Theorem lssss 20904

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 20902	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  Scalarcsca 17194   ·_𝑠 cvsca 17195  LSubSpclss 20899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fv 6510  df-ov 7373  df-lss 20900

This theorem is referenced by:  lssel  20905  lssuni  20907  00lss  20909  lsssubg  20925  islss3  20927  lsslss  20929  lssintcl  20932  lssmre  20934  lssacs  20935  lspid  20950  lspssv  20951  lspssp  20956  lsslsp  20983  lsslspOLD  20984  lmhmima  21016  reslmhm  21021  lsmsp  21055  pj1lmhm  21069  lsppratlem2  21120  lsppratlem3  21121  lsppratlem4  21122  lspprat  21125  lbsextlem3  21132  lidlss  21184  ocvin  21646  pjdm2  21683  pjff  21684  pjf2  21686  pjfo  21687  pjcss  21688  frlmgsum  21744  frlmsplit2  21745  lsslindf  21802  lsslinds  21803  cphsscph  25224  lssbn  25325  minveclem1  25397  minveclem2  25399  minveclem3a  25400  minveclem3b  25401  minveclem3  25402  minveclem4a  25403  minveclem4b  25404  minveclem4  25405  minveclem6  25407  minveclem7  25408  pjthlem1  25410  pjthlem2  25411  pjth  25412  lssdimle  33791  ply1degltdimlem  33806  ply1degltdim  33807  dimlssid  33816  islshpsm  39385  lshpnelb  39389  lshpnel2N  39390  lshpcmp  39393  lsatssv  39403  lssats  39417  lpssat  39418  lssatle  39420  lssat  39421  islshpcv  39458  lkrssv  39501  lkrlsp  39507  dvhopellsm  41522  dvadiaN  41533  dihss  41656  dihrnss  41683  dochord2N  41776  dochord3  41777  dihoml4  41782  dochsat  41788  dochshpncl  41789  dochnoncon  41796  djhlsmcl  41819  dihjat1lem  41833  dochsatshp  41856  dochsatshpb  41857  dochshpsat  41859  dochexmidlem2  41866  dochexmidlem5  41869  dochexmidlem6  41870  dochexmidlem7  41871  dochexmidlem8  41872  lclkrlem2p  41927  lclkrlem2v  41933  lcfrlem5  41951  lcfr  41990  mapdpglem17N  42093  mapdpglem18  42094  mapdpglem21  42097  islssfg  43456  islssfg2  43457  lnmlsslnm  43467  kercvrlsm  43469  lnmepi  43471  filnm  43476  gsumlsscl  48769  lincellss  48815  ellcoellss  48824