Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochfl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochfl1 37257
Description: The value of the explicit functional 𝐺 is 1 at the 𝑋 that determines it. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochfl1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochfl1.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochfl1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochfl1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochfl1.a + = (+g𝑈)
dochfl1.t · = ( ·𝑠𝑈)
dochfl1.z 0 = (0g𝑈)
dochfl1.d 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dochfl1.r 𝑅 = (Base‘𝐷)
dochfl1.i 1 = (1r𝐷)
dochfl1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochfl1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
dochfl1.g 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
Assertion
Ref Expression
dochfl1 (𝜑 → (𝐺𝑋) = 1 )
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   1 ,𝑘,𝑤   ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   1 (𝑣)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem dochfl1
StepHypRef Expression
1 dochfl1.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21eldifad 3781 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 eqeq1 2810 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) ↔ 𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
43rexbidv 3240 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 → (∃𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) ↔ ∃𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
54riotabidv 6837 . . . 4 (𝑣 = 𝑋 → (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) = (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
6 dochfl1.g . . . 4 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
7 riotaex 6839 . . . 4 (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6503 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
92, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
10 dochfl1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 dochfl1.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12 dochfl1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1310, 11, 12dvhlmod 36891 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
142snssd 4530 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
15 dochfl1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
16 eqid 2806 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
17 dochfl1.o . . . . . . 7 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
1810, 11, 15, 16, 17dochlss 37135 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1912, 14, 18syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20 dochfl1.z . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
2120, 16lss0cl 19151 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → 0 ∈ ( ‘{𝑋}))
2213, 19, 21syl2anc 575 . . . 4 (𝜑0 ∈ ( ‘{𝑋}))
23 dochfl1.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
24 dochfl1.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑈)
25 dochfl1.i . . . . . . . 8 1 = (1r𝐷)
2615, 23, 24, 25lmodvs1 19095 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
2713, 2, 26syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
2827oveq2d 6890 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 + ( 1 · 𝑋)) = ( 0 + 𝑋))
29 dochfl1.a . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
3015, 29, 20lmod0vlid 19097 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
3113, 2, 30syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
3228, 31eqtr2d 2841 . . . 4 (𝜑𝑋 = ( 0 + ( 1 · 𝑋)))
33 oveq1 6881 . . . . 5 (𝑤 = 0 → (𝑤 + ( 1 · 𝑋)) = ( 0 + ( 1 · 𝑋)))
3433rspceeqv 3520 . . . 4 (( 0 ∈ ( ‘{𝑋}) ∧ 𝑋 = ( 0 + ( 1 · 𝑋))) → ∃𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)))
3522, 32, 34syl2anc 575 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)))
3623lmodring 19075 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
37 dochfl1.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝐷)
3837, 25ringidcl 18770 . . . . 5 (𝐷 ∈ Ring → 1𝑅)
3913, 36, 383syl 18 . . . 4 (𝜑1𝑅)
40 eqid 2806 . . . . 5 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
41 eqid 2806 . . . . 5 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
42 eqid 2806 . . . . 5 (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
4310, 11, 12dvhlvec 36890 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4410, 17, 11, 15, 20, 42, 12, 1dochsnshp 37234 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{𝑋}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
4510, 17, 11, 15, 20, 40, 41, 12, 1dochexmidat 37240 . . . . 5 (𝜑 → (( ‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = 𝑉)
4615, 29, 40, 41, 42, 43, 44, 2, 2, 45, 23, 37, 24lshpsmreu 34889 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))
47 oveq1 6881 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 𝑋) = ( 1 · 𝑋))
4847oveq2d 6890 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)))
4948eqeq2d 2816 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) ↔ 𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋))))
5049rexbidv 3240 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (∃𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)) ↔ ∃𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋))))
5150riota2 6857 . . . 4 (( 1𝑅 ∧ ∃!𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) → (∃𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)) ↔ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) = 1 ))
5239, 46, 51syl2anc 575 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + ( 1 · 𝑋)) ↔ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) = 1 ))
5335, 52mpbid 223 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑋 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))) = 1 )
549, 53eqtrd 2840 1 (𝜑 → (𝐺𝑋) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wrex 3097  ∃!wreu 3098  cdif 3766  wss 3769  {csn 4370  cmpt 4923  cfv 6101  crio 6834  (class class class)co 6874  Basecbs 16068  +gcplusg 16153  Scalarcsca 16156   ·𝑠 cvsca 16157  0gc0g 16305  LSSumclsm 18250  1rcur 18703  Ringcrg 18749  LModclmod 19067  LSubSpclss 19136  LSpanclspn 19178  LSHypclsh 34755  HLchlt 35130  LHypclh 35764  DVecHcdvh 36859  ocHcoch 37128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-riotaBAD 34732
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-tpos 7587  df-undef 7634  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-fz 12550  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-0g 16307  df-proset 17133  df-poset 17151  df-plt 17163  df-lub 17179  df-glb 17180  df-join 17181  df-meet 17182  df-p0 17244  df-p1 17245  df-lat 17251  df-clat 17313  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-sbg 17632  df-subg 17793  df-cntz 17951  df-lsm 18252  df-cmn 18396  df-abl 18397  df-mgp 18692  df-ur 18704  df-ring 18751  df-oppr 18825  df-dvdsr 18843  df-unit 18844  df-invr 18874  df-dvr 18885  df-drng 18953  df-lmod 19069  df-lss 19137  df-lsp 19179  df-lvec 19310  df-lsatoms 34756  df-lshyp 34757  df-oposet 34956  df-ol 34958  df-oml 34959  df-covers 35046  df-ats 35047  df-atl 35078  df-cvlat 35102  df-hlat 35131  df-llines 35278  df-lplanes 35279  df-lvols 35280  df-lines 35281  df-psubsp 35283  df-pmap 35284  df-padd 35576  df-lhyp 35768  df-laut 35769  df-ldil 35884  df-ltrn 35885  df-trl 35940  df-tgrp 36524  df-tendo 36536  df-edring 36538  df-dveca 36784  df-disoa 36810  df-dvech 36860  df-dib 36920  df-dic 36954  df-dih 37010  df-doch 37129  df-djh 37176
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  37279  lcfl7lem  37280  hvmapidN  37543  hdmapevec2  37617
  Copyright terms: Public domain W3C validator