Theorem lssss 19701

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2798	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2798	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 19699	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp1bi 1142	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  LSubSpclss 19696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-lss 19697

This theorem is referenced by:  lssel  19702  lssuni  19704  00lss  19706  lsssubg  19722  islss3  19724  lsslss  19726  lssintcl  19729  lssmre  19731  lssacs  19732  lspid  19747  lspssv  19748  lspssp  19753  lsslsp  19780  lmhmima  19812  reslmhm  19817  lsmsp  19851  pj1lmhm  19865  lsppratlem2  19913  lsppratlem3  19914  lsppratlem4  19915  lspprat  19918  lbsextlem3  19925  lidlss  19976  ocvin  20363  pjdm2  20400  pjff  20401  pjf2  20403  pjfo  20404  pjcss  20405  frlmgsum  20461  frlmsplit2  20462  lsslindf  20519  lsslinds  20520  cphsscph  23855  lssbn  23956  minveclem1  24028  minveclem2  24030  minveclem3a  24031  minveclem3b  24032  minveclem3  24033  minveclem4a  24034  minveclem4b  24035  minveclem4  24036  minveclem6  24038  minveclem7  24039  pjthlem1  24041  pjthlem2  24042  pjth  24043  lssdimle  31094  islshpsm  36276  lshpnelb  36280  lshpnel2N  36281  lshpcmp  36284  lsatssv  36294  lssats  36308  lpssat  36309  lssatle  36311  lssat  36312  islshpcv  36349  lkrssv  36392  lkrlsp  36398  dvhopellsm  38413  dvadiaN  38424  dihss  38547  dihrnss  38574  dochord2N  38667  dochord3  38668  dihoml4  38673  dochsat  38679  dochshpncl  38680  dochnoncon  38687  djhlsmcl  38710  dihjat1lem  38724  dochsatshp  38747  dochsatshpb  38748  dochshpsat  38750  dochexmidlem2  38757  dochexmidlem5  38760  dochexmidlem6  38761  dochexmidlem7  38762  dochexmidlem8  38763  lclkrlem2p  38818  lclkrlem2v  38824  lcfrlem5  38842  lcfr  38881  mapdpglem17N  38984  mapdpglem18  38985  mapdpglem21  38988  islssfg  40014  islssfg2  40015  lnmlsslnm  40025  kercvrlsm  40027  lnmepi  40029  filnm  40034  gsumlsscl  44785  lincellss  44835  ellcoellss  44844