Theorem lttri 11260

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11210	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  1lt3  12314  2lt4  12316  1lt4  12317  3lt5  12319  2lt5  12320  1lt5  12321  4lt6  12323  3lt6  12324  2lt6  12325  1lt6  12326  5lt7  12328  4lt7  12329  3lt7  12330  2lt7  12331  1lt7  12332  6lt8  12334  5lt8  12335  4lt8  12336  3lt8  12337  2lt8  12338  1lt8  12339  7lt9  12341  6lt9  12342  5lt9  12343  4lt9  12344  3lt9  12345  2lt9  12346  1lt9  12347  8lt10  12741  7lt10  12742  6lt10  12743  5lt10  12744  4lt10  12745  3lt10  12746  2lt10  12747  1lt10  12748  sincos2sgn  16121  epos  16134  ene1  16137  dvdslelem  16238  psgnodpmr  21515  xrhmph  24861  vitalilem4  25528  pipos  26384  logi  26512  logneg  26513  asin1  26820  reasinsin  26822  atan1  26854  log2le1  26876  bposlem8  27218  bposlem9  27219  chebbnd1lem2  27397  chebbnd1lem3  27398  chebbnd1  27399  mulog2sumlem2  27462  pntibndlem1  27516  pntlemb  27524  pntlemk  27533  axlowdimlem16  28920  sgnnbi  32796  sgnpbi  32797  dp2ltc  32840  signswch  34528  hgt750lem  34618  hgt750lem2  34619  cnndvlem1  36510  bj-minftyccb  37198  bj-pinftynminfty  37200  irrdiff  37299  asindmre  37682  fdc  37724  lttrii  42229  sn-0ne2  42379  fourierdlem94  46182  fourierdlem102  46190  fourierdlem103  46191  fourierdlem104  46192  fourierdlem112  46200  fourierdlem113  46201  fourierdlem114  46202  fouriersw  46213  etransclem23  46239