MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlrsppropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlrsppropd 20698
Description: The left ideals and ring span of a ring depend only on the ring components. Here 𝑊 is expected to be either 𝐵 (when closure is available) or V (when strong equality is available). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
lidlpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
lidlpropd.3 (𝜑𝐵𝑊)
lidlpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
lidlpropd.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
lidlpropd.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
lidlrsppropd (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Proof of Theorem lidlrsppropd
StepHypRef Expression
1 lidlpropd.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 rlmbas 20662 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
31, 2eqtrdi 2792 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
4 lidlpropd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
5 rlmbas 20662 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘(ringLMod‘𝐿))
64, 5eqtrdi 2792 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐿)))
7 lidlpropd.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
8 lidlpropd.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
9 rlmplusg 20663 . . . . . 6 (+g𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾))
109oveqi 7369 . . . . 5 (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
11 rlmplusg 20663 . . . . . 6 (+g𝐿) = (+g‘(ringLMod‘𝐿))
1211oveqi 7369 . . . . 5 (𝑥(+g𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
138, 10, 123eqtr3g 2799 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
14 rlmvsca 20669 . . . . . 6 (.r𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
1514oveqi 7369 . . . . 5 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
16 lidlpropd.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
1715, 16eqeltrrid 2843 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) ∈ 𝑊)
18 lidlpropd.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
19 rlmvsca 20669 . . . . . 6 (.r𝐿) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))
2019oveqi 7369 . . . . 5 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
2118, 15, 203eqtr3g 2799 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
22 baseid 17085 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
23 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2422, 23strfvi 17061 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘( I ‘𝐾))
25 rlmsca2 20668 . . . . . . 7 ( I ‘𝐾) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾))
2625fveq2i 6845 . . . . . 6 (Base‘( I ‘𝐾)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
2724, 26eqtri 2764 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
281, 27eqtrdi 2792 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾))))
29 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
3022, 29strfvi 17061 . . . . . 6 (Base‘𝐿) = (Base‘( I ‘𝐿))
31 rlmsca2 20668 . . . . . . 7 ( I ‘𝐿) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐿))
3231fveq2i 6845 . . . . . 6 (Base‘( I ‘𝐿)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
3330, 32eqtri 2764 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
344, 33eqtrdi 2792 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿))))
353, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34lsspropd 20476 . . 3 (𝜑 → (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿)))
36 lidlval 20659 . . 3 (LIdeal‘𝐾) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾))
37 lidlval 20659 . . 3 (LIdeal‘𝐿) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿))
3835, 36, 373eqtr4g 2801 . 2 (𝜑 → (LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿))
39 fvexd 6857 . . . 4 (𝜑 → (ringLMod‘𝐾) ∈ V)
40 fvexd 6857 . . . 4 (𝜑 → (ringLMod‘𝐿) ∈ V)
413, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34, 39, 40lsppropd 20477 . . 3 (𝜑 → (LSpan‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿)))
42 rspval 20660 . . 3 (RSpan‘𝐾) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐾))
43 rspval 20660 . . 3 (RSpan‘𝐿) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿))
4441, 42, 433eqtr4g 2801 . 2 (𝜑 → (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿))
4538, 44jca 512 1 (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910   I cid 5530  cfv 6496  (class class class)co 7356  ndxcnx 17064  Basecbs 17082  +gcplusg 17132  .rcmulr 17133  Scalarcsca 17135   ·𝑠 cvsca 17136  LSubSpclss 20390  LSpanclspn 20430  ringLModcrglmod 20628  LIdealclidl 20629  RSpancrsp 20630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-lss 20391  df-lsp 20431  df-sra 20631  df-rgmod 20632  df-lidl 20633  df-rsp 20634
This theorem is referenced by:  crngridl  20706
  Copyright terms: Public domain W3C validator