Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolbase 39581
Description: A 3-dim lattice volume is a lattice element. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolbase.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolbase.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvolbase (𝑋𝑉𝑋𝐵)

Proof of Theorem lvolbase
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4339 . . . 4 (𝑋𝑉 → ¬ 𝑉 = ∅)
2 lvolbase.v . . . . 5 𝑉 = (LVols‘𝐾)
32eqeq1i 2741 . . . 4 (𝑉 = ∅ ↔ (LVols‘𝐾) = ∅)
41, 3sylnib 328 . . 3 (𝑋𝑉 → ¬ (LVols‘𝐾) = ∅)
5 fvprc 6897 . . 3 𝐾 ∈ V → (LVols‘𝐾) = ∅)
64, 5nsyl2 141 . 2 (𝑋𝑉𝐾 ∈ V)
7 lvolbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2736 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9 eqid 2736 . . . 4 (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
107, 8, 9, 2islvol 39576 . . 3 (𝐾 ∈ V → (𝑋𝑉 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
1110simprbda 498 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
126, 11mpancom 688 1 (𝑋𝑉𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069  Vcvv 3479  c0 4332   class class class wbr 5142  cfv 6560  Basecbs 17248  ccvr 39264  LPlanesclpl 39495  LVolsclvol 39496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-lvols 39503
This theorem is referenced by:  islvol2  39583  lvolnle3at  39585  lvolneatN  39591  lvolnelln  39592  lvolnelpln  39593  lplncvrlvol2  39618  lvolcmp  39620  2lplnja  39622
  Copyright terms: Public domain W3C validator