Theorem lttri 11236

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11186	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ℝcr 11002   < clt 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-pre-lttrn 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148

This theorem is referenced by:  1lt3  12290  2lt4  12292  1lt4  12293  3lt5  12295  2lt5  12296  1lt5  12297  4lt6  12299  3lt6  12300  2lt6  12301  1lt6  12302  5lt7  12304  4lt7  12305  3lt7  12306  2lt7  12307  1lt7  12308  6lt8  12310  5lt8  12311  4lt8  12312  3lt8  12313  2lt8  12314  1lt8  12315  7lt9  12317  6lt9  12318  5lt9  12319  4lt9  12320  3lt9  12321  2lt9  12322  1lt9  12323  8lt10  12717  7lt10  12718  6lt10  12719  5lt10  12720  4lt10  12721  3lt10  12722  2lt10  12723  1lt10  12724  sincos2sgn  16100  epos  16113  ene1  16116  dvdslelem  16217  psgnodpmr  21525  xrhmph  24870  vitalilem4  25537  pipos  26393  logi  26521  logneg  26522  asin1  26829  reasinsin  26831  atan1  26863  log2le1  26885  bposlem8  27227  bposlem9  27228  chebbnd1lem2  27406  chebbnd1lem3  27407  chebbnd1  27408  mulog2sumlem2  27471  pntibndlem1  27525  pntlemb  27533  pntlemk  27542  axlowdimlem16  28933  sgnnbi  32816  sgnpbi  32817  dp2ltc  32862  signswch  34569  hgt750lem  34659  hgt750lem2  34660  cnndvlem1  36570  bj-minftyccb  37258  bj-pinftynminfty  37260  irrdiff  37359  asindmre  37742  fdc  37784  lttrii  42288  sn-0ne2  42438  fourierdlem94  46237  fourierdlem102  46245  fourierdlem103  46246  fourierdlem104  46247  fourierdlem112  46255  fourierdlem113  46256  fourierdlem114  46257  fouriersw  46268  etransclem23  46294