Theorem lttri 11336

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1461	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ℝcr 11105   < clt 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249

This theorem is referenced by:  1lt3  12381  2lt4  12383  1lt4  12384  3lt5  12386  2lt5  12387  1lt5  12388  4lt6  12390  3lt6  12391  2lt6  12392  1lt6  12393  5lt7  12395  4lt7  12396  3lt7  12397  2lt7  12398  1lt7  12399  6lt8  12401  5lt8  12402  4lt8  12403  3lt8  12404  2lt8  12405  1lt8  12406  7lt9  12408  6lt9  12409  5lt9  12410  4lt9  12411  3lt9  12412  2lt9  12413  1lt9  12414  8lt10  12805  7lt10  12806  6lt10  12807  5lt10  12808  4lt10  12809  3lt10  12810  2lt10  12811  1lt10  12812  sincos2sgn  16133  epos  16146  ene1  16149  dvdslelem  16248  oppcbasOLD  17660  sralemOLD  20783  zlmlemOLD  21058  psgnodpmr  21134  tnglemOLD  24141  xrhmph  24454  vitalilem4  25119  pipos  25961  logneg  26087  asin1  26388  reasinsin  26390  atan1  26422  log2le1  26444  bposlem8  26783  bposlem9  26784  chebbnd1lem2  26962  chebbnd1lem3  26963  chebbnd1  26964  mulog2sumlem2  27027  pntibndlem1  27081  pntlemb  27089  pntlemk  27098  ttglemOLD  28118  cchhllemOLD  28134  axlowdimlem16  28204  dp2ltc  32040  sgnnbi  33532  sgnpbi  33533  signswch  33560  hgt750lem  33651  hgt750lem2  33652  logi  34692  cnndvlem1  35401  bj-minftyccb  36094  bj-pinftynminfty  36096  irrdiff  36195  asindmre  36559  fdc  36601  sn-0ne2  41275  fourierdlem94  44902  fourierdlem102  44910  fourierdlem103  44911  fourierdlem104  44912  fourierdlem112  44920  fourierdlem113  44921  fourierdlem114  44922  fouriersw  44933  etransclem23  44959