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Theorem neglimc 44917
Description: Limit of the negative function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
neglimc.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
neglimc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡)
neglimc.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
neglimc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
Assertion
Ref Expression
neglimc (πœ‘ β†’ -𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem neglimc
Dummy variables 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25754 . . . 4 (𝐹 limβ„‚ 𝐷) βŠ† β„‚
2 neglimc.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
31, 2sselid 3975 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
43negcld 11559 . 2 (πœ‘ β†’ -𝐢 ∈ β„‚)
5 neglimc.b . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 neglimc.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
75, 6fmptd 7108 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
86, 5, 2limcmptdm 44905 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9 limcrcl 25753 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
102, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
1110simp3d 1141 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
127, 8, 11ellimc3 25758 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦))))
132, 12mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦)))
1413simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦))
1514r19.21bi 3242 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦))
16 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ πœ‘)
17163ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀)) β†’ πœ‘)
18 simp1r 1195 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
19 simp3 1135 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀)) β†’ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀))
20 simp2 1134 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀)) β†’ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦))
2119, 20mpd 15 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦)
22 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)
23 neglimc.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡)
24 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡)
2523, 24nfcxfr 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯𝐺
26 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯𝑣
2725, 26nffv 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯(πΊβ€˜π‘£)
28 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
296, 28nfcxfr 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯𝐹
3029, 26nffv 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘£)
3130nfneg 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯-(πΉβ€˜π‘£)
3227, 31nfeq 2910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(πΊβ€˜π‘£) = -(πΉβ€˜π‘£)
3322, 32nfim 1891 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = -(πΉβ€˜π‘£))
34 eleq1w 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑣 ∈ 𝐴))
3534anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)))
36 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘£))
37 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘£))
3837negeqd 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘£))
3936, 38eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΊβ€˜π‘£) = -(πΉβ€˜π‘£)))
4035, 39imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = -(πΉβ€˜π‘£))))
41 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
425negcld 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝐡 ∈ β„‚)
4323fvmpt2 7002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ -𝐡 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = -𝐡)
4441, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = -𝐡)
456fvmpt2 7002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐡)
4641, 5, 45syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐡)
4746negeqd 11455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) = -𝐡)
4844, 47eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯))
4933, 40, 48chvarfv 2225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = -(πΉβ€˜π‘£))
5049oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢) = (-(πΉβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢))
517ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ β„‚)
523adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5351, 52negsubdi3d 44557 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ -((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢) = (-(πΉβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢))
5450, 53eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢) = -((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢))
5554fveq2d 6888 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) = (absβ€˜-((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)))
5651, 52subcld 11572 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
5756absnegd 15399 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜-((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)))
5855, 57eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)))
5958adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)))
60 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦)
6159, 60eqbrtrd 5163 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦)
6217, 18, 21, 61syl21anc 835 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦)
63623exp 1116 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) β†’ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦)))
6463ralimdva 3161 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦)))
6564reximdva 3162 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦)))
6615, 65mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦))
6766ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦))
6842, 23fmptd 7108 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
6968, 8, 11ellimc3 25758 . 2 (πœ‘ β†’ (-𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷) ↔ (-𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦))))
704, 67, 69mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ -𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107   < clt 11249   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  β„+crp 12977  abscabs 15184   limβ„‚ climc 25741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cnp 23082  df-xms 24176  df-ms 24177  df-limc 25745
This theorem is referenced by:  sublimc  44922  reclimc  44923
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