MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1lss 22065
Description: Univariate polynomials form a linear subspace of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1val.2 𝑆 = (PwSer1β€˜π‘…)
ply1bas.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
ply1lss (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))

Proof of Theorem ply1lss
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2 eqid 2726 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3 ply1val.1 . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 ply1val.2 . . . 4 𝑆 = (PwSer1β€˜π‘…)
5 ply1bas.u . . . 4 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
63, 4, 5ply1bas 22064 . . 3 π‘ˆ = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
7 1on 8476 . . . 4 1o ∈ On
87a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1o ∈ On)
9 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Ring)
101, 2, 6, 8, 9mpllss 21899 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))
11 eqidd 2727 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))
124psr1val 22055 . . . 4 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)β€˜βˆ…)
13 0ss 4391 . . . . 5 βˆ… βŠ† (1o Γ— 1o)
1413a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ… βŠ† (1o Γ— 1o))
151, 12, 14opsrbas 21943 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜π‘†))
16 ssv 4001 . . . 4 (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) βŠ† V
1716a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) βŠ† V)
181, 12, 14opsrplusg 21945 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (+gβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (+gβ€˜π‘†))
1918oveqdr 7432 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦))
20 ovexd 7439 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(1o mPwSer 𝑅))𝑦) ∈ V)
211, 12, 14opsrvsca 21949 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( ·𝑠 β€˜(1o mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 β€˜π‘†))
2221oveqdr 7432 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))
231, 8, 9psrsca 21845 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(1o mPwSer 𝑅)))
2423fveq2d 6888 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(1o mPwSer 𝑅))))
251, 12, 14, 8, 9opsrsca 21951 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘†))
2625fveq2d 6888 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
2711, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 26lsspropd 20862 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (LSubSpβ€˜(1o mPwSer 𝑅)) = (LSubSpβ€˜π‘†))
2810, 27eleqtrd 2829 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   Γ— cxp 5667  Oncon0 6357  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1oc1o 8457  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  Ringcrg 20135  LSubSpclss 20775   mPwSer cmps 21793   mPoly cmpl 21795  PwSer1cps1 22044  Poly1cpl1 22046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-subg 19047  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-lss 20776  df-psr 21798  df-mpl 21800  df-opsr 21802  df-psr1 22049  df-ply1 22051
This theorem is referenced by:  ply1assa  22068  ply1lmod  22120
  Copyright terms: Public domain W3C validator