Theorem islvol5 39618

Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume" in terms of atoms. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islvol5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islvol5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islvol5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islvol5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol5.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islvol5	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   ∨ ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   ≤ ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem islvol5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvol5.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		islvol5.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		islvol5.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		islvol5.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
6		islvol5.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islvol3 39615	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾)∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))
8		df-rex 3057	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾)∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))
9		r19.41v 3162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
10		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
11	10	anbi2i 623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
12		an13 647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))))
13	11, 12	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))))
14	9, 13	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))))
15	14	exbii 1849	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))))
16		ovex 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ V
17		an12 645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
18		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵))
19		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑠 ≤ 𝑦 ↔ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
20	19	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
21		oveq1 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑦 ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
22	21	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠) ↔ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
23	20, 22	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → ((¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)) ↔ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
24	23	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
25		anass 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
26		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
27	26	bicomi 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
28	27	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
29	25, 28	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
30	24, 29	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
31	18, 30	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
32	17, 31	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
33	32	rexbidv 3156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
34		r19.42v 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
35		r19.42v 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
36	33, 34, 35	3bitr3g 313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
37	16, 36	ceqsexv 3486	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
38	15, 37	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
39		hllat 39402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
40	39	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
41		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
42		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
43		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
44	1, 3, 4	hlatjcl 39406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
45	41, 42, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
46	1, 4	atbase 39328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐵)
48	1, 3	latjcl 18340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)
49	40, 45, 47, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)
50	49	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
51	38, 50	bitr4id 290	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
52	51	rexbidva 3154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
53	52	2rexbidva 3195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
54		rexcom4 3259	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
55	54	rexbii 3079	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
56		rexcom4 3259	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
57	55, 56	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
58	57	rexbii 3079	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
59		rexcom4 3259	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
60	58, 59	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
61	53, 60	bitr3di 286	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
62		rexcom 3261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
63	62	rexbii 3079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
64		rexcom 3261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
65	63, 64	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
66	65	rexbii 3079	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
67		rexcom 3261	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
68	66, 67	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
69	1, 2, 3, 4, 5	islpln2 39575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
71	70	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
72		r19.42v 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
73		r19.42v 3164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
74	73	rexbii 3079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
75		r19.42v 3164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
76	74, 75	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
77	76	rexbii 3079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
78		an32 646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
79	72, 77, 78	3bitr4ri 304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
80	71, 79	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
81	80	rexbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
82	68, 81	bitr4id 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
83		r19.42v 3164	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))
84	82, 83	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
85	84	exbidv 1922	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
86	61, 85	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
87	8, 86	bitr4id 290	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾)∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
88	7, 87	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  lecple 17163  joincjn 18212  Latclat 18332  Atomscatm 39302  HLchlt 39389  LPlanesclpl 39531  LVolsclvol 39532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-proset 18195  df-poset 18214  df-plt 18229  df-lub 18245  df-glb 18246  df-join 18247  df-meet 18248  df-p0 18324  df-lat 18333  df-clat 18400  df-oposet 39215  df-ol 39217  df-oml 39218  df-covers 39305  df-ats 39306  df-atl 39337  df-cvlat 39361  df-hlat 39390  df-llines 39537  df-lplanes 39538  df-lvols 39539

This theorem is referenced by:  islvol2  39619  lvoli2  39620