Theorem ply1lss 22081

Description: Univariate polynomials form a linear subspace of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1lss.2	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
ply1lss.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1lss	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Proof of Theorem ply1lss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		ply1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1lss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22079	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		1on 8446	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
8		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9	1, 2, 5, 7, 8	mpllss 21912	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘(1o mPwSer 𝑅)))
10		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
11		ply1lss.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
12	11	psr1val 22070	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)‘∅)
13		0ss 4363	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (1o × 1o)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ⊆ (1o × 1o))
15	1, 12, 14	opsrbas 21957	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑆))
16		ssv 3971	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ⊆ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ⊆ V)
18	1, 12, 14	opsrplusg 21958	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑆))
19	18	oveqdr 7415	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
20		ovexd 7422	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) ∈ V)
21	1, 12, 14	opsrvsca 21960	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
22	21	oveqdr 7415	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))
23	1, 7, 8	psrsca 21856	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(1o mPwSer 𝑅)))
24	23	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1o mPwSer 𝑅))))
25	1, 12, 14, 7, 8	opsrsca 21961	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
26	25	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
27	10, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 26	lsspropd 20924	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSubSp‘(1o mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘𝑆))
28	9, 27	eleqtrd 2830	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   × cxp 5636  Oncon0 6332  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1_oc1o 8427  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  Ringcrg 20142  LSubSpclss 20837   mPwSer cmps 21813   mPoly cmpl 21815  PwSer₁cps1 22059  Poly₁cpl1 22061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-subg 19055  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lss 20838  df-psr 21818  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-ply1 22066

This theorem is referenced by:  ply1assa  22084  ply1lmod  22136