Theorem lssss 21217

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 21215	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  LSubSpclss 21212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-ov 7424  df-lss 21213

This theorem is used by:  lssel  21218  lssuni  21220  00lss  21222  lsssubg  21238  islss3  21240  lsslss  21242  lssintcl  21245  lssmre  21247  lssacs  21248  lspid  21263  lspssv  21264  lspssp  21269  lsslsp  21296  lmhmima  21328  reslmhm  21333  lsmsp  21367  pj1lmhm  21381  lsppratlem2  21432  lsppratlem3  21433  lsppratlem4  21434  lspprat  21437  lbsextlem3  21444  lidlss  21496  ocvin  21986  pjdm2  22023  pjff  22024  pjf2  22026  pjfo  22027  pjcss  22028  frlmgsum  22084  frlmsplit2  22085  lsslindf  22142  lsslinds  22143  cphsscph  25578  lssbn  25679  minveclem1  25751  minveclem2  25753  minveclem3a  25754  minveclem3b  25755  minveclem3  25756  minveclem4a  25757  minveclem4b  25758  minveclem4  25759  minveclem6  25761  minveclem7  25762  pjthlem1  25764  pjthlem2  25765  pjth  25766  lssdimle  34287  ply1degltdimlem  34301  ply1degltdim  34302  dimlssid  34311  islshpsm  40131  lshpnelb  40135  lshpnel2N  40136  lshpcmp  40139  lsatssv  40149  lssats  40163  lpssat  40164  lssatle  40166  lssat  40167  islshpcv  40204  lkrssv  40247  lkrlsp  40253  dvhopellsm  42268  dvadiaN  42279  dihss  42402  dihrnss  42429  dochord2N  42522  dochord3  42523  dihoml4  42528  dochsat  42534  dochshpncl  42535  dochnoncon  42542  djhlsmcl  42565  dihjat1lem  42579  dochsatshp  42602  dochsatshpb  42603  dochshpsat  42605  dochexmidlem2  42612  dochexmidlem5  42615  dochexmidlem6  42616  dochexmidlem7  42617  dochexmidlem8  42618  lclkrlem2p  42673  lclkrlem2v  42679  lcfrlem5  42697  lcfr  42736  mapdpglem17N  42839  mapdpglem18  42840  mapdpglem21  42843  islssfg  44166  islssfg2  44167  lnmlsslnm  44177  kercvrlsm  44179  lnmepi  44181  filnm  44186  gsumlsscl  49586  lincellss  49632  ellcoellss  49641