Theorem lttri 11263

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1464	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11028   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by:  1lt3  12340  2lt4  12342  1lt4  12343  3lt5  12345  2lt5  12346  1lt5  12347  4lt6  12349  3lt6  12350  2lt6  12351  1lt6  12352  5lt7  12354  4lt7  12355  3lt7  12356  2lt7  12357  1lt7  12358  6lt8  12360  5lt8  12361  4lt8  12362  3lt8  12363  2lt8  12364  1lt8  12365  7lt9  12367  6lt9  12368  5lt9  12369  4lt9  12370  3lt9  12371  2lt9  12372  1lt9  12373  8lt10  12767  7lt10  12768  6lt10  12769  5lt10  12770  4lt10  12771  3lt10  12772  2lt10  12773  1lt10  12774  sincos2sgn  16152  epos  16165  ene1  16168  dvdslelem  16269  psgnodpmr  21580  xrhmph  24924  vitalilem4  25588  pipos  26436  logi  26564  logneg  26565  asin1  26871  reasinsin  26873  atan1  26905  log2le1  26927  bposlem8  27268  bposlem9  27269  chebbnd1lem2  27447  chebbnd1lem3  27448  chebbnd1  27449  mulog2sumlem2  27512  pntibndlem1  27566  pntlemb  27574  pntlemk  27583  axlowdimlem16  29040  sgnnbi  32926  sgnpbi  32927  dp2ltc  32961  signswch  34721  hgt750lem  34811  hgt750lem2  34812  cnndvlem1  36813  bj-minftyccb  37555  bj-pinftynminfty  37557  irrdiff  37656  asindmre  38038  fdc  38080  lttrii  42708  sn-0ne2  42852  fourierdlem94  46646  fourierdlem102  46654  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656  fourierdlem112  46664  fourierdlem113  46665  fourierdlem114  46666  fouriersw  46677  etransclem23  46703  goldrapos  47345