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Theorem lvolnle3at 39110
Description: A lattice plane (or lattice line or atom) cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnle3at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lvolnle3at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lvolnle3at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lvolnle3at.v 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lvolnle3at (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))

Proof of Theorem lvolnle3at
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 eqid 2725 . . . . . 6 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
4 eqid 2725 . . . . . 6 (LPlanesβ€˜πΎ) = (LPlanesβ€˜πΎ)
5 lvolnle3at.v . . . . . 6 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
62, 3, 4, 5islvol 39101 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
76ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
81, 7mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋))
98simprd 494 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
10 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
1110oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (𝑃 = 𝑄 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1211breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑋 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
1312notbid 317 . . . . . 6 (𝑃 = 𝑄 β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
14 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
15 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ))
16 simp21 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
17 simp22 1204 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
18 lvolnle3at.l . . . . . . . . . . . . 13 ≀ = (leβ€˜πΎ)
19 lvolnle3at.j . . . . . . . . . . . . 13 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
20 lvolnle3at.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2118, 19, 20, 4lplnnle2at 39069 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
2214, 15, 16, 17, 21syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
232, 4lplnbase 39062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2415, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
262, 5lvolbase 39106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
29 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
302, 29, 3cvrlt 38797 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋)
3114, 24, 27, 28, 30syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋)
32 hlpos 38893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3314, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
342, 19, 20hlatjcl 38894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3514, 16, 17, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
362, 18, 29pltletr 18332 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
3733, 24, 27, 35, 36syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
3831, 37mpand 693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
3918, 29pltle 18322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4014, 15, 35, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4138, 40syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4222, 41mtod 197 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4342adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
44 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4514hllatd 38891 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
46 simp23 1205 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
472, 20atbase 38816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
492, 18, 19latleeqj2 18441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
5045, 48, 35, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
5150adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
5244, 51mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄))
5352breq2d 5155 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑋 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5443, 53mtbird 324 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
5554anassrs 466 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
56 simpl1l 1221 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
57 simpl3l 1225 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ))
58 simpl2 1189 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
59 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6018, 19, 20, 4lplni2 39065 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanesβ€˜πΎ))
6156, 58, 59, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanesβ€˜πΎ))
6229, 4lplnnlt 39093 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑦(ltβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
6356, 57, 61, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑦(ltβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
642, 19latjcl 18428 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6545, 35, 48, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
662, 18, 29pltletr 18332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6733, 24, 27, 65, 66syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6831, 67mpand 693 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6968adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
7063, 69mtod 197 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7170anassrs 466 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7255, 71pm2.61dan 811 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
73 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7473, 19, 20, 4lplnnle2at 39069 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑦(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
7514, 15, 17, 46, 74syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑦(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
762, 19, 20hlatjcl 38894 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7714, 17, 46, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
782, 18, 29pltletr 18332 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
7933, 24, 27, 77, 78syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
8031, 79mpand 693 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
8173, 29pltle 18322 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
8214, 15, 77, 81syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
8380, 82syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
8475, 83mtod 197 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
8519, 20hlatjidm 38896 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
8614, 17, 85syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
8786oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
8887breq2d 5155 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
8984, 88mtbird 324 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
9013, 72, 89pm2.61ne 3017 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
91903expia 1118 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
9291expd 414 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦 ∈ (LPlanesβ€˜πΎ) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
9392rexlimdv 3143 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (LPlanesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
949, 93mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  lecple 17237  Posetcpo 18296  ltcplt 18297  joincjn 18300  Latclat 18420   β‹– ccvr 38789  Atomscatm 38790  HLchlt 38877  LPlanesclpl 39020  LVolsclvol 39021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028
This theorem is referenced by:  lvolnleat  39111  lvolnlelln  39112  lvolnlelpln  39113  3atnelvolN  39114  4atlem3  39124  dalem39  39239
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