Theorem lttri 11377

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11327	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1457	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ℝcr 11144   < clt 11285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11202  ax-pre-lttrn 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-ltxr 11290

This theorem is referenced by:  1lt3  12423  2lt4  12425  1lt4  12426  3lt5  12428  2lt5  12429  1lt5  12430  4lt6  12432  3lt6  12433  2lt6  12434  1lt6  12435  5lt7  12437  4lt7  12438  3lt7  12439  2lt7  12440  1lt7  12441  6lt8  12443  5lt8  12444  4lt8  12445  3lt8  12446  2lt8  12447  1lt8  12448  7lt9  12450  6lt9  12451  5lt9  12452  4lt9  12453  3lt9  12454  2lt9  12455  1lt9  12456  8lt10  12847  7lt10  12848  6lt10  12849  5lt10  12850  4lt10  12851  3lt10  12852  2lt10  12853  1lt10  12854  sincos2sgn  16179  epos  16192  ene1  16195  dvdslelem  16294  oppcbasOLD  17708  sralemOLD  21079  zlmlemOLD  21465  psgnodpmr  21544  tnglemOLD  24599  xrhmph  24921  vitalilem4  25589  pipos  26445  logi  26571  logneg  26572  asin1  26876  reasinsin  26878  atan1  26910  log2le1  26932  bposlem8  27274  bposlem9  27275  chebbnd1lem2  27453  chebbnd1lem3  27454  chebbnd1  27455  mulog2sumlem2  27518  pntibndlem1  27572  pntlemb  27580  pntlemk  27589  ttglemOLD  28759  cchhllemOLD  28775  axlowdimlem16  28845  dp2ltc  32700  sgnnbi  34298  sgnpbi  34299  signswch  34326  hgt750lem  34416  hgt750lem2  34417  cnndvlem1  36145  bj-minftyccb  36837  bj-pinftynminfty  36839  irrdiff  36938  asindmre  37309  fdc  37351  sn-0ne2  42098  fourierdlem94  45728  fourierdlem102  45736  fourierdlem103  45737  fourierdlem104  45738  fourierdlem112  45746  fourierdlem113  45747  fourierdlem114  45748  fouriersw  45759  etransclem23  45785