Theorem lttri 11439

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11389	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1490	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11202   < clt 11346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351

This theorem is used by:  1lt3  12521  2lt4  12523  1lt4  12524  3lt5  12526  2lt5  12527  1lt5  12528  4lt6  12530  3lt6  12531  2lt6  12532  1lt6  12533  5lt7  12535  4lt7  12536  3lt7  12537  2lt7  12538  1lt7  12539  6lt8  12541  5lt8  12542  4lt8  12543  3lt8  12544  2lt8  12545  1lt8  12546  7lt9  12548  6lt9  12549  5lt9  12550  4lt9  12551  3lt9  12552  2lt9  12553  1lt9  12554  1lt10OLD  12963  sgnnbi  15262  sgnpbi  15263  sincos2sgn  16367  epos  16380  ene1  16383  dvdslelem  16484  psgnodpmr  21901  xrhmph  25273  vitalilem4  25937  pipos  26792  logi  26920  logneg  26921  asin1  27227  reasinsin  27229  atan1  27261  log2le1  27283  bposlem8  27623  bposlem9  27624  chebbnd1lem2  27802  chebbnd1lem3  27803  chebbnd1  27804  mulog2sumlem2  27867  pntibndlem1  27921  pntlemb  27929  pntlemk  27938  axlowdimlem16  29540  dp2ltc  33499  signswch  35236  hgt750lem  35326  hgt750lem2  35327  cnndvlem1  37495  bj-minftyccb  38239  bj-pinftynminfty  38241  irrdiff  38340  asindmre  38714  fdc  38772  lttrii  43399  sn-0ne2  43550  fourierdlem94  47303  fourierdlem102  47311  fourierdlem103  47312  fourierdlem104  47313  fourierdlem112  47321  fourierdlem113  47322  fourierdlem114  47323  fouriersw  47334  etransclem23  47360  goldrapos  48023