Theorem lttri 11354

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1490	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ℝcr 11117   < clt 11261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266

This theorem is used by:  1lt3  12434  2lt4  12436  1lt4  12437  3lt5  12439  2lt5  12440  1lt5  12441  4lt6  12443  3lt6  12444  2lt6  12445  1lt6  12446  5lt7  12448  4lt7  12449  3lt7  12450  2lt7  12451  1lt7  12452  6lt8  12454  5lt8  12455  4lt8  12456  3lt8  12457  2lt8  12458  1lt8  12459  7lt9  12461  6lt9  12462  5lt9  12463  4lt9  12464  3lt9  12465  2lt9  12466  1lt9  12467  1lt10OLD  12875  sgnnbi  15167  sgnpbi  15168  sincos2sgn  16275  epos  16288  ene1  16291  dvdslelem  16392  psgnodpmr  21777  xrhmph  25143  vitalilem4  25807  pipos  26660  logi  26789  logneg  26790  asin1  27096  reasinsin  27098  atan1  27130  log2le1  27152  bposlem8  27492  bposlem9  27493  chebbnd1lem2  27671  chebbnd1lem3  27672  chebbnd1  27673  mulog2sumlem2  27736  pntibndlem1  27790  pntlemb  27798  pntlemk  27807  axlowdimlem16  29344  dp2ltc  33243  signswch  34980  hgt750lem  35070  hgt750lem2  35071  cnndvlem1  37167  bj-minftyccb  37910  bj-pinftynminfty  37912  irrdiff  38011  asindmre  38395  fdc  38437  lttrii  43064  sn-0ne2  43208  fourierdlem94  46955  fourierdlem102  46963  fourierdlem103  46964  fourierdlem104  46965  fourierdlem112  46973  fourierdlem113  46974  fourierdlem114  46975  fouriersw  46986  etransclem23  47012  goldrapos  47661