Theorem lssss 21204

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 21202	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  LSubSpclss 21199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7421  df-lss 21200

This theorem is used by:  lssel  21205  lssuni  21207  00lss  21209  lsssubg  21225  islss3  21227  lsslss  21229  lssintcl  21232  lssmre  21234  lssacs  21235  lspid  21250  lspssv  21251  lspssp  21256  lsslsp  21283  lmhmima  21315  reslmhm  21320  lsmsp  21354  pj1lmhm  21368  lsppratlem2  21419  lsppratlem3  21420  lsppratlem4  21421  lspprat  21424  lbsextlem3  21431  lidlss  21483  ocvin  21973  pjdm2  22010  pjff  22011  pjf2  22013  pjfo  22014  pjcss  22015  frlmgsum  22071  frlmsplit2  22072  lsslindf  22129  lsslinds  22130  cphsscph  25565  lssbn  25666  minveclem1  25738  minveclem2  25740  minveclem3a  25741  minveclem3b  25742  minveclem3  25743  minveclem4a  25744  minveclem4b  25745  minveclem4  25746  minveclem6  25748  minveclem7  25749  pjthlem1  25751  pjthlem2  25752  pjth  25753  lssdimle  34233  ply1degltdimlem  34247  ply1degltdim  34248  dimlssid  34257  islshpsm  40017  lshpnelb  40021  lshpnel2N  40022  lshpcmp  40025  lsatssv  40035  lssats  40049  lpssat  40050  lssatle  40052  lssat  40053  islshpcv  40090  lkrssv  40133  lkrlsp  40139  dvhopellsm  42154  dvadiaN  42165  dihss  42288  dihrnss  42315  dochord2N  42408  dochord3  42409  dihoml4  42414  dochsat  42420  dochshpncl  42421  dochnoncon  42428  djhlsmcl  42451  dihjat1lem  42465  dochsatshp  42488  dochsatshpb  42489  dochshpsat  42491  dochexmidlem2  42498  dochexmidlem5  42501  dochexmidlem6  42502  dochexmidlem7  42503  dochexmidlem8  42504  lclkrlem2p  42559  lclkrlem2v  42565  lcfrlem5  42583  lcfr  42622  mapdpglem17N  42725  mapdpglem18  42726  mapdpglem21  42729  islssfg  44056  islssfg2  44057  lnmlsslnm  44067  kercvrlsm  44069  lnmepi  44071  filnm  44076  gsumlsscl  49461  lincellss  49507  ellcoellss  49516