Theorem islvol5 38042

Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume" in terms of atoms. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islvol5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islvol5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islvol5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islvol5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol5.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islvol5	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   ∨ ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   ≤ ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem islvol5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvol5.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		islvol5.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		islvol5.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		islvol5.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
6		islvol5.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islvol3 38039	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾)∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))
8		df-rex 3074	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾)∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))
9		r19.41v 3185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
10		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
11	10	anbi2i 623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
12		an13 645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))))
13	11, 12	bitri 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))))
14	9, 13	bitri 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))))
15	14	exbii 1850	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))))
16		ovex 7390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ V
17		an12 643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
18		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵))
19		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑠 ≤ 𝑦 ↔ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
20	19	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
21		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑦 ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
22	21	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠) ↔ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
23	20, 22	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → ((¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)) ↔ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
24	23	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
25		anass 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
26		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
27	26	bicomi 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
28	27	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
29	25, 28	bitr3i 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
30	24, 29	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
31	18, 30	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
32	17, 31	bitrid 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
33	32	rexbidv 3175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
34		r19.42v 3187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
35		r19.42v 3187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
36	33, 34, 35	3bitr3g 312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
37	16, 36	ceqsexv 3494	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
38	15, 37	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
39		hllat 37825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
40	39	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
41		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
42		simplrl 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
43		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
44	1, 3, 4	hlatjcl 37829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
45	41, 42, 43, 44	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
46	1, 4	atbase 37751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵)
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐵)
48	1, 3	latjcl 18328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)
49	40, 45, 47, 48	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)
50	49	biantrurd 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
51	38, 50	bitr4id 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
52	51	rexbidva 3173	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
53	52	2rexbidva 3211	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
54		rexcom4 3271	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
55	54	rexbii 3097	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
56		rexcom4 3271	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
57	55, 56	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
58	57	rexbii 3097	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
59		rexcom4 3271	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
60	58, 59	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
61	53, 60	bitr3di 285	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
62		rexcom 3273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
63	62	rexbii 3097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
64		rexcom 3273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
65	63, 64	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
66	65	rexbii 3097	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
67		rexcom 3273	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
68	66, 67	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
69	1, 2, 3, 4, 5	islpln2 37999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
71	70	anbi1d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
72		r19.42v 3187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
73		r19.42v 3187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
74	73	rexbii 3097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
75		r19.42v 3187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
76	74, 75	bitri 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
77	76	rexbii 3097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
78		an32 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
79	72, 77, 78	3bitr4ri 303	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
80	71, 79	bitrdi 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
81	80	rexbidv 3175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
82	68, 81	bitr4id 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
83		r19.42v 3187	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))
84	82, 83	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
85	84	exbidv 1924	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
86	61, 85	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
87	8, 86	bitr4id 289	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾)∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
88	7, 87	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LPlanesclpl 37955  LVolsclvol 37956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963

This theorem is referenced by:  islvol2  38043  lvoli2  38044