Theorem lmod0vcl 20804

Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 30939 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vcl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmod0vcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20780	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		0vcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		0vcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4	2, 3	grpidcl 18904	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  LModclmod 20773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-lmod 20775

This theorem is referenced by:  lmodvs0  20809  lmodfopne  20813  lsssn0  20861  lspun0  20924  lsppr0  21006  lspsneq  21039  lspprat  21070  ip0r  21553  ocvlss  21588  nmhmcn  25027  lfl0  39065  lflmul  39068  lkrlss  39095  dochexmid  41469  lcfl8  41503  lcd0vcl  41615  mapdh6bN  41738  mapdh6cN  41739  hdmap1val0  41800  hdmap1l6b  41812  hdmap1l6c  41813  hdmapval0  41834  hdmaprnlem17N  41864  hdmap14lem13  41881  hdmaplkr  41914  lcoel0  48421