Theorem lvolbase 39579

Description: A 3-dim lattice volume is a lattice element. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolbase.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolbase	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lvolbase

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4306	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑉 = ∅)
2		lvolbase.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2735	. . . 4 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (LVols‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 328	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ (LVols‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6853	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LVols‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
7		lvolbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islvol 39574	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
11	10	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 688	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  Vcvv 3450  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  Basecbs 17186   ⋖ ccvr 39262  LPlanesclpl 39493  LVolsclvol 39494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-lvols 39501

This theorem is referenced by:  islvol2  39581  lvolnle3at  39583  lvolneatN  39589  lvolnelln  39590  lvolnelpln  39591  lplncvrlvol2  39616  lvolcmp  39618  2lplnja  39620