Theorem lmodvneg1 20903

Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvneg1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvneg1.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvneg1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvneg1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvneg1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lmodvneg1.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvneg1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem lmodvneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvneg1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodfgrp 20867	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		lmodvneg1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
6	2, 4, 5	lmod1cl 20887	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
8		lmodvneg1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
9	4, 8	grpinvcl 19005	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹))
10	3, 7, 9	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lmodvneg1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lmodvneg1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	12, 2, 13, 4	lmodvscl 20876	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
15	1, 10, 11, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
18	12, 16, 17	lmod0vrid 20891	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋))
19	15, 18	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋))
20		lmodvneg1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
21	12, 20	lmodvnegcl 20901	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)
22	12, 16	lmodass 20874	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))))
23	1, 15, 11, 21, 22	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))))
24	12, 2, 13, 5	lmodvs1 20888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
25	24	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
26		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
27		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
28	4, 26, 27, 8	grplinv 19007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) = (0g‘𝐹))
29	3, 7, 28	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) = (0g‘𝐹))
30	29	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ((0g‘𝐹) · 𝑋))
31	12, 16, 2, 13, 4, 26	lmodvsdir 20884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)))
32	1, 10, 7, 11, 31	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)))
33	12, 2, 13, 27, 17	lmod0vs 20893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
34	30, 32, 33	3eqtr3d 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) = (0g‘𝑊))
35	25, 34	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋) = (0g‘𝑊))
36	35	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)))
37	23, 36	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)))
38	12, 16, 17, 20	lmodvnegid 20902	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
39	38	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
40	12, 16, 17	lmod0vlid 20890	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
41	21, 40	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
42	37, 39, 41	3eqtr3d 2785	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑁‘𝑋))
43	19, 42	eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  1_rcur 20178  LModclmod 20858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860

This theorem is referenced by:  lmodvsneg  20904  lmodvsubval2  20915  lssvnegcl  20954  lspsnneg  21004  lmodvsinv  21035  lspsolvlem  21144  tlmtgp  24204  clmvneg1  25132  deg1invg  26145