Theorem lvolnelpln 40471

Description: No lattice volume is a lattice plane. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolnelpln.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lvolnelpln.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolnelpln	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lvolnelpln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40244	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lvolnelpln.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
4	2, 3	lvolbase 40459	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	2, 5	latref 18535	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8		lvolnelpln.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9	5, 8, 3	lvolnlelpln 40466	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
10	9	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ 𝑃 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
11	7, 10	mt2d 137	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  lecple 17355  Latclat 18525  HLchlt 40231  LPlanesclpl 40373  LVolsclvol 40374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-lub 18438  df-glb 18439  df-join 18440  df-meet 18441  df-p0 18517  df-lat 18526  df-clat 18593  df-oposet 40057  df-ol 40059  df-oml 40060  df-covers 40147  df-ats 40148  df-atl 40179  df-cvlat 40203  df-hlat 40232  df-llines 40379  df-lplanes 40380  df-lvols 40381

This theorem is used by:  lplncvrlvol2  40496  lplncvrlvol  40497