Theorem lmodvneg1 20660

Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvneg1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvneg1.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvneg1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvneg1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvneg1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lmodvneg1.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvneg1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem lmodvneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvneg1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodfgrp 20624	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
4		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		lmodvneg1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
6	2, 4, 5	lmod1cl 20644	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
8		lmodvneg1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
9	4, 8	grpinvcl 18909	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹))
10	3, 7, 9	syl2an2r 682	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lmodvneg1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lmodvneg1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	12, 2, 13, 4	lmodvscl 20633	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
15	1, 10, 11, 14	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
16		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
17		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
18	12, 16, 17	lmod0vrid 20648	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋))
19	15, 18	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋))
20		lmodvneg1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
21	12, 20	lmodvnegcl 20658	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)
22	12, 16	lmodass 20631	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))))
23	1, 15, 11, 21, 22	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))))
24	12, 2, 13, 5	lmodvs1 20645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
25	24	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
26		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
27		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
28	4, 26, 27, 8	grplinv 18911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) = (0g‘𝐹))
29	3, 7, 28	syl2an2r 682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) = (0g‘𝐹))
30	29	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ((0g‘𝐹) · 𝑋))
31	12, 16, 2, 13, 4, 26	lmodvsdir 20641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)))
32	1, 10, 7, 11, 31	syl13anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)))
33	12, 2, 13, 27, 17	lmod0vs 20650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
34	30, 32, 33	3eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) = (0g‘𝑊))
35	25, 34	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋) = (0g‘𝑊))
36	35	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)))
37	23, 36	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)))
38	12, 16, 17, 20	lmodvnegid 20659	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
39	38	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
40	12, 16, 17	lmod0vlid 20647	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
41	21, 40	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
42	37, 39, 41	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑁‘𝑋))
43	19, 42	eqtr3d 2773	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·_𝑠 cvsca 17206  0_gc0g 17390  Grpcgrp 18856  inv_gcminusg 18857  1_rcur 20076  LModclmod 20615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20617

This theorem is referenced by:  lmodvsneg  20661  lmodvsubval2  20672  lssvnegcl  20712  lspsnneg  20762  lmodvsinv  20792  lspsolvlem  20901  tlmtgp  23921  clmvneg1  24847  deg1invg  25860