Theorem lssss 20113

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 20111	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp1bi 1143	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  LSubSpclss 20108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-lss 20109

This theorem is referenced by:  lssel  20114  lssuni  20116  00lss  20118  lsssubg  20134  islss3  20136  lsslss  20138  lssintcl  20141  lssmre  20143  lssacs  20144  lspid  20159  lspssv  20160  lspssp  20165  lsslsp  20192  lmhmima  20224  reslmhm  20229  lsmsp  20263  pj1lmhm  20277  lsppratlem2  20325  lsppratlem3  20326  lsppratlem4  20327  lspprat  20330  lbsextlem3  20337  lidlss  20394  ocvin  20791  pjdm2  20828  pjff  20829  pjf2  20831  pjfo  20832  pjcss  20833  frlmgsum  20889  frlmsplit2  20890  lsslindf  20947  lsslinds  20948  cphsscph  24320  lssbn  24421  minveclem1  24493  minveclem2  24495  minveclem3a  24496  minveclem3b  24497  minveclem3  24498  minveclem4a  24499  minveclem4b  24500  minveclem4  24501  minveclem6  24503  minveclem7  24504  pjthlem1  24506  pjthlem2  24507  pjth  24508  lssdimle  31593  islshpsm  36921  lshpnelb  36925  lshpnel2N  36926  lshpcmp  36929  lsatssv  36939  lssats  36953  lpssat  36954  lssatle  36956  lssat  36957  islshpcv  36994  lkrssv  37037  lkrlsp  37043  dvhopellsm  39058  dvadiaN  39069  dihss  39192  dihrnss  39219  dochord2N  39312  dochord3  39313  dihoml4  39318  dochsat  39324  dochshpncl  39325  dochnoncon  39332  djhlsmcl  39355  dihjat1lem  39369  dochsatshp  39392  dochsatshpb  39393  dochshpsat  39395  dochexmidlem2  39402  dochexmidlem5  39405  dochexmidlem6  39406  dochexmidlem7  39407  dochexmidlem8  39408  lclkrlem2p  39463  lclkrlem2v  39469  lcfrlem5  39487  lcfr  39526  mapdpglem17N  39629  mapdpglem18  39630  mapdpglem21  39633  islssfg  40811  islssfg2  40812  lnmlsslnm  40822  kercvrlsm  40824  lnmepi  40826  filnm  40831  gsumlsscl  45607  lincellss  45655  ellcoellss  45664