Theorem lidlrsppropd 21254

Description: The left ideals and ring span of a ring depend only on the ring components. Here 𝑊 is expected to be either 𝐵 (when closure is available) or V (when strong equality is available). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lidlpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lidlpropd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
lidlpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lidlpropd.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
lidlpropd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lidlrsppropd	⊢ (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Proof of Theorem lidlrsppropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rlmbas 21200	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
3	1, 2	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
4		lidlpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
5		rlmbas 21200	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(ringLMod‘𝐿))
6	4, 5	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐿)))
7		lidlpropd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
8		lidlpropd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
9		rlmplusg 21201	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾))
10	9	oveqi 7444	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
11		rlmplusg 21201	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘(ringLMod‘𝐿))
12	11	oveqi 7444	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
13	8, 10, 12	3eqtr3g 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
14		rlmvsca 21207	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
15	14	oveqi 7444	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
16		lidlpropd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
17	15, 16	eqeltrrid 2846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) ∈ 𝑊)
18		lidlpropd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
19		rlmvsca 21207	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐿) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))
20	19	oveqi 7444	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
21	18, 15, 20	3eqtr3g 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
22		baseid 17250	. . . . . . 7 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
24	22, 23	strfvi 17227	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘( I ‘𝐾))
25		rlmsca2 21206	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝐾) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾))
26	25	fveq2i 6909	. . . . . 6 ⊢ (Base‘( I ‘𝐾)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
27	24, 26	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
28	1, 27	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾))))
29		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
30	22, 29	strfvi 17227	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘( I ‘𝐿))
31		rlmsca2 21206	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝐿) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐿))
32	31	fveq2i 6909	. . . . . 6 ⊢ (Base‘( I ‘𝐿)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
33	30, 32	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
34	4, 33	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿))))
35	3, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34	lsspropd 21016	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿)))
36		lidlval 21220	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝐾) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾))
37		lidlval 21220	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝐿) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿))
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿))
39		fvexd 6921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝐾) ∈ V)
40		fvexd 6921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝐿) ∈ V)
41	3, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34, 39, 40	lsppropd 21017	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSpan‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿)))
42		rspval 21221	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝐾) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐾))
43		rspval 21221	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝐿) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿))
44	41, 42, 43	3eqtr4g 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿))
45	38, 44	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   I cid 5577  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  ringLModcrglmod 21171  LIdealclidl 21216  RSpancrsp 21217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219

This theorem is referenced by:  crngridl  21290