MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lttri 11288
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
lt.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
lttri ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 lt.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 lt.3 . 2 𝐶 ∈ ℝ
4 lttr 11238 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
51, 2, 3, 4mp3an 1462 1 ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5110  cr 11057   < clt 11196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  1lt3  12333  2lt4  12335  1lt4  12336  3lt5  12338  2lt5  12339  1lt5  12340  4lt6  12342  3lt6  12343  2lt6  12344  1lt6  12345  5lt7  12347  4lt7  12348  3lt7  12349  2lt7  12350  1lt7  12351  6lt8  12353  5lt8  12354  4lt8  12355  3lt8  12356  2lt8  12357  1lt8  12358  7lt9  12360  6lt9  12361  5lt9  12362  4lt9  12363  3lt9  12364  2lt9  12365  1lt9  12366  8lt10  12757  7lt10  12758  6lt10  12759  5lt10  12760  4lt10  12761  3lt10  12762  2lt10  12763  1lt10  12764  sincos2sgn  16083  epos  16096  ene1  16099  dvdslelem  16198  oppcbasOLD  17607  sralemOLD  20655  zlmlemOLD  20934  psgnodpmr  21010  tnglemOLD  24013  xrhmph  24326  vitalilem4  24991  pipos  25833  logneg  25959  asin1  26260  reasinsin  26262  atan1  26294  log2le1  26316  bposlem8  26655  bposlem9  26656  chebbnd1lem2  26834  chebbnd1lem3  26835  chebbnd1  26836  mulog2sumlem2  26899  pntibndlem1  26953  pntlemb  26961  pntlemk  26970  ttglemOLD  27862  cchhllemOLD  27878  axlowdimlem16  27948  dp2ltc  31785  sgnnbi  33185  sgnpbi  33186  signswch  33213  hgt750lem  33304  hgt750lem2  33305  logi  34346  cnndvlem1  35029  bj-minftyccb  35725  bj-pinftynminfty  35727  irrdiff  35826  asindmre  36190  fdc  36233  sn-0ne2  40904  fourierdlem94  44515  fourierdlem102  44523  fourierdlem103  44524  fourierdlem104  44525  fourierdlem112  44533  fourierdlem113  44534  fourierdlem114  44535  fouriersw  44546  etransclem23  44572
  Copyright terms: Public domain W3C validator