Theorem lttri 11306

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 11256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1481	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ℝcr 11069   < clt 11213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218

This theorem is referenced by:  1lt3  12390  2lt4  12392  1lt4  12393  3lt5  12395  2lt5  12396  1lt5  12397  4lt6  12399  3lt6  12400  2lt6  12401  1lt6  12402  5lt7  12404  4lt7  12405  3lt7  12406  2lt7  12407  1lt7  12408  6lt8  12410  5lt8  12411  4lt8  12412  3lt8  12413  2lt8  12414  1lt8  12415  7lt9  12417  6lt9  12418  5lt9  12419  4lt9  12420  3lt9  12421  2lt9  12422  1lt9  12423  1lt10OLD  12831  sincos2sgn  16209  epos  16222  ene1  16225  dvdslelem  16326  psgnodpmr  21622  xrhmph  24989  vitalilem4  25653  pipos  26500  logi  26629  logneg  26630  asin1  26936  reasinsin  26938  atan1  26970  log2le1  26992  bposlem8  27332  bposlem9  27333  chebbnd1lem2  27511  chebbnd1lem3  27512  chebbnd1  27513  mulog2sumlem2  27576  pntibndlem1  27630  pntlemb  27638  pntlemk  27647  axlowdimlem16  29104  sgnnbi  32990  sgnpbi  32991  dp2ltc  33025  signswch  34819  hgt750lem  34909  hgt750lem2  34910  cnndvlem1  36939  bj-minftyccb  37681  bj-pinftynminfty  37683  irrdiff  37782  asindmre  38166  fdc  38208  lttrii  42835  sn-0ne2  42979  fourierdlem94  46738  fourierdlem102  46746  fourierdlem103  46747  fourierdlem104  46748  fourierdlem112  46756  fourierdlem113  46757  fourierdlem114  46758  fouriersw  46769  etransclem23  46795  goldrapos  47441