Theorem lidlrsppropd 21533

Description: The left ideals and ring span of a ring depend only on the ring components. Here 𝑊 is expected to be either 𝐵 (when closure is available) or V (when strong equality is available). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lidlpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lidlpropd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
lidlpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lidlpropd.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
lidlpropd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lidlrsppropd	⊢ (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Proof of Theorem lidlrsppropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rlmbas 21469	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
3	1, 2	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
4		lidlpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
5		rlmbas 21469	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(ringLMod‘𝐿))
6	4, 5	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐿)))
7		lidlpropd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
8		lidlpropd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
9		rlmplusg 21470	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾))
10	9	oveqi 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
11		rlmplusg 21470	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘(ringLMod‘𝐿))
12	11	oveqi 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
13	8, 10, 12	3eqtr3g 2818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
14		rlmvsca 21476	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
15	14	oveqi 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
16		lidlpropd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
17	15, 16	eqeltrrid 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) ∈ 𝑊)
18		lidlpropd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
19		rlmvsca 21476	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐿) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))
20	19	oveqi 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
21	18, 15, 20	3eqtr3g 2818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
22		baseid 17391	. . . . . . 7 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
23		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
24	22, 23	strfvi 17369	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘( I ‘𝐾))
25		rlmsca2 21475	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝐾) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾))
26	25	fveq2i 6888	. . . . . 6 ⊢ (Base‘( I ‘𝐾)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
27	24, 26	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
28	1, 27	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾))))
29		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
30	22, 29	strfvi 17369	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘( I ‘𝐿))
31		rlmsca2 21475	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝐿) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐿))
32	31	fveq2i 6888	. . . . . 6 ⊢ (Base‘( I ‘𝐿)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
33	30, 32	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
34	4, 33	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿))))
35	3, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34	lsspropd 21293	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿)))
36		lidlval 21489	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝐾) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾))
37		lidlval 21489	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝐿) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿))
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2820	. 2 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿))
39		fvexd 6900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝐾) ∈ V)
40		fvexd 6900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝐿) ∈ V)
41	3, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34, 39, 40	lsppropd 21294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSpan‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿)))
42		rspval 21490	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝐾) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐾))
43		rspval 21490	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝐿) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿))
44	41, 42, 43	3eqtr4g 2820	. 2 ⊢ (𝜑 → (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿))
45	38, 44	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   I cid 5544  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ndxcnx 17372  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  ._rcmulr 17430  Scalarcsca 17432   ·_𝑠 cvsca 17433  LSubSpclss 21207  LSpanclspn 21247  ringLModcrglmod 21448  LIdealclidl 21485  RSpancrsp 21486

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-lidl 21487  df-rsp 21488

This theorem is used by:  crngridl  21576