Theorem islvol2 40713

Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume" in terms of atoms. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islvol5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islvol5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islvol5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islvol5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol5.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islvol2	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   ∨ ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   ≤ ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑠, 𝑟, 𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem islvol2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvol5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		islvol5.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
3	1, 2	lvolbase 40711	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	3	pm4.71ri 570	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
5		islvol5.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		islvol5.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		islvol5.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 5, 6, 7, 2	islvol5 40712	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
9	8	pm5.32da 590	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
10	4, 9	bitrid 286	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ 𝑋 = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  lecple 17436  joincjn 18486  Atomscatm 40396  HLchlt 40483  LVolsclvol 40626

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18469  df-poset 18488  df-plt 18503  df-lub 18519  df-glb 18520  df-join 18521  df-meet 18522  df-p0 18598  df-lat 18607  df-clat 18674  df-oposet 40309  df-ol 40311  df-oml 40312  df-covers 40399  df-ats 40400  df-atl 40431  df-cvlat 40455  df-hlat 40484  df-llines 40631  df-lplanes 40632  df-lvols 40633

This theorem is used by:  lplncvrlvol2  40748