Theorem lttri 11361

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ℝcr 11128   < clt 11269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274

This theorem is referenced by:  1lt3  12413  2lt4  12415  1lt4  12416  3lt5  12418  2lt5  12419  1lt5  12420  4lt6  12422  3lt6  12423  2lt6  12424  1lt6  12425  5lt7  12427  4lt7  12428  3lt7  12429  2lt7  12430  1lt7  12431  6lt8  12433  5lt8  12434  4lt8  12435  3lt8  12436  2lt8  12437  1lt8  12438  7lt9  12440  6lt9  12441  5lt9  12442  4lt9  12443  3lt9  12444  2lt9  12445  1lt9  12446  8lt10  12840  7lt10  12841  6lt10  12842  5lt10  12843  4lt10  12844  3lt10  12845  2lt10  12846  1lt10  12847  sincos2sgn  16212  epos  16225  ene1  16228  dvdslelem  16328  psgnodpmr  21550  xrhmph  24896  vitalilem4  25564  pipos  26420  logi  26548  logneg  26549  asin1  26856  reasinsin  26858  atan1  26890  log2le1  26912  bposlem8  27254  bposlem9  27255  chebbnd1lem2  27433  chebbnd1lem3  27434  chebbnd1  27435  mulog2sumlem2  27498  pntibndlem1  27552  pntlemb  27560  pntlemk  27569  axlowdimlem16  28936  sgnnbi  32817  sgnpbi  32818  dp2ltc  32861  signswch  34593  hgt750lem  34683  hgt750lem2  34684  cnndvlem1  36555  bj-minftyccb  37243  bj-pinftynminfty  37245  irrdiff  37344  asindmre  37727  fdc  37769  lttrii  42307  sn-0ne2  42449  fourierdlem94  46229  fourierdlem102  46237  fourierdlem103  46238  fourierdlem104  46239  fourierdlem112  46247  fourierdlem113  46248  fourierdlem114  46249  fouriersw  46260  etransclem23  46286