Theorem asin1half 42332

Description: The arcsine of 1 / 2 is π / 6. (Contributed by SN, 31-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
asin1half	⊢ (arcsin‘(1 / 2)) = (π / 6)

Proof of Theorem asin1half

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincos6thpi 26568	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
2	1	simpli 483	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
3	2	fveq2i 6918	. 2 ⊢ (arcsin‘(sin‘(π / 6))) = (arcsin‘(1 / 2))
4		pire 26510	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
5		6re 12377	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
6		0re 11286	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		6pos 12397	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
8	6, 7	gtneii 11396	. . . . 5 ⊢ 6 ≠ 0
9	4, 5, 8	redivcli 12055	. . . 4 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
10		neghalfpire 26517	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
11		halfpire 26516	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
12		2re 12361	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		pipos 26512	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
14		2pos 12390	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
15	4, 12, 13, 14	divgt0ii 12206	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (π / 2)
16		lt0neg2 11791	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
17	15, 16	mpbii 233	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) < 0)
18	11, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -(π / 2) < 0
19	4, 5, 13, 7	divgt0ii 12206	. . . . . 6 ⊢ 0 < (π / 6)
20	10, 6, 9, 18, 19	lttrii 42244	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) < (π / 6)
21	10, 9, 20	ltleii 11407	. . . 4 ⊢ -(π / 2) ≤ (π / 6)
22		2lt6 12471	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
23		2rp 13056	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ+)
25		6rp 42282	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ+
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 6 ∈ ℝ+)
27		pirp 26513	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → π ∈ ℝ+)
29	24, 26, 28	ltdiv2d 13116	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
30	22, 29	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (π / 6) < (π / 2))
31	30	mptru 1544	. . . . 5 ⊢ (π / 6) < (π / 2)
32	9, 11, 31	ltleii 11407	. . . 4 ⊢ (π / 6) ≤ (π / 2)
33	10, 11	elicc2i 13467	. . . 4 ⊢ ((π / 6) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ (π / 6) ∧ (π / 6) ≤ (π / 2)))
34	9, 21, 32, 33	mpbir3an 1341	. . 3 ⊢ (π / 6) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))
35		reasinsin 26949	. . 3 ⊢ ((π / 6) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (arcsin‘(sin‘(π / 6))) = (π / 6))
36	34, 35	ax-mp 5	. 2 ⊢ (arcsin‘(sin‘(π / 6))) = (π / 6)
37	3, 36	eqtr3i 2770	1 ⊢ (arcsin‘(1 / 2)) = (π / 6)

Syntax hints:   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443  ℝcr 11177  0cc0 11178  1c1 11179   < clt 11318   ≤ cle 11319  -cneg 11515   / cdiv 11941  2c2 12342  3c3 12343  6c6 12346  ℝ⁺crp 13051  [,]cicc 13404  √csqrt 15276  sincsin 16105  cosccos 16106  πcpi 16108  arcsincasin 26915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-inf2 9704  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255  ax-pre-sup 11256  ax-addf 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-se 5651  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-isom 6577  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7708  df-om 7898  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-supp 8196  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-1o 8516  df-2o 8517  df-er 8757  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8950  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-fin 9001  df-fsupp 9426  df-fi 9474  df-sup 9505  df-inf 9506  df-oi 9573  df-card 10002  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-div 11942  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-4 12352  df-5 12353  df-6 12354  df-7 12355  df-8 12356  df-9 12357  df-n0 12548  df-z 12634  df-dec 12753  df-uz 12898  df-q 13008  df-rp 13052  df-xneg 13169  df-xadd 13170  df-xmul 13171  df-ioo 13405  df-ioc 13406  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13562  df-fzo 13706  df-fl 13837  df-mod 13915  df-seq 14047  df-exp 14107  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15110  df-cj 15142  df-re 15143  df-im 15144  df-sqrt 15278  df-abs 15279  df-limsup 15511  df-clim 15528  df-rlim 15529  df-sum 15729  df-ef 16109  df-sin 16111  df-cos 16112  df-pi 16114  df-struct 17188  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-ress 17282  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-submnd 18813  df-mulg 19102  df-cntz 19351  df-cmn 19818  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22913  df-topon 22930  df-topsp 22952  df-bases 22966  df-cld 23040  df-ntr 23041  df-cls 23042  df-nei 23119  df-lp 23157  df-perf 23158  df-cn 23248  df-cnp 23249  df-haus 23336  df-tx 23583  df-hmeo 23776  df-fil 23867  df-fm 23959  df-flim 23960  df-flf 23961  df-xms 24343  df-ms 24344  df-tms 24345  df-cncf 24915  df-limc 25913  df-dv 25914  df-log 26608  df-asin 26918

This theorem is referenced by: (None)