Theorem neglimc 45632

Description: Limit of the negative function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
neglimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
neglimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
neglimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
neglimc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
neglimc	⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem neglimc

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25792	. . . 4 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
2		neglimc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
3	1, 2	sselid 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	negcld 11480	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℂ)
5		neglimc.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		neglimc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	5, 6	fmptd 7052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8	6, 5, 2	limcmptdm 45620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		limcrcl 25791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
11	10	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
12	7, 8, 11	ellimc3 25796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))))
13	2, 12	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)))
14	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
15	14	r19.21bi 3221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
16		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝜑)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → 𝜑)
18		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
19		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤))
20		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
21	19, 20	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)
22		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)
23		neglimc.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
24		nfmpt1 5194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
25	23, 24	nfcxfr 2889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
26		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝑣
27	25, 26	nffv 6836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑣)
28		nfmpt1 5194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
29	6, 28	nfcxfr 2889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
30	29, 26	nffv 6836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑣)
31	30	nfneg 11377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥-(𝐹‘𝑣)
32	27, 31	nfeq 2905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣)
33	22, 32	nfim 1896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣))
34		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑣 ∈ 𝐴))
35	34	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)))
36		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑣))
37		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑣))
38	37	negeqd 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → -(𝐹‘𝑥) = -(𝐹‘𝑣))
39	36, 38	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐺‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣)))
40	35, 39	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣))))
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
42	5	negcld 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
43	23	fvmpt2 6945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) = -𝐵)
44	41, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = -𝐵)
45	6	fvmpt2 6945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
46	41, 5, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
47	46	negeqd 11375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(𝐹‘𝑥) = -𝐵)
48	44, 47	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
49	33, 40, 48	chvarfv 2241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣))
50	49	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑣) − -𝐶) = (-(𝐹‘𝑣) − -𝐶))
51	7	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑣) ∈ ℂ)
52	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
53	51, 52	negsubdi3d 45278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → -((𝐹‘𝑣) − 𝐶) = (-(𝐹‘𝑣) − -𝐶))
54	50, 53	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑣) − -𝐶) = -((𝐹‘𝑣) − 𝐶))
55	54	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) = (abs‘-((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
56	51, 52	subcld 11493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑣) − 𝐶) ∈ ℂ)
57	56	absnegd 15377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘-((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) = (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
58	55, 57	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) = (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) = (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
60		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)
61	59, 60	eqbrtrd 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)
62	17, 18, 21, 61	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)
63	62	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
64	63	ralimdva 3141	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
65	64	reximdva 3142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
66	15, 65	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))
67	66	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))
68	42, 23	fmptd 7052	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
69	68, 8, 11	ellimc3 25796	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ (-𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))))
70	4, 67, 69	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   < clt 11168   − cmin 11365  -cneg 11366  ℝ⁺crp 12911  abscabs 15159   lim_ℂ climc 25779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17344  df-topn 17345  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cnp 23131  df-xms 24224  df-ms 24225  df-limc 25783

This theorem is referenced by:  sublimc  45637  reclimc  45638