Theorem lssss 20857

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 20855	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  LSubSpclss 20852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7356  df-lss 20853

This theorem is referenced by:  lssel  20858  lssuni  20860  00lss  20862  lsssubg  20878  islss3  20880  lsslss  20882  lssintcl  20885  lssmre  20887  lssacs  20888  lspid  20903  lspssv  20904  lspssp  20909  lsslsp  20936  lsslspOLD  20937  lmhmima  20969  reslmhm  20974  lsmsp  21008  pj1lmhm  21022  lsppratlem2  21073  lsppratlem3  21074  lsppratlem4  21075  lspprat  21078  lbsextlem3  21085  lidlss  21137  ocvin  21599  pjdm2  21636  pjff  21637  pjf2  21639  pjfo  21640  pjcss  21641  frlmgsum  21697  frlmsplit2  21698  lsslindf  21755  lsslinds  21756  cphsscph  25167  lssbn  25268  minveclem1  25340  minveclem2  25342  minveclem3a  25343  minveclem3b  25344  minveclem3  25345  minveclem4a  25346  minveclem4b  25347  minveclem4  25348  minveclem6  25350  minveclem7  25351  pjthlem1  25353  pjthlem2  25354  pjth  25355  lssdimle  33582  ply1degltdimlem  33597  ply1degltdim  33598  dimlssid  33607  islshpsm  38961  lshpnelb  38965  lshpnel2N  38966  lshpcmp  38969  lsatssv  38979  lssats  38993  lpssat  38994  lssatle  38996  lssat  38997  islshpcv  39034  lkrssv  39077  lkrlsp  39083  dvhopellsm  41099  dvadiaN  41110  dihss  41233  dihrnss  41260  dochord2N  41353  dochord3  41354  dihoml4  41359  dochsat  41365  dochshpncl  41366  dochnoncon  41373  djhlsmcl  41396  dihjat1lem  41410  dochsatshp  41433  dochsatshpb  41434  dochshpsat  41436  dochexmidlem2  41443  dochexmidlem5  41446  dochexmidlem6  41447  dochexmidlem7  41448  dochexmidlem8  41449  lclkrlem2p  41504  lclkrlem2v  41510  lcfrlem5  41528  lcfr  41567  mapdpglem17N  41670  mapdpglem18  41671  mapdpglem21  41674  islssfg  43046  islssfg2  43047  lnmlsslnm  43057  kercvrlsm  43059  lnmepi  43061  filnm  43066  gsumlsscl  48368  lincellss  48415  ellcoellss  48424