Theorem lvolbase 40038

Description: A 3-dim lattice volume is a lattice element. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolbase.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolbase	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lvolbase

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4281	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑉 = ∅)
2		lvolbase.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2742	. . . 4 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (LVols‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 328	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ (LVols‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6826	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LVols‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
7		lvolbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islvol 40033	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
11	10	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 689	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3430  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  Basecbs 17170   ⋖ ccvr 39722  LPlanesclpl 39952  LVolsclvol 39953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-lvols 39960

This theorem is referenced by:  islvol2  40040  lvolnle3at  40042  lvolneatN  40048  lvolnelln  40049  lvolnelpln  40050  lplncvrlvol2  40075  lvolcmp  40077  2lplnja  40079