Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lss0v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lss0v 19411
 Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0v.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lss0v.o 0 = (0g𝑊)
lss0v.z 𝑍 = (0g𝑋)
lss0v.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lss0v ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → 𝑍 = 0 )

Proof of Theorem lss0v
StepHypRef Expression
1 0ss 4197 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝑈
2 lss0v.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
3 eqid 2777 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4 eqid 2777 . . . . . 6 (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
5 lss0v.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
62, 3, 4, 5lsslsp 19410 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿 ∧ ∅ ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = ((LSpan‘𝑋)‘∅))
71, 6mp3an3 1523 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = ((LSpan‘𝑋)‘∅))
8 lss0v.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
98, 3lsp0 19404 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
109adantr 474 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
112, 5lsslmod 19355 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
12 lss0v.z . . . . . 6 𝑍 = (0g𝑋)
1312, 4lsp0 19404 . . . . 5 (𝑋 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = {𝑍})
1411, 13syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = {𝑍})
157, 10, 143eqtr3rd 2822 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → {𝑍} = { 0 })
1615unieqd 4681 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → {𝑍} = { 0 })
1712fvexi 6460 . . 3 𝑍 ∈ V
1817unisn 4687 . 2 {𝑍} = 𝑍
198fvexi 6460 . . 3 0 ∈ V
2019unisn 4687 . 2 { 0 } = 0
2116, 18, 203eqtr3g 2836 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → 𝑍 = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3791  ∅c0 4140  {csn 4397  ∪ cuni 4671  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↾s cress 16256  0gc0g 16486  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324  LSpanclspn 19366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367 This theorem is referenced by:  phlssphl  20402  lcd0v  37760
 Copyright terms: Public domain W3C validator