MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvneg1 19269
Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvneg1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvneg1.n 𝑁 = (invg𝑊)
lmodvneg1.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvneg1.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvneg1.u 1 = (1r𝐹)
lmodvneg1.m 𝑀 = (invg𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvneg1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 ) · 𝑋) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem lmodvneg1
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2 lmodvneg1.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32lmodfgrp 19235 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
43adantr 474 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
5 eqid 2825 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6 lmodvneg1.u . . . . . . 7 1 = (1r𝐹)
72, 5, 6lmod1cl 19253 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
87adantr 474 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
9 lmodvneg1.m . . . . . 6 𝑀 = (invg𝐹)
105, 9grpinvcl 17828 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑀1 ) ∈ (Base‘𝐹))
114, 8, 10syl2anc 579 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀1 ) ∈ (Base‘𝐹))
12 simpr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
13 lmodvneg1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 lmodvneg1.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
1513, 2, 14, 5lmodvscl 19243 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑀1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
161, 11, 12, 15syl3anc 1494 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
17 eqid 2825 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
18 eqid 2825 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1913, 17, 18lmod0vrid 19257 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = ((𝑀1 ) · 𝑋))
2016, 19syldan 585 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = ((𝑀1 ) · 𝑋))
21 lmodvneg1.n . . . . . 6 𝑁 = (invg𝑊)
2213, 21lmodvnegcl 19267 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)
2313, 17lmodass 19241 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝑀1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉 ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)) → ((((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))))
241, 16, 12, 22, 23syl13anc 1495 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))))
2513, 2, 14, 6lmodvs1 19254 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
2625oveq2d 6926 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋))
27 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (+g𝐹) = (+g𝐹)
28 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (0g𝐹) = (0g𝐹)
295, 27, 28, 9grplinv 17829 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) = (0g𝐹))
304, 8, 29syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) = (0g𝐹))
3130oveq1d 6925 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) · 𝑋) = ((0g𝐹) · 𝑋))
3213, 17, 2, 14, 5, 27lmodvsdir 19250 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋𝑉)) → (((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)))
331, 11, 8, 12, 32syl13anc 1495 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)))
3413, 2, 14, 28, 18lmod0vs 19259 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
3531, 33, 343eqtr3d 2869 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)) = (0g𝑊))
3626, 35eqtr3d 2863 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋) = (0g𝑊))
3736oveq1d 6925 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = ((0g𝑊)(+g𝑊)(𝑁𝑋)))
3824, 37eqtr3d 2863 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))) = ((0g𝑊)(+g𝑊)(𝑁𝑋)))
3913, 17, 18, 21lmodvnegid 19268 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (0g𝑊))
4039oveq2d 6926 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)))
4113, 17, 18lmod0vlid 19256 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝑉) → ((0g𝑊)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
4222, 41syldan 585 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝑊)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
4338, 40, 423eqtr3d 2869 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑁𝑋))
4420, 43eqtr3d 2863 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 ) · 𝑋) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  +gcplusg 16312  Scalarcsca 16315   ·𝑠 cvsca 16316  0gc0g 16460  Grpcgrp 17783  invgcminusg 17784  1rcur 18862  LModclmod 19226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-lmod 19228
This theorem is referenced by:  lmodvsneg  19270  lmodvsubval2  19281  lssvnegcl  19322  lspsnneg  19372  lmodvsinv  19402  lspsolvlem  19509  tlmtgp  22376  clmvneg1  23275  deg1invg  24272
  Copyright terms: Public domain W3C validator