Theorem lidlrsppropd 21121

Description: The left ideals and ring span of a ring depend only on the ring components. Here 𝑊 is expected to be either 𝐵 (when closure is available) or V (when strong equality is available). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lidlpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lidlpropd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
lidlpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lidlpropd.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
lidlpropd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lidlrsppropd	⊢ (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Proof of Theorem lidlrsppropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rlmbas 21068	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
3	1, 2	eqtrdi 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
4		lidlpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
5		rlmbas 21068	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(ringLMod‘𝐿))
6	4, 5	eqtrdi 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐿)))
7		lidlpropd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
8		lidlpropd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
9		rlmplusg 21069	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾))
10	9	oveqi 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
11		rlmplusg 21069	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘(ringLMod‘𝐿))
12	11	oveqi 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
13	8, 10, 12	3eqtr3g 2790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
14		rlmvsca 21075	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
15	14	oveqi 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
16		lidlpropd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
17	15, 16	eqeltrrid 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) ∈ 𝑊)
18		lidlpropd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
19		rlmvsca 21075	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐿) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))
20	19	oveqi 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
21	18, 15, 20	3eqtr3g 2790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
22		baseid 17168	. . . . . . 7 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
23		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
24	22, 23	strfvi 17144	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘( I ‘𝐾))
25		rlmsca2 21074	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝐾) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾))
26	25	fveq2i 6894	. . . . . 6 ⊢ (Base‘( I ‘𝐾)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
27	24, 26	eqtri 2755	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
28	1, 27	eqtrdi 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾))))
29		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
30	22, 29	strfvi 17144	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘( I ‘𝐿))
31		rlmsca2 21074	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝐿) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐿))
32	31	fveq2i 6894	. . . . . 6 ⊢ (Base‘( I ‘𝐿)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
33	30, 32	eqtri 2755	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
34	4, 33	eqtrdi 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿))))
35	3, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34	lsspropd 20884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿)))
36		lidlval 21088	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝐾) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾))
37		lidlval 21088	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝐿) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿))
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿))
39		fvexd 6906	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝐾) ∈ V)
40		fvexd 6906	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝐿) ∈ V)
41	3, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34, 39, 40	lsppropd 20885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSpan‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿)))
42		rspval 21089	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝐾) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐾))
43		rspval 21089	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝐿) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿))
44	41, 42, 43	3eqtr4g 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿))
45	38, 44	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944   I cid 5569  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ndxcnx 17147  Basecbs 17165  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  LSubSpclss 20797  LSpanclspn 20837  ringLModcrglmod 21039  LIdealclidl 21084  RSpancrsp 21085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-lidl 21086  df-rsp 21087

This theorem is referenced by:  crngridl  21154