Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvneg1 19668
 Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvneg1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvneg1.n 𝑁 = (invg𝑊)
lmodvneg1.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvneg1.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvneg1.u 1 = (1r𝐹)
lmodvneg1.m 𝑀 = (invg𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvneg1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 ) · 𝑋) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem lmodvneg1
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2 lmodvneg1.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32lmodfgrp 19634 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
4 eqid 2822 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5 lmodvneg1.u . . . . . . 7 1 = (1r𝐹)
62, 4, 5lmod1cl 19652 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
76adantr 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
8 lmodvneg1.m . . . . . 6 𝑀 = (invg𝐹)
94, 8grpinvcl 18142 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑀1 ) ∈ (Base‘𝐹))
103, 7, 9syl2an2r 684 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀1 ) ∈ (Base‘𝐹))
11 simpr 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
12 lmodvneg1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lmodvneg1.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
1412, 2, 13, 4lmodvscl 19642 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑀1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
151, 10, 11, 14syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
16 eqid 2822 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
17 eqid 2822 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1812, 16, 17lmod0vrid 19656 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = ((𝑀1 ) · 𝑋))
1915, 18syldan 594 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = ((𝑀1 ) · 𝑋))
20 lmodvneg1.n . . . . . 6 𝑁 = (invg𝑊)
2112, 20lmodvnegcl 19666 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)
2212, 16lmodass 19640 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝑀1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉 ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)) → ((((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))))
231, 15, 11, 21, 22syl13anc 1369 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))))
2412, 2, 13, 5lmodvs1 19653 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
2524oveq2d 7156 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋))
26 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (+g𝐹) = (+g𝐹)
27 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (0g𝐹) = (0g𝐹)
284, 26, 27, 8grplinv 18143 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) = (0g𝐹))
293, 7, 28syl2an2r 684 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) = (0g𝐹))
3029oveq1d 7155 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) · 𝑋) = ((0g𝐹) · 𝑋))
3112, 16, 2, 13, 4, 26lmodvsdir 19649 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋𝑉)) → (((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)))
321, 10, 7, 11, 31syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 )(+g𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)))
3312, 2, 13, 27, 17lmod0vs 19658 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
3430, 32, 333eqtr3d 2865 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)) = (0g𝑊))
3525, 34eqtr3d 2859 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋) = (0g𝑊))
3635oveq1d 7155 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)𝑋)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = ((0g𝑊)(+g𝑊)(𝑁𝑋)))
3723, 36eqtr3d 2859 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))) = ((0g𝑊)(+g𝑊)(𝑁𝑋)))
3812, 16, 17, 20lmodvnegid 19667 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (0g𝑊))
3938oveq2d 7156 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑋(+g𝑊)(𝑁𝑋))) = (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)))
4012, 16, 17lmod0vlid 19655 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝑉) → ((0g𝑊)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
4121, 40syldan 594 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝑊)(+g𝑊)(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
4237, 39, 413eqtr3d 2865 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑀1 ) · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑁𝑋))
4319, 42eqtr3d 2859 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀1 ) · 𝑋) = (𝑁𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704  Grpcgrp 18094  invgcminusg 18095  1rcur 19242  LModclmod 19625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-lmod 19627 This theorem is referenced by:  lmodvsneg  19669  lmodvsubval2  19680  lssvnegcl  19719  lspsnneg  19769  lmodvsinv  19799  lspsolvlem  19905  tlmtgp  22799  clmvneg1  23702  deg1invg  24705
 Copyright terms: Public domain W3C validator