MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lttri 10755
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
lt.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
lttri ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 lt.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 lt.3 . 2 𝐶 ∈ ℝ
4 lttr 10706 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
51, 2, 3, 4mp3an 1458 1 ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2114   class class class wbr 5042  cr 10525   < clt 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669
This theorem is referenced by:  1lt3  11798  2lt4  11800  1lt4  11801  3lt5  11803  2lt5  11804  1lt5  11805  4lt6  11807  3lt6  11808  2lt6  11809  1lt6  11810  5lt7  11812  4lt7  11813  3lt7  11814  2lt7  11815  1lt7  11816  6lt8  11818  5lt8  11819  4lt8  11820  3lt8  11821  2lt8  11822  1lt8  11823  7lt9  11825  6lt9  11826  5lt9  11827  4lt9  11828  3lt9  11829  2lt9  11830  1lt9  11831  8lt10  12218  7lt10  12219  6lt10  12220  5lt10  12221  4lt10  12222  3lt10  12223  2lt10  12224  1lt10  12225  sincos2sgn  15538  epos  15551  ene1  15554  dvdslelem  15650  oppcbas  16979  sralem  19940  zlmlem  20208  psgnodpmr  20277  tnglem  23244  xrhmph  23550  vitalilem4  24213  pipos  25051  logneg  25177  asin1  25478  reasinsin  25480  atan1  25512  log2le1  25534  bposlem8  25873  bposlem9  25874  chebbnd1lem2  26052  chebbnd1lem3  26053  chebbnd1  26054  mulog2sumlem2  26117  pntibndlem1  26171  pntlemb  26179  pntlemk  26188  ttglem  26668  cchhllem  26679  axlowdimlem16  26749  dp2ltc  30573  sgnnbi  31877  sgnpbi  31878  signswch  31905  hgt750lem  31996  hgt750lem2  31997  logi  33040  cnndvlem1  33950  bj-minftyccb  34601  bj-pinftynminfty  34603  irrdiff  34701  asindmre  35098  fdc  35141  sn-0ne2  39488  fourierdlem94  42781  fourierdlem102  42789  fourierdlem103  42790  fourierdlem104  42791  fourierdlem112  42799  fourierdlem113  42800  fourierdlem114  42801  fouriersw  42812  etransclem23  42838
  Copyright terms: Public domain W3C validator