Theorem dochfl1 40981

Description: The value of the explicit functional 𝐺 is 1 at the 𝑋 that determines it. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochfl1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochfl1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochfl1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochfl1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochfl1.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dochfl1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dochfl1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochfl1.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dochfl1.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝐷)
dochfl1.i	⊢ 1 = (1r‘𝐷)
dochfl1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochfl1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
dochfl1.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))

Assertion

Ref	Expression
dochfl1	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   1 ,𝑘,𝑤   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   1 (𝑣)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem dochfl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochfl1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		eqeq1 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) ↔ 𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
4	3	rexbidv 3176	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) ↔ ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
5	4	riotabidv 7384	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) = (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
6		dochfl1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
7		riotaex 7386	. . . 4 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 7010	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
10		dochfl1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		dochfl1.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12		dochfl1.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13	10, 11, 12	dvhlmod 40615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
14	2	snssd 4817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
15		dochfl1.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
17		dochfl1.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
18	10, 11, 15, 16, 17	dochlss 40859	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	12, 14, 18	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20		dochfl1.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21	20, 16	lss0cl 20838	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → 0 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋}))
22	13, 19, 21	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋}))
23		dochfl1.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
24		dochfl1.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
25		dochfl1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
26	15, 23, 24, 25	lmodvs1 20780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
27	13, 2, 26	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
28	27	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 + ( 1 · 𝑋)) = ( 0 + 𝑋))
29		dochfl1.a	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑈)
30	15, 29, 20	lmod0vlid 20782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
31	13, 2, 30	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
32	28, 31	eqtr2d 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ( 0 + ( 1 · 𝑋)))
33		oveq1 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝑤 + ( 1 · 𝑋)) = ( 0 + ( 1 · 𝑋)))
34	33	rspceeqv 3633	. . . 4 ⊢ (( 0 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋}) ∧ 𝑋 = ( 0 + ( 1 · 𝑋))) → ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)))
35	22, 32, 34	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)))
36	23	lmodring 20758	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
37		dochfl1.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝐷)
38	37, 25	ringidcl 20209	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑅)
39	13, 36, 38	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑅)
40		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
41		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
42		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
43	10, 11, 12	dvhlvec 40614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
44	10, 17, 11, 15, 20, 42, 12, 1	dochsnshp 40958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
45	10, 17, 11, 15, 20, 40, 41, 12, 1	dochexmidat 40964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = 𝑉)
46	15, 29, 40, 41, 42, 43, 44, 2, 2, 45, 23, 37, 24	lshpsmreu 38613	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))
47		oveq1 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · 𝑋) = ( 1 · 𝑋))
48	47	oveq2d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)))
49	48	eqeq2d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) ↔ 𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋))))
50	49	rexbidv 3176	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) ↔ ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋))))
51	50	riota2 7408	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ 𝑅 ∧ ∃!𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) → (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) = 1 ))
52	39, 46, 51	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) = 1 ))
53	35, 52	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) = 1 )
54	9, 53	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067  ∃!wreu 3372   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  {csn 4632   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  ℩crio 7381  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  Scalarcsca 17243   ·_𝑠 cvsca 17244  0_gc0g 17428  LSSumclsm 19596  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  LSHypclsh 38479  HLchlt 38854  LHypclh 39489  DVecHcdvh 40583  ocHcoch 40852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38457

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-undef 8285  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-lshyp 38481  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tgrp 40248  df-tendo 40260  df-edring 40262  df-dveca 40508  df-disoa 40534  df-dvech 40584  df-dib 40644  df-dic 40678  df-dih 40734  df-doch 40853  df-djh 40900

This theorem is referenced by:  lcfl6lem  41003  lcfl7lem  41004  hvmapidN  41267  hdmapevec2  41341