Theorem mapdunirnN 42309

Description: Union of the range of the map defined by df-mapd 42284. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdrn.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdrn.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdunirn.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapdunirn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
mapdunirnN	⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑀 = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)

Proof of Theorem mapdunirnN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdrn.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdrn.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdrn.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdrn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdrn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		mapdrn.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
8		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) = (LSubSp‘(LDual‘𝑈))
9		mapdunirn.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
10		mapdunirn.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mapdrn 42308	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶))
12	11	unieqd 4886	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑀 = ∪ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶))
13		uniin 4897	. . . 4 ⊢ ∪ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ (∪ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ ∪ 𝒫 𝐶)
14		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(LDual‘𝑈)) = (Base‘(LDual‘𝑈))
15	1, 4, 10	dvhlmod 41769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
16	7, 15	lduallmod 39812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (LDual‘𝑈) ∈ LMod)
17	14, 8, 16	lssuni 21034	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) = (Base‘(LDual‘𝑈)))
18	5, 7, 14, 15	ldualvbase 39785	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(LDual‘𝑈)) = 𝐹)
19	17, 18	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) = 𝐹)
20		unipw 5429	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝒫 𝐶 = 𝐶
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝒫 𝐶 = 𝐶)
22	19, 21	ineq12d 4182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∪ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ ∪ 𝒫 𝐶) = (𝐹 ∩ 𝐶))
23		ssrab2 4042	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ⊆ 𝐹
24	9, 23	eqsstri 3991	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐹
25		sseqin2 4184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐹 ↔ (𝐹 ∩ 𝐶) = 𝐶)
26	24, 25	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐶) = 𝐶
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∩ 𝐶) = 𝐶)
28	22, 27	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∪ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ ∪ 𝒫 𝐶) = 𝐶)
29	13, 28	sseqtrid 3987	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝐶)
30	1, 4, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lclkr 42192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)))
31	5	fvexi 6893	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ V
32	9, 31	rabex2 5309	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ V
33	32	pwid 4587	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ 𝒫 𝐶
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝒫 𝐶)
35	30, 34	elind 4161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶))
36		elssuni 4905	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶) → 𝐶 ⊆ ∪ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶))
37	35, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶))
38	29, 37	eqssd 3962	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶) = 𝐶)
39	12, 38	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑀 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4564  ∪ cuni 4873  ran crn 5660  ‘cfv 6534  Basecbs 17265  LModclmod 20955  LSubSpclss 21026  LFnlclfn 39716  LKerclk 39744  LDualcld 39782  HLchlt 40009  LHypclh 40643  DVecHcdvh 41737  ocHcoch 42006  mapdcmpd 42283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-riotaBAD 39612

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-0g 17490  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-proset 18346  df-poset 18365  df-plt 18380  df-lub 18396  df-glb 18397  df-join 18398  df-meet 18399  df-p0 18475  df-p1 18476  df-lat 18484  df-clat 18551  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cntz 19383  df-oppg 19412  df-lsm 19702  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-nzr 20592  df-rlreg 20775  df-domn 20776  df-drng 20811  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-lvec 21198  df-lsatoms 39635  df-lshyp 39636  df-lcv 39678  df-lfl 39717  df-lkr 39745  df-ldual 39783  df-oposet 39835  df-ol 39837  df-oml 39838  df-covers 39925  df-ats 39926  df-atl 39957  df-cvlat 39981  df-hlat 40010  df-llines 40157  df-lplanes 40158  df-lvols 40159  df-lines 40160  df-psubsp 40162  df-pmap 40163  df-padd 40455  df-lhyp 40647  df-laut 40648  df-ldil 40763  df-ltrn 40764  df-trl 40818  df-tgrp 41402  df-tendo 41414  df-edring 41416  df-dveca 41662  df-disoa 41688  df-dvech 41738  df-dib 41798  df-dic 41832  df-dih 41888  df-doch 42007  df-djh 42054  df-mapd 42284

This theorem is referenced by: (None)