Theorem islvol5 36875

Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume" in terms of atoms. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islvol5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islvol5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islvol5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islvol5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol5.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islvol5	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   ∨ ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   ≤ ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem islvol5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvol5.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		islvol5.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		islvol5.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		islvol5.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		eqid 2798	. . 3 ⊢ (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
6		islvol5.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islvol3 36872	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾)∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))
8		df-rex 3112	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾)∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))
9		r19.41v 3300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
10		df-3an 1086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
11	10	anbi2i 625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
12		an13 646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))))
13	11, 12	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))))
14	9, 13	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))))
15	14	exbii 1849	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))))
16		ovex 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ V
17		an12 644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
18		eleq1 2877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵))
19		breq2 5034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑠 ≤ 𝑦 ↔ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
20	19	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
21		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑦 ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
22	21	eqeq2d 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠) ↔ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
23	20, 22	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → ((¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)) ↔ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
24	23	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
25		anass 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
26		df-3an 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
27	26	bicomi 227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
28	27	anbi1i 626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
29	25, 28	bitr3i 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
30	24, 29	syl6bb 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
31	18, 30	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
32	17, 31	syl5bb 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
33	32	rexbidv 3256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
34		r19.42v 3303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
35		r19.42v 3303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
36	33, 34, 35	3bitr3g 316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
37	16, 36	ceqsexv 3489	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
38	15, 37	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
39		hllat 36659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
40	39	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
41		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
42		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
43		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
44	1, 3, 4	hlatjcl 36663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
45	41, 42, 43, 44	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
46	1, 4	atbase 36585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵)
47	46	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐵)
48	1, 3	latjcl 17653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)
49	40, 45, 47, 48	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)
50	49	biantrurd 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
51	38, 50	bitr4id 293	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
52	51	rexbidva 3255	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
53	52	2rexbidva 3258	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
54		rexcom4 3212	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
55	54	rexbii 3210	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
56		rexcom4 3212	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
57	55, 56	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
58	57	rexbii 3210	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
59		rexcom4 3212	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
60	58, 59	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
61	53, 60	bitr3di 289	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
62		rexcom 3308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
63	62	rexbii 3210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
64		rexcom 3308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
65	63, 64	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
66	65	rexbii 3210	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
67		rexcom 3308	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
68	66, 67	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
69	1, 2, 3, 4, 5	islpln2 36832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
70	69	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
71	70	anbi1d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
72		r19.42v 3303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
73		r19.42v 3303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
74	73	rexbii 3210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
75		r19.42v 3303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
76	74, 75	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
77	76	rexbii 3210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
78		an32 645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
79	72, 77, 78	3bitr4ri 307	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
80	71, 79	syl6bb 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
81	80	rexbidv 3256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
82	68, 81	bitr4id 293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
83		r19.42v 3303	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))
84	82, 83	syl6bb 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
85	84	exbidv 1922	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
86	61, 85	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))
87	8, 86	bitr4id 293	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾)∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
88	7, 87	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  Latclat 17647  Atomscatm 36559  HLchlt 36646  LPlanesclpl 36788  LVolsclvol 36789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795  df-lvols 36796

This theorem is referenced by:  islvol2  36876  lvoli2  36877