Theorem lttri 11101

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11051	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1460	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ℝcr 10870   < clt 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  1lt3  12146  2lt4  12148  1lt4  12149  3lt5  12151  2lt5  12152  1lt5  12153  4lt6  12155  3lt6  12156  2lt6  12157  1lt6  12158  5lt7  12160  4lt7  12161  3lt7  12162  2lt7  12163  1lt7  12164  6lt8  12166  5lt8  12167  4lt8  12168  3lt8  12169  2lt8  12170  1lt8  12171  7lt9  12173  6lt9  12174  5lt9  12175  4lt9  12176  3lt9  12177  2lt9  12178  1lt9  12179  8lt10  12569  7lt10  12570  6lt10  12571  5lt10  12572  4lt10  12573  3lt10  12574  2lt10  12575  1lt10  12576  sincos2sgn  15903  epos  15916  ene1  15919  dvdslelem  16018  oppcbasOLD  17429  sralemOLD  20440  zlmlemOLD  20719  psgnodpmr  20795  tnglemOLD  23797  xrhmph  24110  vitalilem4  24775  pipos  25617  logneg  25743  asin1  26044  reasinsin  26046  atan1  26078  log2le1  26100  bposlem8  26439  bposlem9  26440  chebbnd1lem2  26618  chebbnd1lem3  26619  chebbnd1  26620  mulog2sumlem2  26683  pntibndlem1  26737  pntlemb  26745  pntlemk  26754  ttglemOLD  27239  cchhllemOLD  27255  axlowdimlem16  27325  dp2ltc  31161  sgnnbi  32512  sgnpbi  32513  signswch  32540  hgt750lem  32631  hgt750lem2  32632  logi  33700  cnndvlem1  34717  bj-minftyccb  35396  bj-pinftynminfty  35398  irrdiff  35497  asindmre  35860  fdc  35903  sn-0ne2  40389  fourierdlem94  43741  fourierdlem102  43749  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem112  43759  fourierdlem113  43760  fourierdlem114  43761  fouriersw  43772  etransclem23  43798