Theorem lvolnelln 40218

Description: No lattice volume is a lattice line. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolnelln.l	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lvolnelln.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolnelln	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem lvolnelln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39992	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lvolnelln.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
4	2, 3	lvolbase 40207	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	2, 5	latref 18475	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8		lvolnelln.l	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9	5, 8, 3	lvolnlelln 40213	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
10	9	3expia 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ 𝑁 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
11	7, 10	mt2d 136	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  Basecbs 17247  lecple 17295  Latclat 18465  HLchlt 39979  LLinesclln 40120  LVolsclvol 40122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-proset 18328  df-poset 18347  df-plt 18362  df-lub 18378  df-glb 18379  df-join 18380  df-meet 18381  df-p0 18457  df-lat 18466  df-clat 18533  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980  df-llines 40127  df-lplanes 40128  df-lvols 40129

This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  40245