MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsssn0 20408
Description: The singleton of the zero vector is a subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0cl.z 0 = (0g𝑊)
lss0cl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsssn0 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsssn0
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2737 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2737 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 eqidd 2737 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4 eqidd 2737 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (+g𝑊) = (+g𝑊))
5 eqidd 2737 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
6 lss0cl.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
76a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9 lss0cl.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
108, 9lmod0vcl 20351 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
1110snssd 4769 . 2 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝑊))
129fvexi 6856 . . . 4 0 ∈ V
1312snnz 4737 . . 3 { 0 } ≠ ∅
1413a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ≠ ∅)
15 simpr2 1195 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 ∈ { 0 })
16 elsni 4603 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ { 0 } → 𝑎 = 0 )
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 = 0 )
1817oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) = (𝑥( ·𝑠𝑊) 0 ))
19 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20 eqid 2736 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
21 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2219, 20, 21, 9lmodvs0 20356 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊) 0 ) = 0 )
23223ad2antr1 1188 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠𝑊) 0 ) = 0 )
2418, 23eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) = 0 )
25 simpr3 1196 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 ∈ { 0 })
26 elsni 4603 . . . . . 6 (𝑏 ∈ { 0 } → 𝑏 = 0 )
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 = 0 )
2824, 27oveq12d 7375 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ( 0 (+g𝑊) 0 ))
29 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
308, 29, 9lmod0vlid 20352 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 0 (+g𝑊) 0 ) = 0 )
3110, 30mpdan 685 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → ( 0 (+g𝑊) 0 ) = 0 )
3231adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ( 0 (+g𝑊) 0 ) = 0 )
3328, 32eqtrd 2776 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = 0 )
34 ovex 7390 . . . 4 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V
3534elsn 4601 . . 3 (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = 0 )
3633, 35sylibr 233 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ { 0 })
371, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 14, 36islssd 20396 1 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  c0 4282  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-mgp 19897  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393
This theorem is referenced by:  lspsn0  20469  lsp0  20470  lmhmkerlss  20512  lidl0  20689  lsatcv0  37493  lsatcveq0  37494  lsat0cv  37495  lsatcv0eq  37509  dochsat  39846  mapd0  40128  mapdcnvatN  40129  mapdat  40130  mapdn0  40132  hdmapeq0  40307
  Copyright terms: Public domain W3C validator