Theorem ply1lss 22135

Description: Univariate polynomials form a linear subspace of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1lss.2	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
ply1lss.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1lss	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Proof of Theorem ply1lss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		ply1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1lss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22133	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		1on 8407	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
8		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9	1, 2, 5, 7, 8	mpllss 21956	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘(1o mPwSer 𝑅)))
10		eqidd 2735	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
11		ply1lss.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
12	11	psr1val 22124	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)‘∅)
13		0ss 4350	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (1o × 1o)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ⊆ (1o × 1o))
15	1, 12, 14	opsrbas 22003	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑆))
16		ssv 3956	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ⊆ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ⊆ V)
18	1, 12, 14	opsrplusg 22004	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑆))
19	18	oveqdr 7384	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
20		ovexd 7391	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) ∈ V)
21	1, 12, 14	opsrvsca 22006	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
22	21	oveqdr 7384	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))
23	1, 7, 8	psrsca 21901	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(1o mPwSer 𝑅)))
24	23	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1o mPwSer 𝑅))))
25	1, 12, 14, 7, 8	opsrsca 22007	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
26	25	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
27	10, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 26	lsspropd 20967	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSubSp‘(1o mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘𝑆))
28	9, 27	eleqtrd 2836	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283   × cxp 5620  Oncon0 6315  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  Ringcrg 20166  LSubSpclss 20880   mPwSer cmps 21858   mPoly cmpl 21860  PwSer₁cps1 22113  Poly₁cpl1 22115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19051  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lss 20881  df-psr 21863  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-psr1 22118  df-ply1 22120

This theorem is referenced by:  ply1assa  22138  ply1lmod  22190