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Theorem addlimc 44354
Description: Sum of two limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlimc.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
addlimc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
addlimc.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))
addlimc.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
addlimc.c ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
addlimc.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
addlimc.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
Assertion
Ref Expression
addlimc (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐷))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem addlimc
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25391 . . . 4 (𝐹 limβ„‚ 𝐷) βŠ† β„‚
2 addlimc.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
31, 2sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
4 limccl 25391 . . . 4 (𝐺 limβ„‚ 𝐷) βŠ† β„‚
5 addlimc.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
64, 5sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„‚)
73, 6addcld 11232 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐼) ∈ β„‚)
8 addlimc.b . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
9 addlimc.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
108, 9fmptd 7113 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
119, 8, 2limcmptdm 44341 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
12 limcrcl 25390 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
132, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
1413simp3d 1144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
1510, 11, 14ellimc3 25395 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧))))
162, 15mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧)))
1716simprd 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧))
18 rphalfcl 13000 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
19 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦 / 2) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
2019imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / 2) β†’ (((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧) ↔ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
2120rexralbidv 3220 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑦 / 2) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
2221rspccva 3611 . . . . . 6 ((βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
2317, 18, 22syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
24 addlimc.c . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
25 addlimc.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
2624, 25fmptd 7113 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
2726, 11, 14ellimc3 25395 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝐼 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧))))
285, 27mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧)))
2928simprd 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧))
30 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑦 / 2) β†’ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
3130imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / 2) β†’ (((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧) ↔ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3231rexralbidv 3220 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑦 / 2) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3332rspccva 3611 . . . . . 6 ((βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < 𝑧) ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
3429, 18, 33syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
35 reeanv 3226 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
3623, 34, 35sylanbrc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
37 ifcl 4573 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ+)
38373ad2ant2 1134 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ+)
39 nfv 1917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑣(πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
40 nfv 1917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑣(π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)
41 nfra1 3281 . . . . . . . . . 10 β„²π‘£βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2))
42 nfra1 3281 . . . . . . . . . 10 β„²π‘£βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))
4341, 42nfan 1902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑣(βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
4439, 40, 43nf3an 1904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑣((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
45 simp11l 1284 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ πœ‘)
46 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
4745, 46jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
48 rpre 12981 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
50493ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
51503ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
52 simp13l 1288 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
53 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ 𝑣 β‰  𝐷)
5411sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
5545, 46, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
5645, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
5755, 56subcld 11570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝐷) ∈ β„‚)
5857abscld 15382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) ∈ ℝ)
5938rpred 13015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ)
60593ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ)
61 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
6261rpred 13015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
63623ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
64633ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
65 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))
66 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
6766rpred 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
68 min1 13167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
6962, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
70693ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
71703ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ π‘Ž)
7258, 60, 64, 65, 71ltletrd 11373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž)
7353, 72jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž))
74 rsp 3244 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2))))
7552, 46, 73, 74syl3c 66 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2))
7647, 51, 75jca31 515 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)))
77 simp13r 1289 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))
78673ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
79783ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
80 min2 13168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
8162, 67, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
82813ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
83823ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ≀ 𝑏)
8458, 60, 79, 65, 83ltletrd 11373 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏)
8553, 84jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏))
86 rsp 3244 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))))
8777, 46, 85, 86syl3c 66 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))
888, 24addcld 11232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚)
89 addlimc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))
9088, 89fmptd 7113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„‚)
9190ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘£) ∈ β„‚)
9291ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (π»β€˜π‘£) ∈ β„‚)
93 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ πœ‘)
9493, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (𝐸 + 𝐼) ∈ β„‚)
9592, 94subcld 11570 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼)) ∈ β„‚)
9695abscld 15382 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) ∈ ℝ)
9710ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ β„‚)
9897ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ β„‚)
9993, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
10098, 99subcld 11570 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸) ∈ β„‚)
101100abscld 15382 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) ∈ ℝ)
10226ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ β„‚)
103102ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ β„‚)
10493, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ 𝐼 ∈ β„‚)
105103, 104subcld 11570 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼) ∈ β„‚)
106105abscld 15382 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) ∈ ℝ)
107101, 106readdcld 11242 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼))) ∈ ℝ)
108 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
109 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)
110 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))
11189, 110nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯𝐻
112 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯𝑣
113111, 112nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(π»β€˜π‘£)
114 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
1159, 114nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯𝐹
116115, 112nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘£)
117 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯ +
118 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
11925, 118nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯𝐺
120119, 112nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(πΊβ€˜π‘£)
121116, 117, 120nfov 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£))
122113, 121nfeq 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(π»β€˜π‘£) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£))
123109, 122nfim 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘£) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)))
124 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑣 ∈ 𝐴))
125124anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)))
126 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘£))
127 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘£))
128 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘£))
129127, 128oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)))
130126, 129eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ (π»β€˜π‘£) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£))))
131125, 130imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘£) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)))))
132 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
13389fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (𝐡 + 𝐢))
134132, 88, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (𝐡 + 𝐢))
1359fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐡)
136132, 8, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐡)
137136eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = (πΉβ€˜π‘₯))
13825fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 𝐢)
139132, 24, 138syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 𝐢)
140139eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 = (πΊβ€˜π‘₯))
141137, 140oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) = ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))
142134, 141eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))
143123, 131, 142chvarfv 2233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘£) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)))
144143ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (π»β€˜π‘£) = ((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)))
145144oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼)) = (((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)) βˆ’ (𝐸 + 𝐼)))
14698, 103, 99, 104addsub4d 11617 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (((πΉβ€˜π‘£) + (πΊβ€˜π‘£)) βˆ’ (𝐸 + 𝐼)) = (((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸) + ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)))
147145, 146eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼)) = (((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸) + ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)))
148147fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸) + ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼))))
149100, 105abstrid 15402 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸) + ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼))) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼))))
150148, 149eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼))))
151 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2))
152 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))
153101, 106, 108, 151, 152lt2halvesd 12459 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) + (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼))) < 𝑦)
15496, 107, 108, 150, 153lelttrd 11371 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)
15576, 87, 154syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏))) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)
1561553exp 1119 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))
15744, 156ralrimi 3254 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
158 brimralrspcev 5209 . . . . . . 7 ((if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < if(π‘Ž ≀ 𝑏, π‘Ž, 𝑏)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
15938, 157, 158syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
1601593exp 1119 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))))
161160rexlimdvv 3210 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐸)) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐼)) < (𝑦 / 2))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦)))
16236, 161mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
163162ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))
16490, 11, 14ellimc3 25395 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐷) ↔ ((𝐸 + 𝐼) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘£) βˆ’ (𝐸 + 𝐼))) < 𝑦))))
1657, 163, 164mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐼) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108   + caddc 11112   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  β„+crp 12973  abscabs 15180   limβ„‚ climc 25378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cnp 22731  df-xms 23825  df-ms 23826  df-limc 25382
This theorem is referenced by:  sublimc  44358  reclimc  44359  fourierdlem53  44865  fourierdlem60  44872  fourierdlem61  44873
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