Theorem lttrii 42275

Description: 'Less than' is transitive. (Contributed by SN, 26-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lttrii.a	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lttrii.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lttrii.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ
lttrii.1	⊢ 𝐴 < 𝐵
lttrii.2	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
lttrii	⊢ 𝐴 < 𝐶

Proof of Theorem lttrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrii.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lttrii.2	. 2 ⊢ 𝐵 < 𝐶
3		lttrii.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		lttrii.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		lttrii.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
6	3, 4, 5	lttri 11383	. 2 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
7	1, 2, 6	mp2an 692	1 ⊢ 𝐴 < 𝐶

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5141  ℝcr 11150   < clt 11291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-resscn 11208  ax-pre-lttrn 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-ltxr 11296

This theorem is referenced by:  asin1half  42365