Theorem neglimc 46093

Description: Limit of the negative function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
neglimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
neglimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
neglimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
neglimc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
neglimc	⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem neglimc

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25852	. . . 4 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
2		neglimc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
3	1, 2	sselid 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	negcld 11483	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℂ)
5		neglimc.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		neglimc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	5, 6	fmptd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8	6, 5, 2	limcmptdm 46081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		limcrcl 25851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
11	10	simp3d 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
12	7, 8, 11	ellimc3 25856	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))))
13	2, 12	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)))
14	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
15	14	r19.21bi 3230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
16		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝜑)
17	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → 𝜑)
18		simp1r 1200	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
19		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤))
20		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
21	19, 20	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)
22		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)
23		neglimc.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
24		nfmpt1 5185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
25	23, 24	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
26		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝑣
27	25, 26	nffv 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑣)
28		nfmpt1 5185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
29	6, 28	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
30	29, 26	nffv 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑣)
31	30	nfneg 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥-(𝐹‘𝑣)
32	27, 31	nfeq 2913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣)
33	22, 32	nfim 1898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣))
34		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑣 ∈ 𝐴))
35	34	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)))
36		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑣))
37		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑣))
38	37	negeqd 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → -(𝐹‘𝑥) = -(𝐹‘𝑣))
39	36, 38	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐺‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣)))
40	35, 39	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣))))
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
42	5	negcld 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
43	23	fvmpt2 6953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) = -𝐵)
44	41, 42, 43	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = -𝐵)
45	6	fvmpt2 6953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
46	41, 5, 45	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
47	46	negeqd 11378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(𝐹‘𝑥) = -𝐵)
48	44, 47	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
49	33, 40, 48	chvarfv 2248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣))
50	49	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑣) − -𝐶) = (-(𝐹‘𝑣) − -𝐶))
51	7	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑣) ∈ ℂ)
52	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
53	51, 52	negsubdi3d 45744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → -((𝐹‘𝑣) − 𝐶) = (-(𝐹‘𝑣) − -𝐶))
54	50, 53	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑣) − -𝐶) = -((𝐹‘𝑣) − 𝐶))
55	54	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) = (abs‘-((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
56	51, 52	subcld 11496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑣) − 𝐶) ∈ ℂ)
57	56	absnegd 15405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘-((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) = (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
58	55, 57	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) = (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) = (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
60		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)
61	59, 60	eqbrtrd 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)
62	17, 18, 21, 61	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)
63	62	3exp 1120	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
64	63	ralimdva 3150	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
65	64	reximdva 3151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
66	15, 65	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))
67	66	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))
68	42, 23	fmptd 7060	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
69	68, 8, 11	ellimc3 25856	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ (-𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))))
70	4, 67, 69	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   < clt 11170   − cmin 11368  -cneg 11369  ℝ⁺crp 12933  abscabs 15187   lim_ℂ climc 25839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cnp 23203  df-xms 24295  df-ms 24296  df-limc 25843

This theorem is referenced by:  sublimc  46098  reclimc  46099