Theorem lsssn0 20124

Description: The singleton of the zero vector is a subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssn0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsssn0

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
5		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
6		lss0cl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		lss0cl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10	8, 9	lmod0vcl 20067	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	snssd 4739	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝑊))
12	9	fvexi 6770	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
13	12	snnz 4709	. . 3 ⊢ { 0 } ≠ ∅
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ≠ ∅)
15		simpr2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 ∈ { 0 })
16		elsni 4575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ { 0 } → 𝑎 = 0 )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 = 0 )
18	17	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
19		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
22	19, 20, 21, 9	lmodvs0 20072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
23	22	3ad2antr1 1186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
24	18, 23	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) = 0 )
25		simpr3 1194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 ∈ { 0 })
26		elsni 4575	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ { 0 } → 𝑏 = 0 )
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 = 0 )
28	24, 27	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = ( 0 (+g‘𝑊) 0 ))
29		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
30	8, 29, 9	lmod0vlid 20068	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
31	10, 30	mpdan 683	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
33	28, 32	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = 0 )
34		ovex 7288	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V
35	34	elsn 4573	. . 3 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = 0 )
36	33, 35	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ { 0 })
37	1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 14, 36	islssd 20112	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∅c0 4253  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109

This theorem is referenced by:  lspsn0  20185  lsp0  20186  lmhmkerlss  20228  lidl0  20403  lsatcv0  36972  lsatcveq0  36973  lsat0cv  36974  lsatcv0eq  36988  dochsat  39324  mapd0  39606  mapdcnvatN  39607  mapdat  39608  mapdn0  39610  hdmapeq0  39785