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Theorem lsspropd 20628
Description: If two structures have the same components (properties), they have the same subspace structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsspropd.b1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
lsspropd.b2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
lsspropd.w (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† π‘Š)
lsspropd.p ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑦 ∈ π‘Š)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
lsspropd.s1 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ π‘Š)
lsspropd.s2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
lsspropd.p1 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
lsspropd.p2 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
Assertion
Ref Expression
lsspropd (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜πΎ) = (LSubSpβ€˜πΏ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦

Proof of Theorem lsspropd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ πœ‘)
2 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑃)
3 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
4 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ π‘Ž ∈ 𝑠)
53, 4sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
6 lsspropd.s1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ π‘Š)
76ralrimivva 3201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ π‘Š)
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ π‘Š)
9 ovrspc2v 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ π‘Š) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž) ∈ π‘Š)
102, 5, 8, 9syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž) ∈ π‘Š)
11 lsspropd.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† π‘Š)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ 𝐡 βŠ† π‘Š)
13 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑠)
143, 13sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
1512, 14sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ 𝑏 ∈ π‘Š)
16 lsspropd.p . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑦 ∈ π‘Š)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
1716oveqrspc2v 7436 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž) ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) = ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏))
181, 10, 15, 17syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) = ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏))
19 lsspropd.s2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
2019oveqrspc2v 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž) = (𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž))
211, 2, 5, 20syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ (𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž) = (𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž))
2221oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) = ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏))
2318, 22eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) = ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏))
2423eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠))) β†’ (((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠))
2524anassrs 469 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠)) β†’ (((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠))
26252ralbidva 3217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠))
2726ralbidva 3176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠))
2827anbi2d 630 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠)))
2928pm5.32da 580 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ (𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ (𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠))))
30 3anass 1096 . . . . 5 ((𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ (𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠)))
31 3anass 1096 . . . . 5 ((𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ (𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠)))
3229, 30, 313bitr4g 314 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠)))
33 lsspropd.b1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
3433sseq2d 4015 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)))
35 lsspropd.p1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
3635raleqdv 3326 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠))
3734, 363anbi13d 1439 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠)))
38 lsspropd.b2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
3938sseq2d 4015 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ)))
40 lsspropd.p2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
4140raleqdv 3326 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠))
4239, 413anbi13d 1439 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ 𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠)))
4332, 37, 423bitr3d 309 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ 𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠)))
44 eqid 2733 . . . 4 (Scalarβ€˜πΎ) = (Scalarβ€˜πΎ)
45 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))
46 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
47 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜πΎ)
48 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜πΎ) = ( ·𝑠 β€˜πΎ)
49 eqid 2733 . . . 4 (LSubSpβ€˜πΎ) = (LSubSpβ€˜πΎ)
5044, 45, 46, 47, 48, 49islss 20545 . . 3 (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜πΎ) ↔ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΎ)π‘Ž)(+gβ€˜πΎ)𝑏) ∈ 𝑠))
51 eqid 2733 . . . 4 (Scalarβ€˜πΏ) = (Scalarβ€˜πΏ)
52 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))
53 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
54 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜πΏ)
55 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜πΏ) = ( ·𝑠 β€˜πΏ)
56 eqid 2733 . . . 4 (LSubSpβ€˜πΏ) = (LSubSpβ€˜πΏ)
5751, 52, 53, 54, 55, 56islss 20545 . . 3 (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜πΏ) ↔ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ 𝑠 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))βˆ€π‘Ž ∈ 𝑠 βˆ€π‘ ∈ 𝑠 ((𝑧( ·𝑠 β€˜πΏ)π‘Ž)(+gβ€˜πΏ)𝑏) ∈ 𝑠))
5843, 50, 573bitr4g 314 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜πΎ) ↔ 𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜πΏ)))
5958eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜πΎ) = (LSubSpβ€˜πΏ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  LSubSpclss 20542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-lss 20543
This theorem is referenced by:  lsppropd  20629  lidlrsppropd  20855  ply1lss  21720
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