Theorem lttri 10755

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 10706	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1458	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝcr 10525   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  1lt3  11798  2lt4  11800  1lt4  11801  3lt5  11803  2lt5  11804  1lt5  11805  4lt6  11807  3lt6  11808  2lt6  11809  1lt6  11810  5lt7  11812  4lt7  11813  3lt7  11814  2lt7  11815  1lt7  11816  6lt8  11818  5lt8  11819  4lt8  11820  3lt8  11821  2lt8  11822  1lt8  11823  7lt9  11825  6lt9  11826  5lt9  11827  4lt9  11828  3lt9  11829  2lt9  11830  1lt9  11831  8lt10  12218  7lt10  12219  6lt10  12220  5lt10  12221  4lt10  12222  3lt10  12223  2lt10  12224  1lt10  12225  sincos2sgn  15539  epos  15552  ene1  15555  dvdslelem  15651  oppcbas  16980  sralem  19942  zlmlem  20210  psgnodpmr  20279  tnglem  23246  xrhmph  23552  vitalilem4  24215  pipos  25053  logneg  25179  asin1  25480  reasinsin  25482  atan1  25514  log2le1  25536  bposlem8  25875  bposlem9  25876  chebbnd1lem2  26054  chebbnd1lem3  26055  chebbnd1  26056  mulog2sumlem2  26119  pntibndlem1  26173  pntlemb  26181  pntlemk  26190  ttglem  26670  cchhllem  26681  axlowdimlem16  26751  dp2ltc  30589  sgnnbi  31913  sgnpbi  31914  signswch  31941  hgt750lem  32032  hgt750lem2  32033  logi  33079  cnndvlem1  33989  bj-minftyccb  34640  bj-pinftynminfty  34642  irrdiff  34740  asindmre  35140  fdc  35183  sn-0ne2  39544  fourierdlem94  42842  fourierdlem102  42850  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem112  42860  fourierdlem113  42861  fourierdlem114  42862  fouriersw  42873  etransclem23  42899