Theorem lmod0vcl 20867

Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 30936 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vcl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmod0vcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20843	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		0vcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		0vcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4	2, 3	grpidcl 18960	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  Basecbs 17213  0_gc0g 17454  Grpcgrp 18928  LModclmod 20836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-lmod 20838

This theorem is referenced by:  lmodvs0  20872  lmodfopne  20876  lsssn0  20925  lspun0  20988  lsppr0  21070  lspsneq  21103  lspprat  21134  ip0r  21633  ocvlss  21668  nmhmcn  25138  lfl0  38763  lflmul  38766  lkrlss  38793  dochexmid  41167  lcfl8  41201  lcd0vcl  41313  mapdh6bN  41436  mapdh6cN  41437  hdmap1val0  41498  hdmap1l6b  41510  hdmap1l6c  41511  hdmapval0  41532  hdmaprnlem17N  41562  hdmap14lem13  41579  hdmaplkr  41612  lcoel0  47811