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Theorem neglimc 43432
Description: Limit of the negative function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
neglimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
neglimc.g 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ -𝐵)
neglimc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
neglimc.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
neglimc (𝜑 → -𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem neglimc
Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25110 . . . 4 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 neglimc.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
31, 2sselid 3928 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
43negcld 11389 . 2 (𝜑 → -𝐶 ∈ ℂ)
5 neglimc.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 neglimc.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
75, 6fmptd 7025 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
86, 5, 2limcmptdm 43420 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
9 limcrcl 25109 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
102, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
1110simp3d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
127, 8, 11ellimc3 25114 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))))
132, 12mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)))
1413simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
1514r19.21bi 3231 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
16 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → 𝜑)
17163ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) ∧ ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤)) → 𝜑)
18 simp1r 1197 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) ∧ ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤)) → 𝑣𝐴)
19 simp3 1137 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) ∧ ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤)) → (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤))
20 simp2 1136 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) ∧ ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤)) → ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
2119, 20mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) ∧ ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)
22 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝜑𝑣𝐴)
23 neglimc.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ -𝐵)
24 nfmpt1 5193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑥𝐴 ↦ -𝐵)
2523, 24nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝐺
26 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝑣
2725, 26nffv 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝐺𝑣)
28 nfmpt1 5193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
296, 28nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝐹
3029, 26nffv 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐹𝑣)
3130nfneg 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥-(𝐹𝑣)
3227, 31nfeq 2918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝐺𝑣) = -(𝐹𝑣)
3322, 32nfim 1898 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥((𝜑𝑣𝐴) → (𝐺𝑣) = -(𝐹𝑣))
34 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥𝐴𝑣𝐴))
3534anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑣𝐴)))
36 fveq2 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑣))
37 fveq2 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑣 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑣))
3837negeqd 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑣))
3936, 38eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → ((𝐺𝑥) = -(𝐹𝑥) ↔ (𝐺𝑣) = -(𝐹𝑣)))
4035, 39imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = -(𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐺𝑣) = -(𝐹𝑣))))
41 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
425negcld 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
4323fvmpt2 6923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴 ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = -𝐵)
4441, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = -𝐵)
456fvmpt2 6923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
4641, 5, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
4746negeqd 11285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → -(𝐹𝑥) = -𝐵)
4844, 47eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = -(𝐹𝑥))
4933, 40, 48chvarfv 2232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐺𝑣) = -(𝐹𝑣))
5049oveq1d 7328 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐴) → ((𝐺𝑣) − -𝐶) = (-(𝐹𝑣) − -𝐶))
517ffvelcdmda 6998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ ℂ)
523adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
5351, 52negsubdi3d 43075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐴) → -((𝐹𝑣) − 𝐶) = (-(𝐹𝑣) − -𝐶))
5450, 53eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝐴) → ((𝐺𝑣) − -𝐶) = -((𝐹𝑣) − 𝐶))
5554fveq2d 6813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘((𝐺𝑣) − -𝐶)) = (abs‘-((𝐹𝑣) − 𝐶)))
5651, 52subcld 11402 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝐴) → ((𝐹𝑣) − 𝐶) ∈ ℂ)
5756absnegd 15230 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘-((𝐹𝑣) − 𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)))
5855, 57eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘((𝐺𝑣) − -𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)))
5958adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝐴) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐺𝑣) − -𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)))
60 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝐴) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)
6159, 60eqbrtrd 5107 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑣𝐴) ∧ (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐺𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)
6217, 18, 21, 61syl21anc 835 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) ∧ ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐺𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)
63623exp 1118 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → (((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
6463ralimdva 3161 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
6564reximdva 3162 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
6615, 65mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))
6766ralrimiva 3140 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))
6842, 23fmptd 7025 . . 3 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
6968, 8, 11ellimc3 25114 . 2 (𝜑 → (-𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (-𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐷 ∧ (abs‘(𝑣𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))))
704, 67, 69mpbir2and 710 1 (𝜑 → -𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3896   class class class wbr 5085  cmpt 5168  dom cdm 5605  wf 6459  cfv 6463  (class class class)co 7313  cc 10939   < clt 11079  cmin 11275  -cneg 11276  +crp 12800  abscabs 15014   lim climc 25097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-pm 8664  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-fi 9238  df-sup 9269  df-inf 9270  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xneg 12918  df-xadd 12919  df-xmul 12920  df-fz 13310  df-seq 13792  df-exp 13853  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-struct 16915  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-starv 17044  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-unif 17052  df-rest 17200  df-topn 17201  df-topgen 17221  df-psmet 20660  df-xmet 20661  df-met 20662  df-bl 20663  df-mopn 20664  df-cnfld 20669  df-top 22114  df-topon 22131  df-topsp 22153  df-bases 22167  df-cnp 22450  df-xms 23544  df-ms 23545  df-limc 25101
This theorem is referenced by:  sublimc  43437  reclimc  43438
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