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Theorem neglimc 45064
Description: Limit of the negative function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
neglimc.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
neglimc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡)
neglimc.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
neglimc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
Assertion
Ref Expression
neglimc (πœ‘ β†’ -𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem neglimc
Dummy variables 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25824 . . . 4 (𝐹 limβ„‚ 𝐷) βŠ† β„‚
2 neglimc.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
31, 2sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
43negcld 11596 . 2 (πœ‘ β†’ -𝐢 ∈ β„‚)
5 neglimc.b . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 neglimc.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
75, 6fmptd 7129 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
86, 5, 2limcmptdm 45052 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9 limcrcl 25823 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
102, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
1110simp3d 1141 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
127, 8, 11ellimc3 25828 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦))))
132, 12mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦)))
1413simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦))
1514r19.21bi 3246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦))
16 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ πœ‘)
17163ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀)) β†’ πœ‘)
18 simp1r 1195 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
19 simp3 1135 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀)) β†’ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀))
20 simp2 1134 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀)) β†’ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦))
2119, 20mpd 15 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦)
22 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)
23 neglimc.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡)
24 nfmpt1 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡)
2523, 24nfcxfr 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯𝐺
26 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯𝑣
2725, 26nffv 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯(πΊβ€˜π‘£)
28 nfmpt1 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
296, 28nfcxfr 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯𝐹
3029, 26nffv 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘£)
3130nfneg 11494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯-(πΉβ€˜π‘£)
3227, 31nfeq 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(πΊβ€˜π‘£) = -(πΉβ€˜π‘£)
3322, 32nfim 1891 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = -(πΉβ€˜π‘£))
34 eleq1w 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑣 ∈ 𝐴))
3534anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)))
36 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘£))
37 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘£))
3837negeqd 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘£))
3936, 38eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΊβ€˜π‘£) = -(πΉβ€˜π‘£)))
4035, 39imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = -(πΉβ€˜π‘£))))
41 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
425negcld 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝐡 ∈ β„‚)
4323fvmpt2 7021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ -𝐡 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = -𝐡)
4441, 42, 43syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = -𝐡)
456fvmpt2 7021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐡)
4641, 5, 45syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐡)
4746negeqd 11492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) = -𝐡)
4844, 47eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯))
4933, 40, 48chvarfv 2228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = -(πΉβ€˜π‘£))
5049oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢) = (-(πΉβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢))
517ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ β„‚)
523adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5351, 52negsubdi3d 44704 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ -((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢) = (-(πΉβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢))
5450, 53eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢) = -((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢))
5554fveq2d 6906 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) = (absβ€˜-((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)))
5651, 52subcld 11609 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
5756absnegd 15436 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜-((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)))
5855, 57eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)))
5958adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)))
60 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦)
6159, 60eqbrtrd 5174 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦)
6217, 18, 21, 61syl21anc 836 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ∧ (𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦)
63623exp 1116 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) β†’ ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦)))
6463ralimdva 3164 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦)))
6564reximdva 3165 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦)))
6615, 65mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦))
6766ralrimiva 3143 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦))
6842, 23fmptd 7129 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
6968, 8, 11ellimc3 25828 . 2 (πœ‘ β†’ (-𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷) ↔ (-𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘£) βˆ’ -𝐢)) < 𝑦))))
704, 67, 69mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ -𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144   < clt 11286   βˆ’ cmin 11482  -cneg 11483  β„+crp 13014  abscabs 15221   limβ„‚ climc 25811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cnp 23152  df-xms 24246  df-ms 24247  df-limc 25815
This theorem is referenced by:  sublimc  45069  reclimc  45070
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