Theorem lttri 11417

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11367	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1490	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11180   < clt 11324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is used by:  1lt3  12499  2lt4  12501  1lt4  12502  3lt5  12504  2lt5  12505  1lt5  12506  4lt6  12508  3lt6  12509  2lt6  12510  1lt6  12511  5lt7  12513  4lt7  12514  3lt7  12515  2lt7  12516  1lt7  12517  6lt8  12519  5lt8  12520  4lt8  12521  3lt8  12522  2lt8  12523  1lt8  12524  7lt9  12526  6lt9  12527  5lt9  12528  4lt9  12529  3lt9  12530  2lt9  12531  1lt9  12532  1lt10OLD  12941  sgnnbi  15237  sgnpbi  15238  sincos2sgn  16342  epos  16355  ene1  16358  dvdslelem  16459  psgnodpmr  21876  xrhmph  25248  vitalilem4  25912  pipos  26769  logi  26897  logneg  26898  asin1  27204  reasinsin  27206  atan1  27238  log2le1  27260  bposlem8  27600  bposlem9  27601  chebbnd1lem2  27779  chebbnd1lem3  27780  chebbnd1  27781  mulog2sumlem2  27844  pntibndlem1  27898  pntlemb  27906  pntlemk  27915  axlowdimlem16  29517  dp2ltc  33435  signswch  35173  hgt750lem  35263  hgt750lem2  35264  cnndvlem1  37373  bj-minftyccb  38114  bj-pinftynminfty  38116  irrdiff  38215  asindmre  38589  fdc  38647  lttrii  43274  sn-0ne2  43425  fourierdlem94  47154  fourierdlem102  47162  fourierdlem103  47163  fourierdlem104  47164  fourierdlem112  47172  fourierdlem113  47173  fourierdlem114  47174  fouriersw  47185  etransclem23  47211  goldrapos  47874