Theorem lttri 11337

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1490	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ℝcr 11100   < clt 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249

This theorem is referenced by:  1lt3  12417  2lt4  12419  1lt4  12420  3lt5  12422  2lt5  12423  1lt5  12424  4lt6  12426  3lt6  12427  2lt6  12428  1lt6  12429  5lt7  12431  4lt7  12432  3lt7  12433  2lt7  12434  1lt7  12435  6lt8  12437  5lt8  12438  4lt8  12439  3lt8  12440  2lt8  12441  1lt8  12442  7lt9  12444  6lt9  12445  5lt9  12446  4lt9  12447  3lt9  12448  2lt9  12449  1lt9  12450  1lt10OLD  12858  sgnnbi  15143  sgnpbi  15144  sincos2sgn  16251  epos  16264  ene1  16267  dvdslelem  16368  psgnodpmr  21721  xrhmph  25087  vitalilem4  25751  pipos  26604  logi  26733  logneg  26734  asin1  27040  reasinsin  27042  atan1  27074  log2le1  27096  bposlem8  27436  bposlem9  27437  chebbnd1lem2  27615  chebbnd1lem3  27616  chebbnd1  27617  mulog2sumlem2  27680  pntibndlem1  27734  pntlemb  27742  pntlemk  27751  axlowdimlem16  29288  dp2ltc  33187  signswch  34929  hgt750lem  35019  hgt750lem2  35020  cnndvlem1  37107  bj-minftyccb  37850  bj-pinftynminfty  37852  irrdiff  37951  asindmre  38335  fdc  38377  lttrii  43004  sn-0ne2  43148  fourierdlem94  46897  fourierdlem102  46905  fourierdlem103  46906  fourierdlem104  46907  fourierdlem112  46915  fourierdlem113  46916  fourierdlem114  46917  fouriersw  46928  etransclem23  46954  goldrapos  47603