MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsssn0 20793
Description: The singleton of the zero vector is a subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0cl.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lss0cl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsssn0 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsssn0
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2727 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š))
2 eqidd 2727 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3 eqidd 2727 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š))
4 eqidd 2727 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
5 eqidd 2727 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
6 lss0cl.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
76a1i 11 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
8 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
9 lss0cl.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
108, 9lmod0vcl 20735 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1110snssd 4807 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
129fvexi 6898 . . . 4 0 ∈ V
1312snnz 4775 . . 3 { 0 } β‰  βˆ…
1413a1i 11 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } β‰  βˆ…)
15 simpr2 1192 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ π‘Ž ∈ { 0 })
16 elsni 4640 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ { 0 } β†’ π‘Ž = 0 )
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ π‘Ž = 0 )
1817oveq2d 7420 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ))
19 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
20 eqid 2726 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
21 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2219, 20, 21, 9lmodvs0 20740 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
23223ad2antr1 1185 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
2418, 23eqtrd 2766 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) = 0 )
25 simpr3 1193 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ 𝑏 ∈ { 0 })
26 elsni 4640 . . . . . 6 (𝑏 ∈ { 0 } β†’ 𝑏 = 0 )
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ 𝑏 = 0 )
2824, 27oveq12d 7422 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = ( 0 (+gβ€˜π‘Š) 0 ))
29 eqid 2726 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
308, 29, 9lmod0vlid 20736 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
3110, 30mpdan 684 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
3231adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
3328, 32eqtrd 2766 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = 0 )
34 ovex 7437 . . . 4 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ V
3534elsn 4638 . . 3 (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = 0 )
3633, 35sylibr 233 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ { 0 })
371, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 14, 36islssd 20780 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ…c0 4317  {csn 4623  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777
This theorem is referenced by:  lspsn0  20853  lsp0  20854  lmhmkerlss  20897  lidl0ALT  21085  lsatcv0  38412  lsatcveq0  38413  lsat0cv  38414  lsatcv0eq  38428  dochsat  40765  mapd0  41047  mapdcnvatN  41048  mapdat  41049  mapdn0  41051  hdmapeq0  41226
  Copyright terms: Public domain W3C validator