Theorem lttrii 42237

Description: 'Less than' is transitive. (Contributed by SN, 26-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lttrii.a	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lttrii.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lttrii.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ
lttrii.1	⊢ 𝐴 < 𝐵
lttrii.2	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
lttrii	⊢ 𝐴 < 𝐶

Proof of Theorem lttrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrii.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lttrii.2	. 2 ⊢ 𝐵 < 𝐶
3		lttrii.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		lttrii.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		lttrii.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
6	3, 4, 5	lttri 11354	. 2 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
7	1, 2, 6	mp2an 692	1 ⊢ 𝐴 < 𝐶

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5117  ℝcr 11121   < clt 11262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-resscn 11179  ax-pre-lttrn 11197

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-id 5546  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-ltxr 11267

This theorem is referenced by:  asin1half  42332