Theorem lssss 19300

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2825	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2825	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2825	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2825	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 19298	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp1bi 1179	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  +_gcplusg 16312  Scalarcsca 16315   ·_𝑠 cvsca 16316  LSubSpclss 19295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fv 6135  df-ov 6913  df-lss 19296

This theorem is referenced by:  lssel  19301  lssuni  19303  00lss  19305  lsssubg  19323  islss3  19325  lsslss  19327  lssintcl  19330  lssmre  19332  lssacs  19333  lspid  19348  lspssv  19349  lspssp  19354  lsslsp  19381  lmhmima  19413  reslmhm  19418  lsmsp  19452  pj1lmhm  19466  lsppratlem2  19516  lsppratlem3  19517  lsppratlem4  19518  lspprat  19521  lbsextlem3  19528  lidlss  19578  ocvin  20388  pjdm2  20425  pjff  20426  pjf2  20428  pjfo  20429  pjcss  20430  frlmgsum  20485  frlmsplit2  20486  lsslindf  20543  lsslinds  20544  cphsscph  23426  lssbn  23527  minveclem1  23599  minveclem2  23601  minveclem3a  23602  minveclem3b  23603  minveclem3  23604  minveclem4a  23605  minveclem4b  23606  minveclem4  23607  minveclem6  23609  minveclem7  23610  pjthlem1  23612  pjthlem2  23613  pjth  23614  islshpsm  35054  lshpnelb  35058  lshpnel2N  35059  lshpcmp  35062  lsatssv  35072  lssats  35086  lpssat  35087  lssatle  35089  lssat  35090  islshpcv  35127  lkrssv  35170  lkrlsp  35176  dvhopellsm  37191  dvadiaN  37202  dihss  37325  dihrnss  37352  dochord2N  37445  dochord3  37446  dihoml4  37451  dochsat  37457  dochshpncl  37458  dochnoncon  37465  djhlsmcl  37488  dihjat1lem  37502  dochsatshp  37525  dochsatshpb  37526  dochshpsat  37528  dochexmidlem2  37535  dochexmidlem5  37538  dochexmidlem6  37539  dochexmidlem7  37540  dochexmidlem8  37541  lclkrlem2p  37596  lclkrlem2v  37602  lcfrlem5  37620  lcfr  37659  mapdpglem17N  37762  mapdpglem18  37763  mapdpglem21  37766  islssfg  38482  islssfg2  38483  lnmlsslnm  38493  kercvrlsm  38495  lnmepi  38497  filnm  38502  gsumlsscl  43029  lincellss  43080  ellcoellss  43089