Theorem lvolbase 37592

Description: A 3-dim lattice volume is a lattice element. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolbase.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolbase	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lvolbase

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4267	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑉 = ∅)
2		lvolbase.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2743	. . . 4 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (LVols‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 328	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ¬ (LVols‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6766	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LVols‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
7		lvolbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islvol 37587	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
11	10	simprbda 499	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 685	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  Vcvv 3432  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912   ⋖ ccvr 37276  LPlanesclpl 37506  LVolsclvol 37507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-lvols 37514

This theorem is referenced by:  islvol2  37594  lvolnle3at  37596  lvolneatN  37602  lvolnelln  37603  lvolnelpln  37604  lplncvrlvol2  37629  lvolcmp  37631  2lplnja  37633