, 65, 83ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏)
8553, 84jca 507 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏))
86 rsp 3076 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝑣𝐴 → ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
8777, 46, 85, 86syl3c 66 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))
888, 24addcld 10313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
89 addlimc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
9088, 89fmptd 6574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℂ)
9190ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐻𝑣) ∈ ℂ)
9291ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐻𝑣) ∈ ℂ)
93 simp-4l 801 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝜑)
9493, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ)
9592, 94subcld 10646 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) ∈ ℂ)
9695abscld 14462 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) ∈ ℝ)
9710ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ ℂ)
9897ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐹𝑣) ∈ ℂ)
9993, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝐸 ∈ ℂ)
10098, 99subcld 10646 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐹𝑣) − 𝐸) ∈ ℂ)
101100abscld 14462 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) ∈ ℝ)
10226ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐺𝑣) ∈ ℂ)
103102ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐺𝑣) ∈ ℂ)
10493, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝐼 ∈ ℂ)
105103, 104subcld 10646 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐺𝑣) − 𝐼) ∈ ℂ)
106105abscld 14462 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) ∈ ℝ)
107101, 106readdcld 10323 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼))) ∈ ℝ)
108 simpllr 793 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
109 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝜑𝑣𝐴)
110 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥(𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
11189, 110nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝐻
112 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑣
113111, 112nffv 6385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝐻𝑣)
114 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
1159, 114nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐹
116115, 112nffv 6385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝐹𝑣)
117 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 +
118 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥𝐴𝐶)
11925, 118nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐺
120119, 112nffv 6385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝐺𝑣)
121116, 117, 120nfov 6872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣))
122113, 121nfeq 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣))
123109, 122nfim 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝜑𝑣𝐴) → (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))
124 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥𝐴𝑣𝐴))
125124anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑣𝐴)))
126 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑣 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑣))
127 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑣 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑣))
128 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑣 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑣))
129127, 128oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))
130126, 129eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑣 → ((𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) ↔ (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣))))
131125, 130imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ↔ ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))))
132 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
13389fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
134132, 88, 133syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
1359fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
136132, 8, 135syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
137136eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = (𝐹𝑥))
13825fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴𝐶 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = 𝐶)
139132, 24, 138syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = 𝐶)
140139eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 = (𝐺𝑥))
141137, 140oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
142134, 141eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
143123, 131, 142chvar 2368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))
144143ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (𝐻𝑣) = ((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)))
145144oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)) − (𝐸 + 𝐼)))
14698, 103, 99, 104addsub4d 10693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (((𝐹𝑣) + (𝐺𝑣)) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹𝑣) − 𝐸) + ((𝐺𝑣) − 𝐼)))
147145, 146eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼)) = (((𝐹𝑣) − 𝐸) + ((𝐺𝑣) − 𝐼)))
148147fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) = (abs‘(((𝐹𝑣) − 𝐸) + ((𝐺𝑣) − 𝐼))))
149100, 105abstrid 14482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) − 𝐸) + ((𝐺𝑣) − 𝐼))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼))))
150148, 149eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼))))
151 simplr 785 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2))
152 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))
153101, 106, 108, 151, 152lt2halvesd 11526 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → ((abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) + (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼))) < 𝑦)
15496, 107, 108, 150, 153lelttrd 10449 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑣𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)
15576, 87, 154syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)
1561553exp 1148 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → (𝑣𝐴 → ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))
15744, 156ralrimi 3104 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
158 brimralrspcev 4870 . . . . . . 7 ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
15938, 157, 158syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
1601593exp 1148 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → ((∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))))
161160rexlimdvv 3184 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑎) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑏) → (abs‘((𝐺𝑣) − 𝐼)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))
16236, 161mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
163162ralrimiva 3113 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
16490, 11, 14ellimc3 23934 . 2 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷) ↔ ((𝐸 + 𝐼) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐻𝑣) − (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))))
1657, 163, 164mpbir2and 704 1 (𝜑 → (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  2c2 11327  +crp 12028  abscabs 14261   lim climc 23917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-rest 16351  df-topn 16352  df-topgen 16372  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cnp 21312  df-xms 22404  df-ms 22405  df-limc 23921
This theorem is referenced by:  sublimc  40454  reclimc  40455  fourierdlem53  40945  fourierdlem60  40952  fourierdlem61  40953
  Copyright terms: Public domain W3C validator