Theorem lttri 11300

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  1lt3  12354  2lt4  12356  1lt4  12357  3lt5  12359  2lt5  12360  1lt5  12361  4lt6  12363  3lt6  12364  2lt6  12365  1lt6  12366  5lt7  12368  4lt7  12369  3lt7  12370  2lt7  12371  1lt7  12372  6lt8  12374  5lt8  12375  4lt8  12376  3lt8  12377  2lt8  12378  1lt8  12379  7lt9  12381  6lt9  12382  5lt9  12383  4lt9  12384  3lt9  12385  2lt9  12386  1lt9  12387  8lt10  12781  7lt10  12782  6lt10  12783  5lt10  12784  4lt10  12785  3lt10  12786  2lt10  12787  1lt10  12788  sincos2sgn  16162  epos  16175  ene1  16178  dvdslelem  16279  psgnodpmr  21499  xrhmph  24845  vitalilem4  25512  pipos  26368  logi  26496  logneg  26497  asin1  26804  reasinsin  26806  atan1  26838  log2le1  26860  bposlem8  27202  bposlem9  27203  chebbnd1lem2  27381  chebbnd1lem3  27382  chebbnd1  27383  mulog2sumlem2  27446  pntibndlem1  27500  pntlemb  27508  pntlemk  27517  axlowdimlem16  28884  sgnnbi  32763  sgnpbi  32764  dp2ltc  32807  signswch  34552  hgt750lem  34642  hgt750lem2  34643  cnndvlem1  36525  bj-minftyccb  37213  bj-pinftynminfty  37215  irrdiff  37314  asindmre  37697  fdc  37739  lttrii  42244  sn-0ne2  42394  fourierdlem94  46198  fourierdlem102  46206  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem112  46216  fourierdlem113  46217  fourierdlem114  46218  fouriersw  46229  etransclem23  46255