Theorem lttri 11246

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11196	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ℝcr 11012   < clt 11153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158

This theorem is referenced by:  1lt3  12300  2lt4  12302  1lt4  12303  3lt5  12305  2lt5  12306  1lt5  12307  4lt6  12309  3lt6  12310  2lt6  12311  1lt6  12312  5lt7  12314  4lt7  12315  3lt7  12316  2lt7  12317  1lt7  12318  6lt8  12320  5lt8  12321  4lt8  12322  3lt8  12323  2lt8  12324  1lt8  12325  7lt9  12327  6lt9  12328  5lt9  12329  4lt9  12330  3lt9  12331  2lt9  12332  1lt9  12333  8lt10  12726  7lt10  12727  6lt10  12728  5lt10  12729  4lt10  12730  3lt10  12731  2lt10  12732  1lt10  12733  sincos2sgn  16105  epos  16118  ene1  16121  dvdslelem  16222  psgnodpmr  21529  xrhmph  24873  vitalilem4  25540  pipos  26396  logi  26524  logneg  26525  asin1  26832  reasinsin  26834  atan1  26866  log2le1  26888  bposlem8  27230  bposlem9  27231  chebbnd1lem2  27409  chebbnd1lem3  27410  chebbnd1  27411  mulog2sumlem2  27474  pntibndlem1  27528  pntlemb  27536  pntlemk  27545  axlowdimlem16  28937  sgnnbi  32826  sgnpbi  32827  dp2ltc  32874  signswch  34595  hgt750lem  34685  hgt750lem2  34686  cnndvlem1  36602  bj-minftyccb  37290  bj-pinftynminfty  37292  irrdiff  37391  asindmre  37763  fdc  37805  lttrii  42374  sn-0ne2  42524  fourierdlem94  46322  fourierdlem102  46330  fourierdlem103  46331  fourierdlem104  46332  fourierdlem112  46340  fourierdlem113  46341  fourierdlem114  46342  fouriersw  46353  etransclem23  46379