Theorem lssss 20931

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 20929	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  LSubSpclss 20926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-lss 20927

This theorem is referenced by:  lssel  20932  lssuni  20934  00lss  20936  lsssubg  20952  islss3  20954  lsslss  20956  lssintcl  20959  lssmre  20961  lssacs  20962  lspid  20977  lspssv  20978  lspssp  20983  lsslsp  21010  lmhmima  21042  reslmhm  21047  lsmsp  21081  pj1lmhm  21095  lsppratlem2  21146  lsppratlem3  21147  lsppratlem4  21148  lspprat  21151  lbsextlem3  21158  lidlss  21210  ocvin  21654  pjdm2  21691  pjff  21692  pjf2  21694  pjfo  21695  pjcss  21696  frlmgsum  21752  frlmsplit2  21753  lsslindf  21810  lsslinds  21811  cphsscph  25218  lssbn  25319  minveclem1  25391  minveclem2  25393  minveclem3a  25394  minveclem3b  25395  minveclem3  25396  minveclem4a  25397  minveclem4b  25398  minveclem4  25399  minveclem6  25401  minveclem7  25402  pjthlem1  25404  pjthlem2  25405  pjth  25406  lssdimle  33752  ply1degltdimlem  33766  ply1degltdim  33767  dimlssid  33776  islshpsm  39426  lshpnelb  39430  lshpnel2N  39431  lshpcmp  39434  lsatssv  39444  lssats  39458  lpssat  39459  lssatle  39461  lssat  39462  islshpcv  39499  lkrssv  39542  lkrlsp  39548  dvhopellsm  41563  dvadiaN  41574  dihss  41697  dihrnss  41724  dochord2N  41817  dochord3  41818  dihoml4  41823  dochsat  41829  dochshpncl  41830  dochnoncon  41837  djhlsmcl  41860  dihjat1lem  41874  dochsatshp  41897  dochsatshpb  41898  dochshpsat  41900  dochexmidlem2  41907  dochexmidlem5  41910  dochexmidlem6  41911  dochexmidlem7  41912  dochexmidlem8  41913  lclkrlem2p  41968  lclkrlem2v  41974  lcfrlem5  41992  lcfr  42031  mapdpglem17N  42134  mapdpglem18  42135  mapdpglem21  42138  islssfg  43498  islssfg2  43499  lnmlsslnm  43509  kercvrlsm  43511  lnmepi  43513  filnm  43518  gsumlsscl  48856  lincellss  48902  ellcoellss  48911