Theorem lttri 11340

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1462	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  1lt3  12385  2lt4  12387  1lt4  12388  3lt5  12390  2lt5  12391  1lt5  12392  4lt6  12394  3lt6  12395  2lt6  12396  1lt6  12397  5lt7  12399  4lt7  12400  3lt7  12401  2lt7  12402  1lt7  12403  6lt8  12405  5lt8  12406  4lt8  12407  3lt8  12408  2lt8  12409  1lt8  12410  7lt9  12412  6lt9  12413  5lt9  12414  4lt9  12415  3lt9  12416  2lt9  12417  1lt9  12418  8lt10  12809  7lt10  12810  6lt10  12811  5lt10  12812  4lt10  12813  3lt10  12814  2lt10  12815  1lt10  12816  sincos2sgn  16137  epos  16150  ene1  16153  dvdslelem  16252  oppcbasOLD  17664  sralemOLD  20791  zlmlemOLD  21067  psgnodpmr  21143  tnglemOLD  24150  xrhmph  24463  vitalilem4  25128  pipos  25970  logneg  26096  asin1  26399  reasinsin  26401  atan1  26433  log2le1  26455  bposlem8  26794  bposlem9  26795  chebbnd1lem2  26973  chebbnd1lem3  26974  chebbnd1  26975  mulog2sumlem2  27038  pntibndlem1  27092  pntlemb  27100  pntlemk  27109  ttglemOLD  28129  cchhllemOLD  28145  axlowdimlem16  28215  dp2ltc  32053  sgnnbi  33544  sgnpbi  33545  signswch  33572  hgt750lem  33663  hgt750lem2  33664  logi  34704  cnndvlem1  35413  bj-minftyccb  36106  bj-pinftynminfty  36108  irrdiff  36207  asindmre  36571  fdc  36613  sn-0ne2  41279  fourierdlem94  44916  fourierdlem102  44924  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem112  44934  fourierdlem113  44935  fourierdlem114  44936  fouriersw  44947  etransclem23  44973