MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsssn0 20872
Description: The singleton of the zero vector is a subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0cl.z 0 = (0g𝑊)
lss0cl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsssn0 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsssn0
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2726 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2726 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 eqidd 2726 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4 eqidd 2726 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (+g𝑊) = (+g𝑊))
5 eqidd 2726 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
6 lss0cl.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
76a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8 eqid 2725 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9 lss0cl.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
108, 9lmod0vcl 20814 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
1110snssd 4817 . 2 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝑊))
129fvexi 6914 . . . 4 0 ∈ V
1312snnz 4784 . . 3 { 0 } ≠ ∅
1413a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ≠ ∅)
15 simpr2 1192 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 ∈ { 0 })
16 elsni 4649 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ { 0 } → 𝑎 = 0 )
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 = 0 )
1817oveq2d 7439 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) = (𝑥( ·𝑠𝑊) 0 ))
19 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20 eqid 2725 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
21 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2219, 20, 21, 9lmodvs0 20819 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊) 0 ) = 0 )
23223ad2antr1 1185 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠𝑊) 0 ) = 0 )
2418, 23eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) = 0 )
25 simpr3 1193 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 ∈ { 0 })
26 elsni 4649 . . . . . 6 (𝑏 ∈ { 0 } → 𝑏 = 0 )
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 = 0 )
2824, 27oveq12d 7441 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ( 0 (+g𝑊) 0 ))
29 eqid 2725 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
308, 29, 9lmod0vlid 20815 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 0 (+g𝑊) 0 ) = 0 )
3110, 30mpdan 685 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → ( 0 (+g𝑊) 0 ) = 0 )
3231adantr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ( 0 (+g𝑊) 0 ) = 0 )
3328, 32eqtrd 2765 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = 0 )
34 ovex 7456 . . . 4 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V
3534elsn 4647 . . 3 (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) = 0 )
3633, 35sylibr 233 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ { 0 })
371, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 14, 36islssd 20859 1 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  c0 4324  {csn 4632  cfv 6553  (class class class)co 7423  Basecbs 17208  +gcplusg 17261  Scalarcsca 17264   ·𝑠 cvsca 17265  0gc0g 17449  LModclmod 20783  LSubSpclss 20855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-lmod 20785  df-lss 20856
This theorem is referenced by:  lspsn0  20932  lsp0  20933  lmhmkerlss  20976  lidl0ALT  21164  lsatcv0  38689  lsatcveq0  38690  lsat0cv  38691  lsatcv0eq  38705  dochsat  41042  mapd0  41324  mapdcnvatN  41325  mapdat  41326  mapdn0  41328  hdmapeq0  41503
  Copyright terms: Public domain W3C validator