Theorem mapdunirnN 42452

Description: Union of the range of the map defined by df-mapd 42427. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdrn.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdrn.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdunirn.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapdunirn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
mapdunirnN	⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑀 = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)

Proof of Theorem mapdunirnN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdrn.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdrn.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdrn.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdrn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdrn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		mapdrn.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
8		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) = (LSubSp‘(LDual‘𝑈))
9		mapdunirn.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
10		mapdunirn.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mapdrn 42451	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶))
12	11	unieqd 4884	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑀 = ∪ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶))
13		uniin 4895	. . . 4 ⊢ ∪ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ (∪ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ ∪ 𝒫 𝐶)
14		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(LDual‘𝑈)) = (Base‘(LDual‘𝑈))
15	1, 4, 10	dvhlmod 41912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
16	7, 15	lduallmod 39955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (LDual‘𝑈) ∈ LMod)
17	14, 8, 16	lssuni 21071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) = (Base‘(LDual‘𝑈)))
18	5, 7, 14, 15	ldualvbase 39928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(LDual‘𝑈)) = 𝐹)
19	17, 18	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) = 𝐹)
20		unipw 5430	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝒫 𝐶 = 𝐶
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝒫 𝐶 = 𝐶)
22	19, 21	ineq12d 4173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∪ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ ∪ 𝒫 𝐶) = (𝐹 ∩ 𝐶))
23		ssrab2 4033	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ⊆ 𝐹
24	9, 23	eqsstri 3982	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐹
25		sseqin2 4175	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐹 ↔ (𝐹 ∩ 𝐶) = 𝐶)
26	24, 25	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐶) = 𝐶
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∩ 𝐶) = 𝐶)
28	22, 27	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∪ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ ∪ 𝒫 𝐶) = 𝐶)
29	13, 28	sseqtrid 3978	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝐶)
30	1, 4, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lclkr 42335	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)))
31	5	fvexi 6895	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ V
32	9, 31	rabex2 5310	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ V
33	32	pwid 4584	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ 𝒫 𝐶
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝒫 𝐶)
35	30, 34	elind 4152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶))
36		elssuni 4903	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶) → 𝐶 ⊆ ∪ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶))
37	35, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶))
38	29, 37	eqssd 3953	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 𝐶) = 𝐶)
39	12, 38	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑀 = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {crab 3415   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871  ran crn 5661  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  LModclmod 20992  LSubSpclss 21063  LFnlclfn 39859  LKerclk 39887  LDualcld 39925  HLchlt 40152  LHypclh 40786  DVecHcdvh 41880  ocHcoch 42149  mapdcmpd 42426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 39755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-undef 8267  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-0g 17500  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-p0 18485  df-p1 18486  df-lat 18494  df-clat 18561  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-oppg 19422  df-lsm 19712  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-nzr 20621  df-rlreg 20804  df-domn 20805  df-drng 20840  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-lvec 21235  df-lsatoms 39778  df-lshyp 39779  df-lcv 39821  df-lfl 39860  df-lkr 39888  df-ldual 39926  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300  df-lplanes 40301  df-lvols 40302  df-lines 40303  df-psubsp 40305  df-pmap 40306  df-padd 40598  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907  df-trl 40961  df-tgrp 41545  df-tendo 41557  df-edring 41559  df-dveca 41805  df-disoa 41831  df-dvech 41881  df-dib 41941  df-dic 41975  df-dih 42031  df-doch 42150  df-djh 42197  df-mapd 42427

This theorem is used by: (None)