Theorem lttri 11272

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1464	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  1lt3  12349  2lt4  12351  1lt4  12352  3lt5  12354  2lt5  12355  1lt5  12356  4lt6  12358  3lt6  12359  2lt6  12360  1lt6  12361  5lt7  12363  4lt7  12364  3lt7  12365  2lt7  12366  1lt7  12367  6lt8  12369  5lt8  12370  4lt8  12371  3lt8  12372  2lt8  12373  1lt8  12374  7lt9  12376  6lt9  12377  5lt9  12378  4lt9  12379  3lt9  12380  2lt9  12381  1lt9  12382  8lt10  12776  7lt10  12777  6lt10  12778  5lt10  12779  4lt10  12780  3lt10  12781  2lt10  12782  1lt10  12783  sincos2sgn  16161  epos  16174  ene1  16177  dvdslelem  16278  psgnodpmr  21570  xrhmph  24914  vitalilem4  25578  pipos  26423  logi  26551  logneg  26552  asin1  26858  reasinsin  26860  atan1  26892  log2le1  26914  bposlem8  27254  bposlem9  27255  chebbnd1lem2  27433  chebbnd1lem3  27434  chebbnd1  27435  mulog2sumlem2  27498  pntibndlem1  27552  pntlemb  27560  pntlemk  27569  axlowdimlem16  29026  sgnnbi  32911  sgnpbi  32912  dp2ltc  32946  signswch  34705  hgt750lem  34795  hgt750lem2  34796  cnndvlem1  36797  bj-minftyccb  37539  bj-pinftynminfty  37541  irrdiff  37640  asindmre  38024  fdc  38066  lttrii  42694  sn-0ne2  42838  fourierdlem94  46628  fourierdlem102  46636  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem112  46646  fourierdlem113  46647  fourierdlem114  46648  fouriersw  46659  etransclem23  46685  goldrapos  47331