Theorem lmod0vcl 19247

Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 28414 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vcl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmod0vcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 19225	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		0vcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		0vcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4	2, 3	grpidcl 17803	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6122  Basecbs 16221  0_gc0g 16452  Grpcgrp 17775  LModclmod 19218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-lmod 19220

This theorem is referenced by:  lmodvs0  19252  lmodfopne  19256  lsssn0  19303  lspun0  19369  lsppr0  19450  lspsneq  19480  lspprat  19513  ip0r  20343  ocvlss  20378  nmhmcn  23288  lfl0  35139  lflmul  35142  lkrlss  35169  dochexmid  37542  lcfl8  37576  lcd0vcl  37688  mapdh6bN  37811  mapdh6cN  37812  hdmap1val0  37873  hdmap1l6b  37885  hdmap1l6c  37886  hdmapval0  37907  hdmaprnlem17N  37937  hdmap14lem13  37954  hdmaplkr  37987  lcoel0  43063