Theorem lidlrsppropd 21277

Description: The left ideals and ring span of a ring depend only on the ring components. Here 𝑊 is expected to be either 𝐵 (when closure is available) or V (when strong equality is available). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lidlpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lidlpropd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
lidlpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lidlpropd.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
lidlpropd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lidlrsppropd	⊢ (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Proof of Theorem lidlrsppropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rlmbas 21223	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
3	1, 2	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
4		lidlpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
5		rlmbas 21223	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(ringLMod‘𝐿))
6	4, 5	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐿)))
7		lidlpropd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
8		lidlpropd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
9		rlmplusg 21224	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾))
10	9	oveqi 7461	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
11		rlmplusg 21224	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘(ringLMod‘𝐿))
12	11	oveqi 7461	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
13	8, 10, 12	3eqtr3g 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
14		rlmvsca 21230	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
15	14	oveqi 7461	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
16		lidlpropd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
17	15, 16	eqeltrrid 2849	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) ∈ 𝑊)
18		lidlpropd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
19		rlmvsca 21230	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐿) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))
20	19	oveqi 7461	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
21	18, 15, 20	3eqtr3g 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
22		baseid 17261	. . . . . . 7 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
23		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
24	22, 23	strfvi 17237	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘( I ‘𝐾))
25		rlmsca2 21229	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝐾) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾))
26	25	fveq2i 6923	. . . . . 6 ⊢ (Base‘( I ‘𝐾)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
27	24, 26	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
28	1, 27	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾))))
29		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
30	22, 29	strfvi 17237	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘( I ‘𝐿))
31		rlmsca2 21229	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝐿) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐿))
32	31	fveq2i 6923	. . . . . 6 ⊢ (Base‘( I ‘𝐿)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
33	30, 32	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
34	4, 33	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿))))
35	3, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34	lsspropd 21039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿)))
36		lidlval 21243	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝐾) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾))
37		lidlval 21243	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝐿) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿))
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿))
39		fvexd 6935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝐾) ∈ V)
40		fvexd 6935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝐿) ∈ V)
41	3, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34, 39, 40	lsppropd 21040	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSpan‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿)))
42		rspval 21244	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝐾) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐾))
43		rspval 21244	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝐿) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿))
44	41, 42, 43	3eqtr4g 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿))
45	38, 44	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   I cid 5592  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992  ringLModcrglmod 21194  LIdealclidl 21239  RSpancrsp 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242

This theorem is referenced by:  crngridl  21313