MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0vcl 19639
Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 28765 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vcl.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmod0vcl (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)

Proof of Theorem lmod0vcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 19617 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 0vcl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 0vcl.z . . 3 0 = (0g𝑊)
42, 3grpidcl 18110 . 2 (𝑊 ∈ Grp → 0𝑉)
51, 4syl 17 1 (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6328  Basecbs 16462  0gc0g 16692  Grpcgrp 18082  LModclmod 19610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-lmod 19612
This theorem is referenced by:  lmodvs0  19644  lmodfopne  19648  lsssn0  19695  lspun0  19759  lsppr0  19840  lspsneq  19870  lspprat  19901  ip0r  20757  ocvlss  20792  nmhmcn  23704  lfl0  36243  lflmul  36246  lkrlss  36273  dochexmid  38646  lcfl8  38680  lcd0vcl  38792  mapdh6bN  38915  mapdh6cN  38916  hdmap1val0  38977  hdmap1l6b  38989  hdmap1l6c  38990  hdmapval0  39011  hdmaprnlem17N  39041  hdmap14lem13  39058  hdmaplkr  39091  lcoel0  44655
  Copyright terms: Public domain W3C validator