Theorem lssss 20957

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 20955	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  LSubSpclss 20952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-lss 20953

This theorem is referenced by:  lssel  20958  lssuni  20960  00lss  20962  lsssubg  20978  islss3  20980  lsslss  20982  lssintcl  20985  lssmre  20987  lssacs  20988  lspid  21003  lspssv  21004  lspssp  21009  lsslsp  21036  lsslspOLD  21037  lmhmima  21069  reslmhm  21074  lsmsp  21108  pj1lmhm  21122  lsppratlem2  21173  lsppratlem3  21174  lsppratlem4  21175  lspprat  21178  lbsextlem3  21185  lidlss  21245  ocvin  21715  pjdm2  21754  pjff  21755  pjf2  21757  pjfo  21758  pjcss  21759  frlmgsum  21815  frlmsplit2  21816  lsslindf  21873  lsslinds  21874  cphsscph  25304  lssbn  25405  minveclem1  25477  minveclem2  25479  minveclem3a  25480  minveclem3b  25481  minveclem3  25482  minveclem4a  25483  minveclem4b  25484  minveclem4  25485  minveclem6  25487  minveclem7  25488  pjthlem1  25490  pjthlem2  25491  pjth  25492  lssdimle  33620  ply1degltdimlem  33635  ply1degltdim  33636  dimlssid  33645  islshpsm  38936  lshpnelb  38940  lshpnel2N  38941  lshpcmp  38944  lsatssv  38954  lssats  38968  lpssat  38969  lssatle  38971  lssat  38972  islshpcv  39009  lkrssv  39052  lkrlsp  39058  dvhopellsm  41074  dvadiaN  41085  dihss  41208  dihrnss  41235  dochord2N  41328  dochord3  41329  dihoml4  41334  dochsat  41340  dochshpncl  41341  dochnoncon  41348  djhlsmcl  41371  dihjat1lem  41385  dochsatshp  41408  dochsatshpb  41409  dochshpsat  41411  dochexmidlem2  41418  dochexmidlem5  41421  dochexmidlem6  41422  dochexmidlem7  41423  dochexmidlem8  41424  lclkrlem2p  41479  lclkrlem2v  41485  lcfrlem5  41503  lcfr  41542  mapdpglem17N  41645  mapdpglem18  41646  mapdpglem21  41649  islssfg  43027  islssfg2  43028  lnmlsslnm  43038  kercvrlsm  43040  lnmepi  43042  filnm  43047  gsumlsscl  48108  lincellss  48155  ellcoellss  48164