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Theorem lvolnle3at 38966
Description: A lattice plane (or lattice line or atom) cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnle3at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lvolnle3at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lvolnle3at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lvolnle3at.v 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lvolnle3at (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))

Proof of Theorem lvolnle3at
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 766 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 eqid 2726 . . . . . 6 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (LPlanesβ€˜πΎ) = (LPlanesβ€˜πΎ)
5 lvolnle3at.v . . . . . 6 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
62, 3, 4, 5islvol 38957 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
76ad2antrr 723 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
81, 7mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋))
98simprd 495 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
10 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
1110oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (𝑃 = 𝑄 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1211breq2d 5153 . . . . . . 7 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑋 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
1312notbid 318 . . . . . 6 (𝑃 = 𝑄 β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
14 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
15 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ))
16 simp21 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
17 simp22 1204 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
18 lvolnle3at.l . . . . . . . . . . . . 13 ≀ = (leβ€˜πΎ)
19 lvolnle3at.j . . . . . . . . . . . . 13 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
20 lvolnle3at.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2118, 19, 20, 4lplnnle2at 38925 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
2214, 15, 16, 17, 21syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
232, 4lplnbase 38918 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2415, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
262, 5lvolbase 38962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
29 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
302, 29, 3cvrlt 38653 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋)
3114, 24, 27, 28, 30syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋)
32 hlpos 38749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3314, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
342, 19, 20hlatjcl 38750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3514, 16, 17, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
362, 18, 29pltletr 18308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
3733, 24, 27, 35, 36syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
3831, 37mpand 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
3918, 29pltle 18298 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4014, 15, 35, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4138, 40syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4222, 41mtod 197 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
44 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4514hllatd 38747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
46 simp23 1205 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
472, 20atbase 38672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
492, 18, 19latleeqj2 18417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
5045, 48, 35, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
5244, 51mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄))
5352breq2d 5153 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5443, 53mtbird 325 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
5554anassrs 467 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
56 simpl1l 1221 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
57 simpl3l 1225 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ))
58 simpl2 1189 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
59 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6018, 19, 20, 4lplni2 38921 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanesβ€˜πΎ))
6156, 58, 59, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanesβ€˜πΎ))
6229, 4lplnnlt 38949 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑦(ltβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
6356, 57, 61, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑦(ltβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
642, 19latjcl 18404 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6545, 35, 48, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
662, 18, 29pltletr 18308 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6733, 24, 27, 65, 66syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6831, 67mpand 692 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6968adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
7063, 69mtod 197 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7170anassrs 467 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7255, 71pm2.61dan 810 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
73 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7473, 19, 20, 4lplnnle2at 38925 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑦(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
7514, 15, 17, 46, 74syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑦(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
762, 19, 20hlatjcl 38750 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7714, 17, 46, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
782, 18, 29pltletr 18308 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
7933, 24, 27, 77, 78syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
8031, 79mpand 692 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
8173, 29pltle 18298 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
8214, 15, 77, 81syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
8380, 82syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
8475, 83mtod 197 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
8519, 20hlatjidm 38752 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
8614, 17, 85syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
8786oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
8887breq2d 5153 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
8984, 88mtbird 325 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
9013, 72, 89pm2.61ne 3021 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
91903expia 1118 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
9291expd 415 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
9392rexlimdv 3147 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
949, 93mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  Posetcpo 18272  ltcplt 18273  joincjn 18276  Latclat 18396   β‹– ccvr 38645  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LPlanesclpl 38876  LVolsclvol 38877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884
This theorem is referenced by:  lvolnleat  38967  lvolnlelln  38968  lvolnlelpln  38969  3atnelvolN  38970  4atlem3  38980  dalem39  39095
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