MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsssn0 20839
Description: The singleton of the zero vector is a subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0cl.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lss0cl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsssn0 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsssn0
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2729 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š))
2 eqidd 2729 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3 eqidd 2729 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š))
4 eqidd 2729 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
5 eqidd 2729 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
6 lss0cl.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
76a1i 11 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
8 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
9 lss0cl.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
108, 9lmod0vcl 20781 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1110snssd 4817 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
129fvexi 6916 . . . 4 0 ∈ V
1312snnz 4785 . . 3 { 0 } β‰  βˆ…
1413a1i 11 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } β‰  βˆ…)
15 simpr2 1192 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ π‘Ž ∈ { 0 })
16 elsni 4649 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ { 0 } β†’ π‘Ž = 0 )
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ π‘Ž = 0 )
1817oveq2d 7442 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ))
19 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
20 eqid 2728 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
21 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2219, 20, 21, 9lmodvs0 20786 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
23223ad2antr1 1185 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
2418, 23eqtrd 2768 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) = 0 )
25 simpr3 1193 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ 𝑏 ∈ { 0 })
26 elsni 4649 . . . . . 6 (𝑏 ∈ { 0 } β†’ 𝑏 = 0 )
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ 𝑏 = 0 )
2824, 27oveq12d 7444 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = ( 0 (+gβ€˜π‘Š) 0 ))
29 eqid 2728 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
308, 29, 9lmod0vlid 20782 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
3110, 30mpdan 685 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
3231adantr 479 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š) 0 ) = 0 )
3328, 32eqtrd 2768 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = 0 )
34 ovex 7459 . . . 4 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ V
3534elsn 4647 . . 3 (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) = 0 )
3633, 35sylibr 233 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ { 0 })
371, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 14, 36islssd 20826 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ…c0 4326  {csn 4632  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  0gc0g 17428  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823
This theorem is referenced by:  lspsn0  20899  lsp0  20900  lmhmkerlss  20943  lidl0ALT  21131  lsatcv0  38535  lsatcveq0  38536  lsat0cv  38537  lsatcv0eq  38551  dochsat  40888  mapd0  41170  mapdcnvatN  41171  mapdat  41172  mapdn0  41174  hdmapeq0  41349
  Copyright terms: Public domain W3C validator