Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolnelln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolnelln 38398
Description: No lattice volume is a lattice line. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnelln.l 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lvolnelln.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvolnelln ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → ¬ 𝑋𝑁)

Proof of Theorem lvolnelln
StepHypRef Expression
1 hllat 38171 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 lvolnelln.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
42, 3lvolbase 38387 . . 3 (𝑋𝑉𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5 eqid 2733 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
62, 5latref 18390 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
71, 4, 6syl2an 597 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8 lvolnelln.l . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
95, 8, 3lvolnlelln 38393 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑁) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
1093expia 1122 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋𝑁 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
117, 10mt2d 136 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → ¬ 𝑋𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5147  cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  Latclat 18380  HLchlt 38158  LLinesclln 38300  LVolsclvol 38302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  38425
  Copyright terms: Public domain W3C validator