Theorem lmodvneg1 19269

Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvneg1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvneg1.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvneg1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvneg1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvneg1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lmodvneg1.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvneg1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem lmodvneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 476	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvneg1.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodfgrp 19235	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
4	3	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
5		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		lmodvneg1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
7	2, 5, 6	lmod1cl 19253	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
8	7	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
9		lmodvneg1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
10	5, 9	grpinvcl 17828	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹))
11	4, 8, 10	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹))
12		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		lmodvneg1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		lmodvneg1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	13, 2, 14, 5	lmodvscl 19243	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
16	1, 11, 12, 15	syl3anc 1494	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
17		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
18		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
19	13, 17, 18	lmod0vrid 19257	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋))
20	16, 19	syldan 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋))
21		lmodvneg1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
22	13, 21	lmodvnegcl 19267	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)
23	13, 17	lmodass 19241	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))))
24	1, 16, 12, 22, 23	syl13anc 1495	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))))
25	13, 2, 14, 6	lmodvs1 19254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
26	25	oveq2d 6926	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
27		eqid 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
28		eqid 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
29	5, 27, 28, 9	grplinv 17829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) = (0g‘𝐹))
30	4, 8, 29	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) = (0g‘𝐹))
31	30	oveq1d 6925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ((0g‘𝐹) · 𝑋))
32	13, 17, 2, 14, 5, 27	lmodvsdir 19250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)))
33	1, 11, 8, 12, 32	syl13anc 1495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)))
34	13, 2, 14, 28, 18	lmod0vs 19259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
35	31, 33, 34	3eqtr3d 2869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) = (0g‘𝑊))
36	26, 35	eqtr3d 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋) = (0g‘𝑊))
37	36	oveq1d 6925	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)))
38	24, 37	eqtr3d 2863	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)))
39	13, 17, 18, 21	lmodvnegid 19268	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
40	39	oveq2d 6926	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
41	13, 17, 18	lmod0vlid 19256	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
42	22, 41	syldan 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
43	38, 40, 42	3eqtr3d 2869	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑁‘𝑋))
44	20, 43	eqtr3d 2863	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  +_gcplusg 16312  Scalarcsca 16315   ·_𝑠 cvsca 16316  0_gc0g 16460  Grpcgrp 17783  inv_gcminusg 17784  1_rcur 18862  LModclmod 19226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-lmod 19228

This theorem is referenced by:  lmodvsneg  19270  lmodvsubval2  19281  lssvnegcl  19322  lspsnneg  19372  lmodvsinv  19402  lspsolvlem  19509  tlmtgp  22376  clmvneg1  23275  deg1invg  24272