Theorem lssss 20887

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 20885	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  LSubSpclss 20882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-lss 20883

This theorem is referenced by:  lssel  20888  lssuni  20890  00lss  20892  lsssubg  20908  islss3  20910  lsslss  20912  lssintcl  20915  lssmre  20917  lssacs  20918  lspid  20933  lspssv  20934  lspssp  20939  lsslsp  20966  lsslspOLD  20967  lmhmima  20999  reslmhm  21004  lsmsp  21038  pj1lmhm  21052  lsppratlem2  21103  lsppratlem3  21104  lsppratlem4  21105  lspprat  21108  lbsextlem3  21115  lidlss  21167  ocvin  21629  pjdm2  21666  pjff  21667  pjf2  21669  pjfo  21670  pjcss  21671  frlmgsum  21727  frlmsplit2  21728  lsslindf  21785  lsslinds  21786  cphsscph  25207  lssbn  25308  minveclem1  25380  minveclem2  25382  minveclem3a  25383  minveclem3b  25384  minveclem3  25385  minveclem4a  25386  minveclem4b  25387  minveclem4  25388  minveclem6  25390  minveclem7  25391  pjthlem1  25393  pjthlem2  25394  pjth  25395  lssdimle  33764  ply1degltdimlem  33779  ply1degltdim  33780  dimlssid  33789  islshpsm  39240  lshpnelb  39244  lshpnel2N  39245  lshpcmp  39248  lsatssv  39258  lssats  39272  lpssat  39273  lssatle  39275  lssat  39276  islshpcv  39313  lkrssv  39356  lkrlsp  39362  dvhopellsm  41377  dvadiaN  41388  dihss  41511  dihrnss  41538  dochord2N  41631  dochord3  41632  dihoml4  41637  dochsat  41643  dochshpncl  41644  dochnoncon  41651  djhlsmcl  41674  dihjat1lem  41688  dochsatshp  41711  dochsatshpb  41712  dochshpsat  41714  dochexmidlem2  41721  dochexmidlem5  41724  dochexmidlem6  41725  dochexmidlem7  41726  dochexmidlem8  41727  lclkrlem2p  41782  lclkrlem2v  41788  lcfrlem5  41806  lcfr  41845  mapdpglem17N  41948  mapdpglem18  41949  mapdpglem21  41952  islssfg  43312  islssfg2  43313  lnmlsslnm  43323  kercvrlsm  43325  lnmepi  43327  filnm  43332  gsumlsscl  48626  lincellss  48672  ellcoellss  48681