Theorem asin1half 43146

Description: The arcsine of 1 / 2 is π / 6. (Contributed by SN, 31-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
asin1half	⊢ (arcsin‘(1 / 2)) = (π / 6)

Proof of Theorem asin1half

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincos6thpi 26690	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
2	1	simpli 488	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
3	2	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (arcsin‘(sin‘(π / 6))) = (arcsin‘(1 / 2))
4		pire 26628	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
5		6re 12335	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
6		0re 11214	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		6pos 12358	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
8	6, 7	gtneii 11326	. . . . 5 ⊢ 6 ≠ 0
9	4, 5, 8	redivcli 11986	. . . 4 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
10		neghalfpire 26639	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
11		halfpire 26638	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
12		2re 12319	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		pipos 26632	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
14		2pos 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
15	4, 12, 13, 14	divgt0ii 12136	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (π / 2)
16		lt0neg2 11725	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
17	15, 16	mpbii 236	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) < 0)
18	11, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -(π / 2) < 0
19	4, 5, 13, 7	divgt0ii 12136	. . . . . 6 ⊢ 0 < (π / 6)
20	10, 6, 9, 18, 19	lttrii 43051	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) < (π / 6)
21	10, 9, 20	ltleii 11337	. . . 4 ⊢ -(π / 2) ≤ (π / 6)
22		2lt6 12431	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
23		2rp 13025	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ+)
25		6rp 43090	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ+
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 6 ∈ ℝ+)
27		pirp 26635	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → π ∈ ℝ+)
29	24, 26, 28	ltdiv2d 13087	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
30	22, 29	mpbii 236	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (π / 6) < (π / 2))
31	30	mptru 1577	. . . . 5 ⊢ (π / 6) < (π / 2)
32	9, 11, 31	ltleii 11337	. . . 4 ⊢ (π / 6) ≤ (π / 2)
33	10, 11	elicc2i 13443	. . . 4 ⊢ ((π / 6) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ (π / 6) ∧ (π / 6) ≤ (π / 2)))
34	9, 21, 32, 33	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ (π / 6) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))
35		reasinsin 27070	. . 3 ⊢ ((π / 6) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (arcsin‘(sin‘(π / 6))) = (π / 6))
36	34, 35	ax-mp 5	. 2 ⊢ (arcsin‘(sin‘(π / 6))) = (π / 6)
37	3, 36	eqtr3i 2788	1 ⊢ (arcsin‘(1 / 2)) = (π / 6)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105   < clt 11247   ≤ cle 11248  -cneg 11446   / cdiv 11875  2c2 12299  3c3 12300  6c6 12303  ℝ⁺crp 13020  [,]cicc 13379  √csqrt 15289  sincsin 16121  cosccos 16122  πcpi 16124  arcsincasin 27036

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ioc 13381  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-mod 13908  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14315  df-bc 14344  df-hash 14372  df-shft 15109  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-limsup 15527  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-ef 16125  df-sin 16127  df-cos 16128  df-pi 16130  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-mulg 19138  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-fbas 21528  df-fg 21529  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-ntr 23186  df-cls 23187  df-nei 23264  df-lp 23302  df-perf 23303  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-haus 23481  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-fil 24012  df-fm 24104  df-flim 24105  df-flf 24106  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488  df-cncf 25046  df-limc 26034  df-dv 26035  df-log 26730  df-asin 27039

This theorem is used by: (None)