Theorem lttrii 42237

Description: 'Less than' is transitive. (Contributed by SN, 26-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lttrii.a	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lttrii.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lttrii.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ
lttrii.1	⊢ 𝐴 < 𝐵
lttrii.2	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
lttrii	⊢ 𝐴 < 𝐶

Proof of Theorem lttrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrii.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lttrii.2	. 2 ⊢ 𝐵 < 𝐶
3		lttrii.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		lttrii.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		lttrii.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
6	3, 4, 5	lttri 11378	. 2 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
7	1, 2, 6	mp2an 691	1 ⊢ 𝐴 < 𝐶

Syntax hints:   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149  ℝcr 11145   < clt 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-resscn 11203  ax-pre-lttrn 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291

This theorem is referenced by:  asin1half  42324