Theorem neglimc 45676

Description: Limit of the negative function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
neglimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
neglimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
neglimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
neglimc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
neglimc	⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem neglimc

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25828	. . . 4 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
2		neglimc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
3	1, 2	sselid 3956	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	negcld 11581	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℂ)
5		neglimc.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		neglimc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	5, 6	fmptd 7104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8	6, 5, 2	limcmptdm 45664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		limcrcl 25827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
11	10	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
12	7, 8, 11	ellimc3 25832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))))
13	2, 12	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)))
14	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
15	14	r19.21bi 3234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
16		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝜑)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → 𝜑)
18		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
19		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤))
20		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
21	19, 20	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)
22		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)
23		neglimc.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
24		nfmpt1 5220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
25	23, 24	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
26		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝑣
27	25, 26	nffv 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑣)
28		nfmpt1 5220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
29	6, 28	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
30	29, 26	nffv 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑣)
31	30	nfneg 11478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥-(𝐹‘𝑣)
32	27, 31	nfeq 2912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣)
33	22, 32	nfim 1896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣))
34		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑣 ∈ 𝐴))
35	34	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)))
36		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑣))
37		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑣))
38	37	negeqd 11476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → -(𝐹‘𝑥) = -(𝐹‘𝑣))
39	36, 38	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐺‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣)))
40	35, 39	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣))))
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
42	5	negcld 11581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
43	23	fvmpt2 6997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) = -𝐵)
44	41, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = -𝐵)
45	6	fvmpt2 6997	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
46	41, 5, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
47	46	negeqd 11476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(𝐹‘𝑥) = -𝐵)
48	44, 47	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
49	33, 40, 48	chvarfv 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣))
50	49	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑣) − -𝐶) = (-(𝐹‘𝑣) − -𝐶))
51	7	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑣) ∈ ℂ)
52	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
53	51, 52	negsubdi3d 45322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → -((𝐹‘𝑣) − 𝐶) = (-(𝐹‘𝑣) − -𝐶))
54	50, 53	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑣) − -𝐶) = -((𝐹‘𝑣) − 𝐶))
55	54	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) = (abs‘-((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
56	51, 52	subcld 11594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑣) − 𝐶) ∈ ℂ)
57	56	absnegd 15468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘-((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) = (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
58	55, 57	eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) = (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) = (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
60		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)
61	59, 60	eqbrtrd 5141	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)
62	17, 18, 21, 61	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)
63	62	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
64	63	ralimdva 3152	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
65	64	reximdva 3153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
66	15, 65	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))
67	66	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))
68	42, 23	fmptd 7104	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
69	68, 8, 11	ellimc3 25832	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ (-𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))))
70	4, 67, 69	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   < clt 11269   − cmin 11466  -cneg 11467  ℝ⁺crp 13008  abscabs 15253   lim_ℂ climc 25815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-rest 17436  df-topn 17437  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cnp 23166  df-xms 24259  df-ms 24260  df-limc 25819

This theorem is referenced by:  sublimc  45681  reclimc  45682