MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlrsppropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlrsppropd 20716
Description: The left ideals and ring span of a ring depend only on the ring components. Here 𝑊 is expected to be either 𝐵 (when closure is available) or V (when strong equality is available). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
lidlpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
lidlpropd.3 (𝜑𝐵𝑊)
lidlpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
lidlpropd.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
lidlpropd.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
lidlrsppropd (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Proof of Theorem lidlrsppropd
StepHypRef Expression
1 lidlpropd.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 rlmbas 20680 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
31, 2eqtrdi 2789 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
4 lidlpropd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
5 rlmbas 20680 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘(ringLMod‘𝐿))
64, 5eqtrdi 2789 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐿)))
7 lidlpropd.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
8 lidlpropd.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
9 rlmplusg 20681 . . . . . 6 (+g𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾))
109oveqi 7371 . . . . 5 (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
11 rlmplusg 20681 . . . . . 6 (+g𝐿) = (+g‘(ringLMod‘𝐿))
1211oveqi 7371 . . . . 5 (𝑥(+g𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
138, 10, 123eqtr3g 2796 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
14 rlmvsca 20687 . . . . . 6 (.r𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
1514oveqi 7371 . . . . 5 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
16 lidlpropd.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
1715, 16eqeltrrid 2839 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) ∈ 𝑊)
18 lidlpropd.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
19 rlmvsca 20687 . . . . . 6 (.r𝐿) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))
2019oveqi 7371 . . . . 5 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
2118, 15, 203eqtr3g 2796 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
22 baseid 17091 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
23 eqid 2733 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2422, 23strfvi 17067 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘( I ‘𝐾))
25 rlmsca2 20686 . . . . . . 7 ( I ‘𝐾) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾))
2625fveq2i 6846 . . . . . 6 (Base‘( I ‘𝐾)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
2724, 26eqtri 2761 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
281, 27eqtrdi 2789 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾))))
29 eqid 2733 . . . . . . 7 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
3022, 29strfvi 17067 . . . . . 6 (Base‘𝐿) = (Base‘( I ‘𝐿))
31 rlmsca2 20686 . . . . . . 7 ( I ‘𝐿) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐿))
3231fveq2i 6846 . . . . . 6 (Base‘( I ‘𝐿)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
3330, 32eqtri 2761 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
344, 33eqtrdi 2789 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿))))
353, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34lsspropd 20493 . . 3 (𝜑 → (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿)))
36 lidlval 20677 . . 3 (LIdeal‘𝐾) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾))
37 lidlval 20677 . . 3 (LIdeal‘𝐿) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿))
3835, 36, 373eqtr4g 2798 . 2 (𝜑 → (LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿))
39 fvexd 6858 . . . 4 (𝜑 → (ringLMod‘𝐾) ∈ V)
40 fvexd 6858 . . . 4 (𝜑 → (ringLMod‘𝐿) ∈ V)
413, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34, 39, 40lsppropd 20494 . . 3 (𝜑 → (LSpan‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿)))
42 rspval 20678 . . 3 (RSpan‘𝐾) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐾))
43 rspval 20678 . . 3 (RSpan‘𝐿) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿))
4441, 42, 433eqtr4g 2798 . 2 (𝜑 → (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿))
4538, 44jca 513 1 (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3911   I cid 5531  cfv 6497  (class class class)co 7358  ndxcnx 17070  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447  ringLModcrglmod 20646  LIdealclidl 20647  RSpancrsp 20648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652
This theorem is referenced by:  crngridl  20724
  Copyright terms: Public domain W3C validator