Theorem lssss 19702

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2821	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 19700	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp1bi 1141	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  LSubSpclss 19697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-ov 7153  df-lss 19698

This theorem is referenced by:  lssel  19703  lssuni  19705  00lss  19707  lsssubg  19723  islss3  19725  lsslss  19727  lssintcl  19730  lssmre  19732  lssacs  19733  lspid  19748  lspssv  19749  lspssp  19754  lsslsp  19781  lmhmima  19813  reslmhm  19818  lsmsp  19852  pj1lmhm  19866  lsppratlem2  19914  lsppratlem3  19915  lsppratlem4  19916  lspprat  19919  lbsextlem3  19926  lidlss  19977  ocvin  20812  pjdm2  20849  pjff  20850  pjf2  20852  pjfo  20853  pjcss  20854  frlmgsum  20910  frlmsplit2  20911  lsslindf  20968  lsslinds  20969  cphsscph  23848  lssbn  23949  minveclem1  24021  minveclem2  24023  minveclem3a  24024  minveclem3b  24025  minveclem3  24026  minveclem4a  24027  minveclem4b  24028  minveclem4  24029  minveclem6  24031  minveclem7  24032  pjthlem1  24034  pjthlem2  24035  pjth  24036  lssdimle  31001  islshpsm  36110  lshpnelb  36114  lshpnel2N  36115  lshpcmp  36118  lsatssv  36128  lssats  36142  lpssat  36143  lssatle  36145  lssat  36146  islshpcv  36183  lkrssv  36226  lkrlsp  36232  dvhopellsm  38247  dvadiaN  38258  dihss  38381  dihrnss  38408  dochord2N  38501  dochord3  38502  dihoml4  38507  dochsat  38513  dochshpncl  38514  dochnoncon  38521  djhlsmcl  38544  dihjat1lem  38558  dochsatshp  38581  dochsatshpb  38582  dochshpsat  38584  dochexmidlem2  38591  dochexmidlem5  38594  dochexmidlem6  38595  dochexmidlem7  38596  dochexmidlem8  38597  lclkrlem2p  38652  lclkrlem2v  38658  lcfrlem5  38676  lcfr  38715  mapdpglem17N  38818  mapdpglem18  38819  mapdpglem21  38822  islssfg  39663  islssfg2  39664  lnmlsslnm  39674  kercvrlsm  39676  lnmepi  39678  filnm  39683  gsumlsscl  44425  lincellss  44475  ellcoellss  44484