Theorem lvolbase 39834

Description: A 3-dim lattice volume is a lattice element. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolbase.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolbase	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lvolbase

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4292	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑉 = ∅)
2		lvolbase.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2741	. . . 4 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (LVols‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 328	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ (LVols‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6826	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LVols‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
7		lvolbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islvol 39829	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
11	10	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 688	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  Vcvv 3440  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17136   ⋖ ccvr 39518  LPlanesclpl 39748  LVolsclvol 39749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-lvols 39756

This theorem is referenced by:  islvol2  39836  lvolnle3at  39838  lvolneatN  39844  lvolnelln  39845  lvolnelpln  39846  lplncvrlvol2  39871  lvolcmp  39873  2lplnja  39875