Theorem ply1lss 22367

Description: Univariate polynomials form a linear subspace of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1lss.2	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
ply1lss.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1lss	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Proof of Theorem ply1lss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
3		ply1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1lss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22366	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		1on 8464	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
8		id 23	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9	1, 2, 5, 7, 8	mpllss 22163	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘(1o mPwSer 𝑅)))
10		eqidd 2763	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
11		ply1lss.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
12	11	psr1val 22357	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)‘∅)
13		0ss 4356	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (1o × 1o)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ⊆ (1o × 1o))
15	1, 12, 14	opsrbas 22212	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑆))
16		ssv 3960	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ⊆ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ⊆ V)
18	1, 12, 14	opsrplusg 22213	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑆))
19	18	oveqdr 7440	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
20		ovexd 7447	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) ∈ V)
21	1, 12, 14	opsrvsca 22215	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
22	21	oveqdr 7440	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))
23	1, 7, 8	psrsca 22108	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(1o mPwSer 𝑅)))
24	23	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1o mPwSer 𝑅))))
25	1, 12, 14, 7, 8	opsrsca 22216	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
26	25	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
27	10, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 26	lsspropd 21149	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSubSp‘(1o mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘𝑆))
28	9, 27	eleqtrd 2864	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   × cxp 5658  Oncon0 6360  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1_oc1o 8444  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  Scalarcsca 17319   ·_𝑠 cvsca 17320  Ringcrg 20321  LSubSpclss 21063   mPwSer cmps 22065   mPoly cmpl 22067  PwSer₁cps1 22346  Poly₁cpl1 22348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-subg 19195  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-lss 21064  df-psr 22070  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-psr1 22351  df-ply1 22353

This theorem is used by:  ply1assa  22370  ply1lmod  22422