Theorem ply1lss 20971

Description: Univariate polynomials form a linear subspace of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1val.2	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
ply1bas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1lss	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Proof of Theorem ply1lss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		ply1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1val.2	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
5		ply1bas.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	ply1bas 20970	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		1on 8138	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
9		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 2, 6, 8, 9	mpllss 20819	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘(1o mPwSer 𝑅)))
11		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
12	4	psr1val 20961	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)‘∅)
13		0ss 4285	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (1o × 1o)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ⊆ (1o × 1o))
15	1, 12, 14	opsrbas 20861	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑆))
16		ssv 3901	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ⊆ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ⊆ V)
18	1, 12, 14	opsrplusg 20862	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑆))
19	18	oveqdr 7198	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
20		ovexd 7205	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) ∈ V)
21	1, 12, 14	opsrvsca 20864	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
22	21	oveqdr 7198	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))
23	1, 8, 9	psrsca 20768	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(1o mPwSer 𝑅)))
24	23	fveq2d 6678	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1o mPwSer 𝑅))))
25	1, 12, 14, 8, 9	opsrsca 20865	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
26	25	fveq2d 6678	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
27	11, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 26	lsspropd 19908	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSubSp‘(1o mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘𝑆))
28	10, 27	eleqtrd 2835	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3398   ⊆ wss 3843  ∅c0 4211   × cxp 5523  Oncon0 6172  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  1_oc1o 8124  Basecbs 16586  +_gcplusg 16668  Scalarcsca 16671   ·_𝑠 cvsca 16672  Ringcrg 19416  LSubSpclss 19822   mPwSer cmps 20717   mPoly cmpl 20719  PwSer₁cps1 20950  Poly₁cpl1 20952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-tset 16687  df-ple 16688  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-subg 18394  df-mgp 19359  df-ring 19418  df-lss 19823  df-psr 20722  df-mpl 20724  df-opsr 20726  df-psr1 20955  df-ply1 20957

This theorem is referenced by:  ply1assa  20974  ply1lmod  21027