Theorem lsssn0 21043

Description: The singleton of the zero vector is a subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssn0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsssn0

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
5		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
6		lss0cl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		lss0cl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10	8, 9	lmod0vcl 20986	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	snssd 4754	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝑊))
12	9	fvexi 6893	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
13	12	snnz 4744	. . 3 ⊢ { 0 } ≠ ∅
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ≠ ∅)
15		simpr2 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 ∈ { 0 })
16		elsni 4608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ { 0 } → 𝑎 = 0 )
17	15, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 = 0 )
18	17	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
19		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
22	19, 20, 21, 9	lmodvs0 20991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
23	22	3ad2antr1 1205	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
24	18, 23	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) = 0 )
25		simpr3 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 ∈ { 0 })
26		elsni 4608	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ { 0 } → 𝑏 = 0 )
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 = 0 )
28	24, 27	oveq12d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = ( 0 (+g‘𝑊) 0 ))
29		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
30	8, 29, 9	lmod0vlid 20987	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
31	10, 30	mpdan 699	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
32	31	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
33	28, 32	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = 0 )
34		ovex 7441	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V
35	34	elsn 4606	. . 3 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = 0 )
36	33, 35	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ { 0 })
37	1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 14, 36	islssd 21030	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294  {csn 4591  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  0_gc0g 17488  LModclmod 20955  LSubSpclss 21026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-lmod 20957  df-lss 21027

This theorem is referenced by:  lspsn0  21103  lsp0  21104  lmhmkerlss  21146  lidl0ALT  21328  lsatcv0  39690  lsatcveq0  39691  lsat0cv  39692  lsatcv0eq  39706  dochsat  42042  mapd0  42324  mapdcnvatN  42325  mapdat  42326  mapdn0  42328  hdmapeq0  42503