Theorem lttri 11271

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1464	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  1lt3  12325  2lt4  12327  1lt4  12328  3lt5  12330  2lt5  12331  1lt5  12332  4lt6  12334  3lt6  12335  2lt6  12336  1lt6  12337  5lt7  12339  4lt7  12340  3lt7  12341  2lt7  12342  1lt7  12343  6lt8  12345  5lt8  12346  4lt8  12347  3lt8  12348  2lt8  12349  1lt8  12350  7lt9  12352  6lt9  12353  5lt9  12354  4lt9  12355  3lt9  12356  2lt9  12357  1lt9  12358  8lt10  12751  7lt10  12752  6lt10  12753  5lt10  12754  4lt10  12755  3lt10  12756  2lt10  12757  1lt10  12758  sincos2sgn  16131  epos  16144  ene1  16147  dvdslelem  16248  psgnodpmr  21557  xrhmph  24913  vitalilem4  25580  pipos  26436  logi  26564  logneg  26565  asin1  26872  reasinsin  26874  atan1  26906  log2le1  26928  bposlem8  27270  bposlem9  27271  chebbnd1lem2  27449  chebbnd1lem3  27450  chebbnd1  27451  mulog2sumlem2  27514  pntibndlem1  27568  pntlemb  27576  pntlemk  27585  axlowdimlem16  29042  sgnnbi  32929  sgnpbi  32930  dp2ltc  32978  signswch  34738  hgt750lem  34828  hgt750lem2  34829  cnndvlem1  36756  bj-minftyccb  37474  bj-pinftynminfty  37476  irrdiff  37575  asindmre  37948  fdc  37990  lttrii  42620  sn-0ne2  42770  fourierdlem94  46552  fourierdlem102  46560  fourierdlem103  46561  fourierdlem104  46562  fourierdlem112  46570  fourierdlem113  46571  fourierdlem114  46572  fouriersw  46583  etransclem23  46609