Theorem lttri 11387

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11337	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ℝcr 11154   < clt 11295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300

This theorem is referenced by:  1lt3  12439  2lt4  12441  1lt4  12442  3lt5  12444  2lt5  12445  1lt5  12446  4lt6  12448  3lt6  12449  2lt6  12450  1lt6  12451  5lt7  12453  4lt7  12454  3lt7  12455  2lt7  12456  1lt7  12457  6lt8  12459  5lt8  12460  4lt8  12461  3lt8  12462  2lt8  12463  1lt8  12464  7lt9  12466  6lt9  12467  5lt9  12468  4lt9  12469  3lt9  12470  2lt9  12471  1lt9  12472  8lt10  12865  7lt10  12866  6lt10  12867  5lt10  12868  4lt10  12869  3lt10  12870  2lt10  12871  1lt10  12872  sincos2sgn  16230  epos  16243  ene1  16246  dvdslelem  16346  sralemOLD  21176  zlmlemOLD  21528  psgnodpmr  21608  tnglemOLD  24654  xrhmph  24978  vitalilem4  25646  pipos  26502  logi  26629  logneg  26630  asin1  26937  reasinsin  26939  atan1  26971  log2le1  26993  bposlem8  27335  bposlem9  27336  chebbnd1lem2  27514  chebbnd1lem3  27515  chebbnd1  27516  mulog2sumlem2  27579  pntibndlem1  27633  pntlemb  27641  pntlemk  27650  ttglemOLD  28886  cchhllemOLD  28902  axlowdimlem16  28972  dp2ltc  32869  sgnnbi  34548  sgnpbi  34549  signswch  34576  hgt750lem  34666  hgt750lem2  34667  cnndvlem1  36538  bj-minftyccb  37226  bj-pinftynminfty  37228  irrdiff  37327  asindmre  37710  fdc  37752  lttrii  42297  sn-0ne2  42436  fourierdlem94  46215  fourierdlem102  46223  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem112  46233  fourierdlem113  46234  fourierdlem114  46235  fouriersw  46246  etransclem23  46272