MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0vlid 20734
Description: Left identity law for the zero vector. (hvaddlid 30710 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vlid.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vlid.a + = (+g𝑊)
0vlid.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmod0vlid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem lmod0vlid
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 20709 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 0vlid.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 0vlid.a . . 3 + = (+g𝑊)
4 0vlid.z . . 3 0 = (0g𝑊)
52, 3, 4grplid 18895 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
61, 5sylan 579 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  LModclmod 20702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-lmod 20704
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  20747  lsssn0  20791  lspfixed  20975  lspexch  20976  lsmsat  38344  dochfl1  40813  baerlem5blem1  41046
  Copyright terms: Public domain W3C validator