Theorem lss0v 21201

Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0v.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lss0v.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0v.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑋)
lss0v.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss0v	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑍 = 0 )

Proof of Theorem lss0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4353	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑈
2		lss0v.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
5		lss0v.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	lsslsp 21200	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ ∅ ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
7	1, 6	mp3an3 1479	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
8	2, 5	lsslmod 21145	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
9		lss0v.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑋)
10	9, 4	lsp0 21194	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = {𝑍})
11	8, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = {𝑍})
12		lss0v.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13	12, 3	lsp0 21194	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
15	7, 11, 14	3eqtr3d 2805	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → {𝑍} = { 0 })
16	15	unieqd 4883	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ {𝑍} = ∪ { 0 })
17	9	fvexi 6896	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
18	17	unisn 4889	. 2 ⊢ ∪ {𝑍} = 𝑍
19	12	fvexi 6896	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
20	19	unisn 4889	. 2 ⊢ ∪ { 0 } = 0
21	16, 18, 20	3eqtr3g 2820	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑍 = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↾_s cress 17326  0_gc0g 17528  LModclmod 21045  LSubSpclss 21116  LSpanclspn 21156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157

This theorem is used by:  phlssphl  21873  lcd0v  42471