Theorem lttri 11101

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11052	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1460	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ℝcr 10871   < clt 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-resscn 10929  ax-pre-lttrn 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-ltxr 11015

This theorem is referenced by:  1lt3  12146  2lt4  12148  1lt4  12149  3lt5  12151  2lt5  12152  1lt5  12153  4lt6  12155  3lt6  12156  2lt6  12157  1lt6  12158  5lt7  12160  4lt7  12161  3lt7  12162  2lt7  12163  1lt7  12164  6lt8  12166  5lt8  12167  4lt8  12168  3lt8  12169  2lt8  12170  1lt8  12171  7lt9  12173  6lt9  12174  5lt9  12175  4lt9  12176  3lt9  12177  2lt9  12178  1lt9  12179  8lt10  12568  7lt10  12569  6lt10  12570  5lt10  12571  4lt10  12572  3lt10  12573  2lt10  12574  1lt10  12575  sincos2sgn  15901  epos  15914  ene1  15917  dvdslelem  16016  oppcbasOLD  17427  sralemOLD  20438  zlmlemOLD  20717  psgnodpmr  20793  tnglemOLD  23795  xrhmph  24108  vitalilem4  24773  pipos  25615  logneg  25741  asin1  26042  reasinsin  26044  atan1  26076  log2le1  26098  bposlem8  26437  bposlem9  26438  chebbnd1lem2  26616  chebbnd1lem3  26617  chebbnd1  26618  mulog2sumlem2  26681  pntibndlem1  26735  pntlemb  26743  pntlemk  26752  ttglemOLD  27237  cchhllemOLD  27253  axlowdimlem16  27323  dp2ltc  31157  sgnnbi  32508  sgnpbi  32509  signswch  32536  hgt750lem  32627  hgt750lem2  32628  logi  33696  cnndvlem1  34713  bj-minftyccb  35392  bj-pinftynminfty  35394  irrdiff  35493  asindmre  35856  fdc  35899  sn-0ne2  40386  fourierdlem94  43712  fourierdlem102  43720  fourierdlem103  43721  fourierdlem104  43722  fourierdlem112  43730  fourierdlem113  43731  fourierdlem114  43732  fouriersw  43743  etransclem23  43769