Theorem lsssn0 20969

Description: The singleton of the zero vector is a subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssn0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsssn0

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2741	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2741	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		eqidd 2741	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4		eqidd 2741	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
5		eqidd 2741	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
6		lss0cl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		lss0cl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10	8, 9	lmod0vcl 20911	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	snssd 4834	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝑊))
12	9	fvexi 6934	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
13	12	snnz 4801	. . 3 ⊢ { 0 } ≠ ∅
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ≠ ∅)
15		simpr2 1195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 ∈ { 0 })
16		elsni 4665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ { 0 } → 𝑎 = 0 )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 = 0 )
18	17	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
19		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
22	19, 20, 21, 9	lmodvs0 20916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
23	22	3ad2antr1 1188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
24	18, 23	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) = 0 )
25		simpr3 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 ∈ { 0 })
26		elsni 4665	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ { 0 } → 𝑏 = 0 )
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 = 0 )
28	24, 27	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = ( 0 (+g‘𝑊) 0 ))
29		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
30	8, 29, 9	lmod0vlid 20912	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
31	10, 30	mpdan 686	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
33	28, 32	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = 0 )
34		ovex 7481	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V
35	34	elsn 4663	. . 3 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = 0 )
36	33, 35	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ { 0 })
37	1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 14, 36	islssd 20956	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lss 20953

This theorem is referenced by:  lspsn0  21029  lsp0  21030  lmhmkerlss  21073  lidl0ALT  21261  lsatcv0  38987  lsatcveq0  38988  lsat0cv  38989  lsatcv0eq  39003  dochsat  41340  mapd0  41622  mapdcnvatN  41623  mapdat  41624  mapdn0  41626  hdmapeq0  41801