Theorem dochfl1 40859

Description: The value of the explicit functional 𝐺 is 1 at the 𝑋 that determines it. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochfl1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochfl1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochfl1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochfl1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochfl1.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dochfl1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dochfl1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochfl1.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dochfl1.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝐷)
dochfl1.i	⊢ 1 = (1r‘𝐷)
dochfl1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochfl1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
dochfl1.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))

Assertion

Ref	Expression
dochfl1	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   1 ,𝑘,𝑤   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   1 (𝑣)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem dochfl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochfl1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3955	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		eqeq1 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) ↔ 𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
4	3	rexbidv 3172	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) ↔ ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
5	4	riotabidv 7362	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) = (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
6		dochfl1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
7		riotaex 7364	. . . 4 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6991	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
10		dochfl1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		dochfl1.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12		dochfl1.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13	10, 11, 12	dvhlmod 40493	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
14	2	snssd 4807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
15		dochfl1.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
17		dochfl1.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
18	10, 11, 15, 16, 17	dochlss 40737	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	12, 14, 18	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20		dochfl1.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21	20, 16	lss0cl 20791	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → 0 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋}))
22	13, 19, 21	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋}))
23		dochfl1.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
24		dochfl1.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
25		dochfl1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
26	15, 23, 24, 25	lmodvs1 20733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
27	13, 2, 26	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
28	27	oveq2d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 + ( 1 · 𝑋)) = ( 0 + 𝑋))
29		dochfl1.a	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑈)
30	15, 29, 20	lmod0vlid 20735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
31	13, 2, 30	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
32	28, 31	eqtr2d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ( 0 + ( 1 · 𝑋)))
33		oveq1 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝑤 + ( 1 · 𝑋)) = ( 0 + ( 1 · 𝑋)))
34	33	rspceeqv 3628	. . . 4 ⊢ (( 0 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋}) ∧ 𝑋 = ( 0 + ( 1 · 𝑋))) → ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)))
35	22, 32, 34	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)))
36	23	lmodring 20711	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
37		dochfl1.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝐷)
38	37, 25	ringidcl 20162	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑅)
39	13, 36, 38	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑅)
40		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
41		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
42		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
43	10, 11, 12	dvhlvec 40492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
44	10, 17, 11, 15, 20, 42, 12, 1	dochsnshp 40836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
45	10, 17, 11, 15, 20, 40, 41, 12, 1	dochexmidat 40842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = 𝑉)
46	15, 29, 40, 41, 42, 43, 44, 2, 2, 45, 23, 37, 24	lshpsmreu 38491	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))
47		oveq1 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · 𝑋) = ( 1 · 𝑋))
48	47	oveq2d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)))
49	48	eqeq2d 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) ↔ 𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋))))
50	49	rexbidv 3172	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) ↔ ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋))))
51	50	riota2 7386	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ 𝑅 ∧ ∃!𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) → (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) = 1 ))
52	39, 46, 51	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) = 1 ))
53	35, 52	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) = 1 )
54	9, 53	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3368   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6536  ℩crio 7359  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203  Scalarcsca 17206   ·_𝑠 cvsca 17207  0_gc0g 17391  LSSumclsm 19551  1_rcur 20083  Ringcrg 20135  LModclmod 20703  LSubSpclss 20775  LSpanclspn 20815  LSHypclsh 38357  HLchlt 38732  LHypclh 39367  DVecHcdvh 40461  ocHcoch 40730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38335

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-0g 17393  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-lsm 19553  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lvec 20948  df-lsatoms 38358  df-lshyp 38359  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-tgrp 40126  df-tendo 40138  df-edring 40140  df-dveca 40386  df-disoa 40412  df-dvech 40462  df-dib 40522  df-dic 40556  df-dih 40612  df-doch 40731  df-djh 40778

This theorem is referenced by:  lcfl6lem  40881  lcfl7lem  40882  hvmapidN  41145  hdmapevec2  41219