Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | islvol5.b |
. . 3
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
2 | | islvol5.l |
. . 3
⊢ ≤ =
(le‘𝐾) |
3 | | islvol5.j |
. . 3
⊢ ∨ =
(join‘𝐾) |
4 | | islvol5.a |
. . 3
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) |
5 | | eqid 2825 |
. . 3
⊢
(LPlanes‘𝐾) =
(LPlanes‘𝐾) |
6 | | islvol5.v |
. . 3
⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾) |
7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | islvol3 35651 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾)∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) |
8 | | rexcom4 3442 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
9 | 8 | rexbii 3251 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑞 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
10 | | rexcom4 3442 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑞 ∈
𝐴 ∃𝑦∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
11 | 9, 10 | bitri 267 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑞 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
12 | 11 | rexbii 3251 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑝 ∈
𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
13 | | rexcom4 3442 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑝 ∈
𝐴 ∃𝑦∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
14 | 12, 13 | bitri 267 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑝 ∈
𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
15 | | hllat 35438 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat) |
16 | 15 | ad3antrrr 723 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat) |
17 | | simplll 793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL) |
18 | | simplrl 797 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴) |
19 | | simplrr 798 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴) |
20 | 1, 3, 4 | hlatjcl 35442 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵) |
21 | 17, 18, 19, 20 | syl3anc 1496 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵) |
22 | 1, 4 | atbase 35364 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵) |
23 | 22 | adantl 475 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐵) |
24 | 1, 3 | latjcl 17404 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵) |
25 | 16, 21, 23, 24 | syl3anc 1496 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵) |
26 | 25 | biantrurd 530 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) |
27 | | r19.41v 3299 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑠 ∈
𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
28 | | df-3an 1115 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) |
29 | 28 | anbi2i 618 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((∃𝑠 ∈
𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
30 | | an13 639 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((∃𝑠 ∈
𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))) |
31 | 29, 30 | bitri 267 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((∃𝑠 ∈
𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))) |
32 | 27, 31 | bitri 267 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑠 ∈
𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))) |
33 | 32 | exbii 1949 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))))) |
34 | | ovex 6937 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ V |
35 | | an12 637 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))) |
36 | | eleq1 2894 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)) |
37 | | breq2 4877 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑠 ≤ 𝑦 ↔ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) |
38 | 37 | notbid 310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) |
39 | | oveq1 6912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑦 ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) |
40 | 39 | eqeq2d 2835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠) ↔ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) |
41 | 38, 40 | anbi12d 626 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → ((¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)) ↔ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) |
42 | 41 | anbi2d 624 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) |
43 | | anass 462 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) |
44 | | df-3an 1115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) |
45 | 44 | bicomi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) |
46 | 45 | anbi1i 619 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) |
47 | 43, 46 | bitr3i 269 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) |
48 | 42, 47 | syl6bb 279 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) |
49 | 36, 48 | anbi12d 626 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) |
50 | 35, 49 | syl5bb 275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) |
51 | 50 | rexbidv 3262 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) |
52 | | r19.42v 3302 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑠 ∈
𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))) |
53 | | r19.42v 3302 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑠 ∈
𝐴 (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) |
54 | 51, 52, 53 | 3bitr3g 305 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) |
55 | 34, 54 | ceqsexv 3459 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑦(𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) |
56 | 33, 55 | bitri 267 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) |
57 | 26, 56 | syl6rbbr 282 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) |
58 | 57 | rexbidva 3259 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) |
59 | 58 | 2rexbidva 3266 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑦∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) |
60 | 14, 59 | syl5rbbr 278 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))) |
61 | 1, 2, 3, 4, 5 | islpln2 35611 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))) |
62 | 61 | adantr 474 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))) |
63 | 62 | anbi1d 625 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))) |
64 | | r19.42v 3302 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑝 ∈
𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
65 | | r19.42v 3302 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
66 | 65 | rexbii 3251 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∃𝑞 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
67 | | r19.42v 3302 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∃𝑞 ∈
𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
68 | 66, 67 | bitri 267 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑞 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
69 | 68 | rexbii 3251 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑝 ∈
𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
70 | | an32 638 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
71 | 64, 69, 70 | 3bitr4ri 296 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
72 | 63, 71 | syl6bb 279 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))) |
73 | 72 | rexbidv 3262 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))) |
74 | | rexcom 3309 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
75 | 74 | rexbii 3251 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑞 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
76 | | rexcom 3309 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑞 ∈
𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
77 | 75, 76 | bitri 267 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑞 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
78 | 77 | rexbii 3251 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑝 ∈
𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
79 | | rexcom 3309 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑝 ∈
𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
80 | 78, 79 | bitri 267 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑝 ∈
𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) |
81 | 73, 80 | syl6rbbr 282 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))) |
82 | | r19.42v 3302 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑠 ∈
𝐴 (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ↔ (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) |
83 | 81, 82 | syl6bb 279 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ (𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))) |
84 | 83 | exbidv 2022 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))) |
85 | 60, 84 | bitrd 271 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠))))) |
86 | | df-rex 3123 |
. . 3
⊢
(∃𝑦 ∈
(LPlanes‘𝐾)∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)))) |
87 | 85, 86 | syl6rbbr 282 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ (LPlanes‘𝐾)∃𝑠 ∈ 𝐴 (¬ 𝑠 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑠)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) |
88 | 7, 87 | bitrd 271 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) |