Theorem lvolnelpln 39995

Description: No lattice volume is a lattice plane. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolnelpln.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lvolnelpln.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolnelpln	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lvolnelpln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39768	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lvolnelpln.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
4	2, 3	lvolbase 39983	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	2, 5	latref 18378	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8		lvolnelpln.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9	5, 8, 3	lvolnlelpln 39990	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
10	9	3expia 1122	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ 𝑃 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
11	7, 10	mt2d 136	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  Basecbs 17150  lecple 17198  Latclat 18368  HLchlt 39755  LPlanesclpl 39897  LVolsclvol 39898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-lat 18369  df-clat 18436  df-oposet 39581  df-ol 39583  df-oml 39584  df-covers 39671  df-ats 39672  df-atl 39703  df-cvlat 39727  df-hlat 39756  df-llines 39903  df-lplanes 39904  df-lvols 39905

This theorem is referenced by:  lplncvrlvol2  40020  lplncvrlvol  40021